随机信号及其时域统计特性.ppt

随机信号的描述全面完整描述（统计特征）宏观概括描述（数字特征）概率分布函数概率密度函数时域数字特征（均值、方差、自相关）频域数字特征（功率谱）经典谱估计现代谱估计自相关（均方值）均值自协方差（方差）1第第 二章二章随机信号随机信号(随机过程随机过程) 及时域统计特性及时域统计特性2   随机信号的基本概念及统计特性随机信号的基本概念及统计特性   连续时间随机信号的微分和积分连续时间随机信号的微分和积分    平稳随机信号的判定及其遍历性平稳随机信号的判定及其遍历性 目录   两个随机信号间的联合平稳和联合遍历两个随机信号间的联合平稳和联合遍历    典型的随机信号典型的随机信号 3 随机信号的基本概念及统计特性随机信号的基本概念及统计特性 基本要求：基本要求： 深入理解随机信号的定义深入理解随机信号的定义 了解随机信号的几种分类了解随机信号的几种分类 理解平稳随机信号的概率分布理解平稳随机信号的概率分布 掌握平稳随机信号的时域统计特性掌握平稳随机信号的时域统计特性 4    随机信号的定义随机信号的定义 1、实验观察、实验观察接收机的噪声电压，对其多次采集接收机的噪声电压，对其多次采集 ，，各次所得电压波形各次所得电压波形xi(t)都都 不一样，即呈现随机不一样，即呈现随机性性5 样本函数：样本函数：     ，，     ，，     ，，…，，     ，都是，都是时间函数，称为样本函数。

即每次所采集时间函数，称为样本函数即每次所采集的电压波形的电压波形62. 由实验角度对随机信号下定义由实验角度对随机信号下定义783.定义的理解定义的理解 ：：       随机信号的两种定义，从两个角度描述了随机信号随机信号的两种定义，从两个角度描述了随机信号        作观测时，作观测时，定义定义1:单次试验所得的样本，可得到随单次试验所得的样本，可得到随机信号的统计特性；（样本函数机信号的统计特性；（样本函数/时间函数）时间函数）        理论分析时，理论分析时，定义定义2:多次试验多次试验多个样本将多个样本将n个样个样本中的本中的t0时刻记录值，归拢为一个集合，则该集合时刻记录值，归拢为一个集合，则该集合=n 维维随机变量试验次数随机变量试验次数n越多，所得到的统计特性越准确越多，所得到的统计特性越准确 9随机变量随机变量 与时间无关与时间无关 ，与次数有关，与次数有关随机信号随机信号 与时间相关的一族随机变量与时间相关的一族随机变量 确定性信号：每一时刻的取值是固定数值确定性信号：每一时刻的取值是固定数值随机性信号：每一时刻的取值是随机变量随机性信号：每一时刻的取值是随机变量10例例1 设具有随机初始相位的正弦波其中A与ω0是正常数， 在之间服从均匀分布。

判断X(t)是否为一随机信号解：(1) 固定时间t，X(t)是随机变量，是一族随机变量(2) 对随机变量Φ做一次试验得到一个结果φ，是随时间变化的函数，即样本函数X(t)是一随机信号是一随机信号11 分类    随机信号分类随机信号分类  1. 按随机信号的时间和状态来分类按随机信号的时间和状态来分类 (1) 连续型随机信号连续型随机信号：：时间时间t取值连续取值连续，，且对且对随机信号任一时刻随机信号任一时刻   的取值的取值       都是都是连续型连续型随机变量随机变量 即时间连续、幅度连续即时间连续、幅度连续2) 离散型随机信号：离散型随机信号：时间时间t取值连续，取值连续，且对且对随机信号任一时刻随机信号任一时刻   的取值的取值       都是都是离散型离散型随机变量随机变量 即时间连续、幅度离散即时间连续、幅度离散3) 连续型随机序列：连续型随机序列：相当于对连续型随机相当于对连续型随机信号的采样信号的采样即时间离散、幅度连续，即时间离散、幅度连续，(4) 离散型随机序列：离散型随机序列：相当于对离散型随机信号的采样相当于对离散型随机信号的采样即时间离散、幅度离散即时间离散、幅度离散。

 （计算机所处理的对象）（计算机所处理的对象） 12131415离散型随机序列162. 按样本函数的形式来分类按样本函数的形式来分类  不确定的随机信号：不确定的随机信号：随机信号的任意样本函数随机信号的任意样本函数的值不能被预测例如：接收机的噪声电压波形的值不能被预测例如：接收机的噪声电压波形  确定的随机信号：确定的随机信号：随机信号的任意样本函数的随机信号的任意样本函数的值能被预测例如，样本函数为正弦信号值能被预测例如，样本函数为正弦信号 17例例2 设随机信号定义为：其中A与-A等概出现，T为一正常数，(1) 画出典型的样本函数图形2) 将此随机信号归类3) 该随机信号是确定性随机信号吗？离散型随机信号离散型随机信号不是确定性随机信号不是确定性随机信号18例例3 离散型随机信号的样本函数皆为常数，即X(t)=C=可变常数，其中C为随机变量，其可能值为C1=1，C2=2和C3=3，它们分别已概率、及出现X(t)是确定性随机信号吗？X(t)是确定性随机信号是确定性随机信号19 3. 其他分类其他分类 按概率分布函数或概率密度函数：按概率分布函数或概率密度函数：          正态随机信号、泊松随机信号、马尔可夫随机信号正态随机信号、泊松随机信号、马尔可夫随机信号 按平稳性：按平稳性：平稳随机信号平稳随机信号、非平稳随机信号、非平稳随机信号 按遍历性：按遍历性：遍历随机信号遍历随机信号、非遍历随机信号、非遍历随机信号 按功率谱密度特性：按功率谱密度特性：                                              宽带随机信号、窄带随机信号等宽带随机信号、窄带随机信号等20 随机信号的概率分布     随机信号的概率分布随机信号的概率分布函数与概率密度函数函数与概率密度函数1. 一维概率分布一维概率分布函数与一维概率密度函数函数与一维概率密度函数 随机信号随机信号X(t)在任意在任意ti  T的取值的取值X(ti)是一维随机是一维随机变量。

记为变量记为Fx(xi；；ti)=P{X(ti)≤xi}为随机信号为随机信号 X(t)的一维概率分布函数的一维概率分布函数 若若 的偏导数存在，则有的偏导数存在，则有一维概率密度函数一维概率密度函数212. 二维概率分布函数和二维概率密度函数二维概率分布函数和二维概率密度函数 FX(x1,x2;t1,t2)=P{ X(t1)≤x1,X(t2)≤x2} 随机信号随机信号X(t)在时刻在时刻t1和和t2的取值的取值X(t1),X(t2)，二维概率分布函数，二维概率分布函数FX(x1,x2;t1,t2)可表示这两可表示这两状态间的内在联系状态间的内在联系, ，即二随机事件，即二随机事件{X(t1)≤x1}和和{X(t2)≤x2}同时出现的概率，即同时出现的概率，即随机信号随机信号X(t)的的二维概率分布函数二维概率分布函数    若若FX(x1,x2;t1,t2)对对x1，，x2的二阶混合偏导存在，的二阶混合偏导存在，则则 为随机信号为随机信号X(t)的的二维概率密度函数二维概率密度函数 223.  n维概率分布函数和维概率分布函数和n维概率密度函数维概率密度函数        随机信号随机信号 在任意在任意n个时刻个时刻              的取值的取值 构成构成n维随机变量维随机变量 即为即为n维空间的随机矢量维空间的随机矢量X。

类似的，可以定义类似的，可以定义随机信号随机信号 的的n维分布函数和维分布函数和n维概率密度函维概率密度函数为数为234. 概率分布函数和概率密度函数的性质概率分布函数和概率密度函数的性质定义定义单调递增性单调递增性概率分布与概率密度之间的关系：概率分布与概率密度之间的关系：取值范围：取值范围：随机序列随机序列2425概率密度函数与概率分布函数的应用产品质量控制(生产设备的工作稳定性)图(a)：一批零件的加工尺寸图 (b)、图 (c)可判断加工过程的质量高低，进而可评价或判断机床工具是否应该调整26利用振幅频次分布研究设备的随机疲劳和载荷谱振幅峰图 (a)：上升的峰值A振幅频次图 (b)：横座标--振幅峰，纵座标--振幅峰在观测时间内出现的频次即动态波形峰值出现的频次分布累计频次图(c)：对图(b)沿横坐标进行累计图 (b)和(c) 即随机载荷谱 随机载荷谱可用于判断材料随机载荷谱可用于判断材料所要具备的耐受程度所要具备的耐受程度概率密度函数与概率分布函数的应用27概率密度函数用于机器状态判断n新变速箱噪声的概率密度曲线如图 (a)所示，旧变速箱噪声的概率密度曲线如图 (b)所示概率密度函数与概率分布函数的应用2829 随机信号的数字特征       随机信号的数字特征随机信号的数字特征一般来说，一般来说，        随机变量随机变量的数字特征的数字特征:确定值确定值；；          随机信号随机信号的数字特征的数字特征:确定性函数确定性函数。

计算随机信号的数字特征计算随机信号的数字特征；；1）先把时间）先把时间t固定，固定，2）然后用随机变量的分析方法来计算然后用随机变量的分析方法来计算 301. 数学期望（一阶原点矩）数学期望（一阶原点矩）         显然，显然， 是某一个平均函数，随机信号是某一个平均函数，随机信号的诸样本在它的附近起伏变化，如图所示：的诸样本在它的附近起伏变化，如图所示： 物理意义：物理意义：如果随机信号如果随机信号X(t)是输出是输出电压，则其数学期望就是电压，则其数学期望就是某瞬时某瞬时t的输出电压的统计的输出电压的统计平均值 均值均值(数学期望数学期望)---mx(t)/μx(t)312. 均方值（二阶原点矩）和方差均方值（二阶原点矩）和方差 （二阶中心矩）（二阶中心矩）32        物理意义：如果物理意义：如果        表示噪声电压，则表示噪声电压，则均方值均方值           和方差和方差           分别表示单位电阻分别表示单位电阻上的上的瞬时功率瞬时功率的统计平均值；单位电阻上的的统计平均值；单位电阻上的瞬时交流功率瞬时交流功率的统计平均值。

的统计平均值 标准差或均方差：标准差或均方差： 方差：信号方差：信号X围绕均值围绕均值mx的波动程度的波动程度33时域参数(1) 均值均值(2) 均方值均方值(3) 方差方差三者间的关系三者间的关系343. 自相关函数自相关函数 注意有些书标为注意有些书标为Rxx(t1,t2)/Rx(t1,t2)比较具有相同数学期望和方差的两个随机信号比较具有相同数学期望和方差的两个随机信号 35  自相关函数用来描述随机信号任意两个时刻的自相关函数用来描述随机信号任意两个时刻的状态之间的内在联系状态之间的内在联系，通常用，通常用             描述 当时间间隔当时间间隔t1=t2t1=t2时，时，自相关函数就是均方值自相关函数就是均方值363738自相关函数及其应用几种常见信号的自相关函数39自相关函数及其应用几种常见信号的自相关函数40自相关函数及其应用寻找周期成分：信号的周期性分量在自相关函数中不会衰减，且保持了原来的周期用噪声诊断机器运行状态：①正常机器的噪声是由大量、无序、大小近似相等的随机成分叠加而成，因此正常机器噪声具有较宽而均匀的频谱②异常机器的噪声则会包含周期性成分，其幅度要比正常噪声的幅度大得多。

③可在噪声的自相关函数中发现隐藏的周期分量，从而判断机器是否异常41自相关分析诊断的实例汽车车身振动信号42自相关分析诊断的实例自相关分析识别车床变速箱运行状态，确定存在缺陷轴的位置434. 自协方差函数自协方差函数 注意有些书标为注意有些书标为COVxx(t1,t2)/Cxx(t1,t2)/ Cx(t1,t2)        若用随机信号的若用随机信号的两个不同时刻之间的二阶两个不同时刻之间的二阶混合中心矩混合中心矩来定义相关函数，我们称之为自协来定义相关函数，我们称之为自协方差用              表示，它反映了任意两个时表示，它反映了任意两个时刻的起伏变化量之间相关程度刻的起伏变化量之间相关程度 44自协方差和自相关函数的关系自协方差和自相关函数的关系 自协方差自协方差方差方差；；自相关自相关均方值均方值令令则则45        设设两两个个随随机机信信号号      和和      ，，它它们们在在任任意意两两个个时时刻刻t1，，t2的的取取值值为为随随机机变变量量      、、     ,则则定定义义它它们们的互相关函数为：的互相关函数为：式中，式中， 是随机信号是随机信号        和和的二维联合概率密度。

的二维联合概率密度1、互相关函数、互相关函数 随机信号间的关系  两个随机信号之间的关系两个随机信号之间的关系46互相关函数 的性质如下47互相关分析的应用实例利用互相关分析测定船舶的航速48互相关分析的应用实例利用相关分析探测地下水管的破损地点若若 max为正，为正，则则破损点在两端测破损点在两端测量点中心量点中心靠传感靠传感器器1的一侧若若  max为负，则为负，则破损点在两端测破损点在两端测量点中心靠传感量点中心靠传感器器2的一侧的一侧49式中，式中，        和和            分别是随机变量分别是随机变量        和和的数学期望的数学期望 此式也可以写成此式也可以写成2、互协方差函数、互协方差函数随机信号随机信号        和和        的互协方差函数定义为的互协方差函数定义为：：503、两个随机信号间的三种基本统计关系、两个随机信号间的三种基本统计关系1）统计独立）统计独立则称随机信号则称随机信号        和和       相互独立相互独立 若若或或 ),,;,,;,,;,,(''1111nmnmXYttttyyxxfLLLL51t1, t2都具有都具有                     或或                                     ，，2) 不相关不相关 若两个随机信号若两个随机信号       和和        对任意两个时刻对任意两个时刻则称则称       和和       不相关。

不相关3）正交）正交若两个随机信号若两个随机信号       和和       对任意两个时刻对任意两个时刻t1, t2都具有都具有                    或或                                       ，，则称则称        和和        互为正交随机信号互为正交随机信号52      (1) 相互独立相互独立(二阶矩都存在二阶矩都存在) →两者不相关两者不相关      (2) 正态随机信号：不相关正态随机信号：不相关=相互独立相互独立注：注：53举例例例4：：求随机相位正弦波求随机相位正弦波                       的数学期望，的数学期望，方差，自相关函数及一维概率密度式中，方差，自相关函数及一维概率密度式中，  为为常数，是区间常数，是区间[0，，  ]上均匀分布的随机变量上均匀分布的随机变量 解：解： （（1）） 均值均值 同理同理54（（2）方差）方差可知可知 例例4：：求随机相位正弦波求随机相位正弦波                       的数学期望，的数学期望，方差，自相关函数及一维概率密度。

式中，方差，自相关函数及一维概率密度式中，  为为常数，是区间常数，是区间[0，，  ]上均匀分布的随机变量上均匀分布的随机变量 55（（3）自相关函数）自相关函数56例例4：：求随机相位正弦波求随机相位正弦波                       的数学期望，的数学期望，方差，自相关函数及一维概率密度式中，方差，自相关函数及一维概率密度式中，  为为常数，是区间常数，是区间[0，，  ]上均匀分布的随机变量上均匀分布的随机变量 57例例5：：设随机信号设随机信号X(t)=A+Bt，其中，其中A和和B是相是相互独立的正态分布互独立的正态分布N(0,1)随机变量，求随机变量，求X(t)的的数学期望、方差、自相关函数、协方差函数、数学期望、方差、自相关函数、协方差函数、一维和二维概率密度函数一维和二维概率密度函数1）数学期望）数学期望（（2）方差）方差58（（3）自相关函数）自相关函数（（4）自协方差函数）自协方差函数例例5：：设随机信号设随机信号X(t)=A+Bt，其中，其中A和和B是相互独立的是相互独立的正态分布正态分布N(0,1)随机变量，求随机变量，求X(t)的数学期望、方差、的数学期望、方差、自相关函数、协方差函数、一维和二维概率密度函数。

自相关函数、协方差函数、一维和二维概率密度函数59（（5）一维概率密度函数）一维概率密度函数因因A和和B都是正态分布随机变量，都是正态分布随机变量，所以，给定时间所以，给定时间t，，X(t)也是正态分布随机变量，且也是正态分布随机变量，且例例5：：设随机信号设随机信号X(t)=A+Bt，其中，其中A和和B是相互独立的是相互独立的正态分布正态分布N(0,1)随机变量，求随机变量，求X(t)的数学期望、方差、的数学期望、方差、自相关函数、协方差函数、一维和二维概率密度函数自相关函数、协方差函数、一维和二维概率密度函数60（（6）二维概率密度函数）二维概率密度函数给定时间给定时间t1和和t2，，X(t1) 和和X(t2)是两个是两个正态分布随机变量，且正态分布随机变量，且例例5：：设随机信号设随机信号X(t)=A+Bt，其中，其中A和和B是相互独立的是相互独立的正态分布正态分布N(0,1)随机变量，求随机变量，求X(t)的数学期望、方差、的数学期望、方差、自相关函数、协方差函数、一维和二维概率密度函数自相关函数、协方差函数、一维和二维概率密度函数61例例6(课堂练习课堂练习)：：设随机信号设随机信号X(t)=Acosw0t，其中，其中w0为常为常数，数，A为在(0,1)之间均匀分布的随机变量，之间均匀分布的随机变量，(1) 画出随机信号画出随机信号X(t)的几个样本函数图形；的几个样本函数图形；(2) 试求试求t=0、、π/(4w0)和和3π/(4w0)时，时， X(t)的的一维概率密一维概率密度函数。

度函数3)求求X(t)的均值、相关函数、协方差函数和方差函数的均值、相关函数、协方差函数和方差函数解：t=0X1=X(t=0)=At=π/(4w0)X2=X(t= π/(4w0))=Acos(π/4)t=3π/(4w0)X3=X(t= 3π/(4w0))=Acos(3π/4)62例例6(课堂练习课堂练习)：：设随机信号设随机信号X(t)=Acosw0t，其中，其中w0为常为常数，数，A为在(0,1)之间均匀分布的随机变量，之间均匀分布的随机变量，63 .7 时域统计特性的小结时域统计特性的小结64 随机信号的微分和积分随机信号的微分和积分基本要求：基本要求：G理解随机信号的连续、微分、积分理解随机信号的连续、微分、积分G掌握随机信号的数字特征的求微分掌握随机信号的数字特征的求微分  掌握随机信号的数字特征的求积分掌握随机信号的数字特征的求积分65一、连续性的定义 随机信号的微分和积分随机信号的微分和积分 一、一、 随机信号的连续性随机信号的连续性 1. 确定信号确定信号f(x)的连续性的连续性对于确定性函数对于确定性函数       ，，若若则则       在在     处连续。

处连续662. 随机信号随机信号       的连续性的连续性如果随机信号如果随机信号 满足满足 则称则称 依依均方均方收敛意义下在收敛意义下在t点连续，简点连续，简称随机信号称随机信号 在在t t点点均方连续均方连续，记为：，记为：673. 随机信号随机信号       的相关函数连续，则的相关函数连续，则       连续连续4. 随机信号随机信号        均方连续，则其数学期望连续均方连续，则其数学期望连续 68二、微分（求导数）二、二、 随机信号的导数随机信号的导数 （求微分）（求微分）     1.确定信号的可导确定信号的可导 一阶可导：一阶可导：     如果如果                              存在，则存在，则      在在t处处可导，记为可导，记为         二阶可导：二阶可导： 存在，则存在，则           二阶可导，记为二阶可导，记为 若若692. 随机信号的可导随机信号的可导   通常意义下的导数通常意义下的导数随机信号X(t)的导数（求极限）如果该极限对随机信号X(t)的任意一个样本函数都存在，则具有导数的通常意义。

70如果随机信号如果随机信号    满足满足 则称则称 在在t时刻具有均方导数时刻具有均方导数      ，表示为，表示为     均方意义下的导数均方意义下的导数71       随机信号随机信号X(t)在在t处均方可微的充分条件为：处均方可微的充分条件为：相关函数在它的自变量相等时，存在二阶混合相关函数在它的自变量相等时，存在二阶混合偏导数且连续，即存在偏导数且连续，即存在 723. 数字特征数字特征 （（1）随机信号导数的数学期望等于其数学期望的导数）随机信号导数的数学期望等于其数学期望的导数 （（2）随机信号导数的相关函数等于可微随机信号的）随机信号导数的相关函数等于可微随机信号的相关函数的混合偏导数相关函数的混合偏导数 73例例2. 随机信号X(t)的数学期望为相关函数为求随机信号的均值与相关函数74例例2. 随机信号X(t)的数学期望为求随机信号的均值7576三、三、 随机信号的积分随机信号的积分 1. 确定信号的积分确定信号的积分 对于确定性函数对于确定性函数       ，，其中其中                   ，，三、积分772. 随机信号的积分随机信号的积分 ①①定区间定区间积分：积分：  随机信号随机信号       在在确定区间确定区间       上的积分上的积分Y是一个随机变量，即是一个随机变量，即 即即 则称则称                                            为随机信号为随机信号 在在       上的均方积分。

上的均方积分at若若时，时，的均方值趋于零，的均方值趋于零，78③③加权加权积分：积分： ②②变上限变上限积分：积分： ataλ793.3.定区间定区间随机信号积分的数字特征随机信号积分的数字特征 （（1 1）积分的数学期望）积分的数学期望= =数学期望的积分数学期望的积分 (2) 积分的均方值积分的均方值=自相关函数的二重积分自相关函数的二重积分；；(3) 积分的方差积分的方差=自协方差自协方差的二重积分的二重积分 80(1) 积分的数学期望积分的数学期望 =数学期望的积分数学期望的积分4. 变上限变上限随机信号积分的数字特征随机信号积分的数字特征(2) 积分的自相关函数积分的自相关函数=自相关函数的二重积分自相关函数的二重积分积分的自相关积分的自相关积分的均方值积分的均方值(3) 积分的自协方差函数积分的自协方差函数=自自协方差协方差函数的二重积函数的二重积分分积分的自协方差积分的自协方差积分的方差积分的方差81积分的举例例例4. 随机信号X(t)=的随机变量，求随机信号的均值、自相关，其中V是均值为5，方差为1函数、自自协方差函数和方差协方差函数和方差解：(1)求求X(t)的均值和自相关函数的均值和自相关函数82(2)求求Y(t)的均值、自相关函数和自协方差函数的均值、自相关函数和自协方差函数8384基本要求：基本要求：    随机信号宽平稳性的判断。

随机信号宽平稳性的判断    计算宽平稳随机信号的时域统计特性计算宽平稳随机信号的时域统计特性    随机信号遍历性的判断随机信号遍历性的判断 平稳随机信号的判定及其遍历性平稳随机信号的判定及其遍历性851.  严平稳随机信号严平稳随机信号(1) 定义定义        如果对于任意的如果对于任意的n和和   ，随机信号，随机信号 X(t)的的   n 维概率密度满足：维概率密度满足：则称则称X(t) 为严平稳（或狭义）随机信号为严平稳（或狭义）随机信号 t严平稳随机信号的统计特性与时间起点无关严平稳随机信号的统计特性与时间起点无关 一、平稳随机信号一、平稳随机信号86(2) 一、二维概率密度及数学特征一、二维概率密度及数学特征 Ø严平稳随机信号的一维概率密度与时间无关严平稳随机信号的一维概率密度与时间无关t87Ø严平稳随机信号的二维概率密度只与严平稳随机信号的二维概率密度只与 t1, t2的的时间间隔有关，而与时间起点无关时间间隔有关，而与时间起点无关 88(3)严平稳的判严平稳的判断断        按照严平稳的定义，判断一个随机信号是否为严平稳，按照严平稳的定义，判断一个随机信号是否为严平稳，需要知道其需要知道其n维概率密度，可是求维概率密度，可是求n维概率密度是比较困难维概率密度是比较困难的。

不过，如果有一个反例，就可以判断某随机信号不是的不过，如果有一个反例，就可以判断某随机信号不是严平稳的，具体方法有两个：严平稳的，具体方法有两个：      (1) 若若X(t)为严平稳，为严平稳，k为任意正整数，则为任意正整数，则              与时与时间间t无关                (2) 若若X(t)为严平稳，则对于任一时刻为严平稳，则对于任一时刻t0，， X(t0)具有相具有相同的统计特性同的统计特性89若随机信号若随机信号 X(t)满足满足则称则称X(t)为宽平稳或广义平稳随机信号为宽平稳或广义平稳随机信号严平稳与宽平稳的关系：严平稳与宽平稳的关系：严平稳随机信号的均方值有界，严平稳随机信号的均方值有界，则此随机信号为宽平稳的，反之不成立则此随机信号为宽平稳的，反之不成立正态随机信号：严平稳正态随机信号：严平稳=宽平稳二、宽平稳随机信号二、宽平稳随机信号90例例2. 设随机信号设随机信号Z(t)=Xsint+Ycost，其中，其中X和和Y是相互独立的是相互独立的二元随机变量，它们都分别以二元随机变量，它们都分别以2/3和和1/3的概率取的概率取-1和和2，试求：，试求：(1)Z(t)的均值和自相关函数；的均值和自相关函数；(2)证明证明Z(t)是宽平稳的，但不是严平稳的。

是宽平稳的，但不是严平稳的解：解：因此，因此，Z(t)是宽平稳的是宽平稳的91因此，因此，Z(t)不是严平稳的不是严平稳的例例2. 设随机信号设随机信号Z(t)=Xsint+Ycost，其中，其中X和和Y是相互独立的是相互独立的二元随机变量，它们都分别以二元随机变量，它们都分别以2/3和和1/3的概率取的概率取-1和和2，试求：，试求：(1)Z(t)的均值和自相关函数；的均值和自相关函数；(2)证明证明Z(t)是宽平稳的，但不是严平稳的是宽平稳的，但不是严平稳的92例例2. 设随机信号设随机信号X(t)=t2+Asint+Bcost，其中，其中A和和B都是一元随机变都是一元随机变量，且量，且E[A]=E[B]=0，，D[A]=D[B]=10，，E[AB]=0，试分别讨论，试分别讨论X(t)和和Y(t)=X(t)-mX(t)的平稳性的平稳性解：解：X(t)不是平稳随机信号不是平稳随机信号Y(t)是平稳随机信号是平稳随机信号93949596性质性质1 某瞬间某瞬间t的平均功率的平均功率性质性质2 偶对称性偶对称性 性质性质3 极值性极值性三、平稳随机信号的自相关函数性质三、平稳随机信号的自相关函数性质瞬时功率瞬时交流功率97性质性质4 若平稳随机信号含有平均分量若平稳随机信号含有平均分量(均值均值mX)      ，，则自相关函数也含有平均分量则自相关函数也含有平均分量(均值均值mX), 即即则则若若X(t)是非周期的，是非周期的，98平稳随机信号必须满足平稳随机信号必须满足对所有对所有    均成立。

均成立 性质性质5 自相关函数的付氏变换非负，这要求自相关函数的付氏变换非负，这要求相关函数连续相关函数连续(不能出现平顶、垂直边及在幅度上的任何不连续不能出现平顶、垂直边及在幅度上的任何不连续）注：注：相关函数（协方差）的典型曲线相关函数（协方差）的典型曲线99例例3：已知平稳随机信号：已知平稳随机信号 X(t)的自相关函数为的自相关函数为                  RX(τ)=100e-10| τ |+100cos10 τ +100        求求X(t)的均值、均方值和方差的均值、均方值和方差        RX(τ)=（（100cos10τ ））+（（100e-10| τ |+100））= RX1(τ)+ RX2(τ)式式中中，，RX1(τ)=100cos10τ是是X(t)中中周周期期分分量量的的自自相相关关函函数数，，此此分分量量的的均均值值mx1=0; RX2(τ)=100e-10|τ|+100是是X(t)的的非周期分量非周期分量的自相关函数，的自相关函数，由性质由性质4，可得，可得所以有所以有解：解：100严平稳随机信号严平稳随机信号宽平稳随机信号宽平稳随机信号严平稳随机信号的统计特性与时间起点无关严平稳随机信号的统计特性与时间起点无关 。

一维概率密度一维概率密度 与时间无关与时间无关均值、均方值、均值、均方值、方差及方差及              与时间无关与时间无关二维概率密度仅二维概率密度仅 与时间间隔有关与时间间隔有关相关函数仅与时相关函数仅与时间间隔有关间间隔有关均值均值mX为常数为常数自相关函数自相关函数RX仅与时间间隔仅与时间间隔ττ有关有关均方值为有限值均方值为有限值101此值在此值在[－－1，，1]之间Ø 相关系数相关系数表示不相关表示不相关表示完全相关表示完全相关表示正相关，即两个不同时刻起伏值符号表示正相关，即两个不同时刻起伏值符号,很可能相同很可能相同四、平稳随机信号的相关系数和相关时间四、平稳随机信号的相关系数和相关时间102Ø相关时间相关时间        当相关系数中的时间间隔当相关系数中的时间间隔ττ大于某个值大于某个值ττ0 0，可以认为，可以认为两个不同时刻起伏值不相关，这个时间就称为相关时间两个不同时刻起伏值不相关，这个时间就称为相关时间     (1) 相相关关系系数数从从最最大大值值1下下降降至至时时所所经经历历的的时时间间间间隔隔   ，，记做相关时间记做相关时间, 即即:   (2)用钜形（高为用钜形（高为             ,底为底为    的矩形）面积等于阴的矩形）面积等于阴影面积影面积(          积分的一半）来定义相关时间，即积分的一半）来定义相关时间，即103例例4：已知平稳随机信号：已知平稳随机信号 X1(t)的自相关函数为的自相关函数为求它们的相关系数和相关时间求它们的相关系数和相关时间 平稳随机信号平稳随机信号 X2(t)的自相关函数为的自相关函数为解：解：由知由知104宽平稳随机信号的小结105平稳随机信号的小结1061、数字特征的分类、数字特征的分类 五、遍历性五、遍历性/各态历经性各态历经性1072、时间意义上的数字特征、时间意义上的数字特征五、遍历性五、遍历性/各态历经性各态历经性1083、、 遍历性随机信号的定义遍历性随机信号的定义      如果一个随机信号如果一个随机信号 X(t),它的它的各种时间平均各种时间平均（时间足（时间足够长）依概率够长）依概率100%收敛于收敛于相应的各种集合平均相应的各种集合平均,则称则称X(t)具有严格遍历性具有严格遍历性,并称它为严遍历随机信号。

并称它为严遍历随机信号Ø 严遍历性的定义严遍历性的定义109Ø 宽遍历性的定义宽遍历性的定义    设设X(t)是一个平稳随机信号，且满足：是一个平稳随机信号，且满足：则称则称X(t)为宽为宽(或广义或广义)遍历随机信号遍历随机信号时间均值时间均值均值遍历均值遍历时间相关函数时间相关函数相关函数相关函数    遍历遍历依概率1成立110Ø 均方值和方差的遍历性均方值和方差的遍历性均方值遍历均方值遍历方差遍历方差遍历1114   遍历随机信号的实际应用遍历随机信号的实际应用        一般随机信号的时间均值是随机变量，一般随机信号的时间均值是随机变量，         遍历随机信号的时间均值为确定值，因此可用遍历随机信号的时间均值为确定值，因此可用任一样本函任一样本函数的时间均值数的时间均值代替代替整个随机信号的统计均值整个随机信号的统计均值(总集均值总集均值) 5    遍历性和平稳性的关系遍历性和平稳性的关系         遍历随机信号必定是平稳的，遍历随机信号必定是平稳的，       平稳随机信号不一定是遍历的平稳随机信号不一定是遍历的遍历性更严格）（遍历性更严格）112解：解：例例5：已知随机信号：已知随机信号,其中其中a和w0是常数，是在是在(0,2π)之间均匀分布的随之间均匀分布的随机变量。

机变量请判断请判断X(t)的平稳性和遍历性的平稳性和遍历性X(t)是平稳随机信号是平稳随机信号1)113(2)X(t)是宽遍历随机信号是宽遍历随机信号114解：解：例例6：讨论随机信号：讨论随机信号的遍历性，其中的遍历性，其中Y是方差不是方差不为零的随机变量为零的随机变量X(t)不是遍历性随机信号115116117118对于正态平稳随机信号，若均值为零，自相对于正态平稳随机信号，若均值为零，自相关函数关函数 连续，则此随机信号具有遍历性连续，则此随机信号具有遍历性的一个充分条件为的一个充分条件为注意：判断一个平稳随机信号是否遍历的，我们总是先注意：判断一个平稳随机信号是否遍历的，我们总是先假设其是遍历的，然后看是否满足定义要求（即时间平假设其是遍历的，然后看是否满足定义要求（即时间平均以概率均以概率100%100%等于统计平均等于统计平均 6.119对于遍历性随机信号，样本函数的时间相关函数对于遍历性随机信号，样本函数的时间相关函数=随机信号的总集相关函数随机信号的总集相关函数六、相关函数的测量六、相关函数的测量120方法方法1：按照实验数据确定：按照实验数据确定121方法方法2：利用积分器，即连续型相关函数测量仪：利用积分器，即连续型相关函数测量仪利用电路实现下式利用电路实现下式相乘器可变延迟τ积分器122 两个随机信号间的联合平稳和联合遍历两个随机信号间的联合平稳和联合遍历  基本要求：基本要求：  两个随机信号的互相关函数和互协方差函数两个随机信号的互相关函数和互协方差函数  的定义。

的定义  两个随机信号联合平稳的定义及判断两个随机信号联合平稳的定义及判断  两个随机信号联合遍历的定义及判断两个随机信号联合遍历的定义及判断  复复随机信号的定义及数字特征的计算随机信号的定义及数字特征的计算123两个随机信号两个随机信号       和和        ，如果：，如果：Ø         和和        分别宽平稳分别宽平稳 Ø  互相关函数仅为时间差互相关函数仅为时间差    的函数，与时间的函数，与时间t 无关无关  即即则称则称       和和        为联合宽平稳为联合宽平稳1.联合宽平稳联合宽平稳1242. 互协方差与互相关系数互协方差与互相关系数当两个随机信号联合平稳时，它们的互协方差当两个随机信号联合平稳时，它们的互协方差互相关系数互相关系数 1253.  联合宽平稳随机信号的互相关与互协方差联合宽平稳随机信号的互相关与互协方差                 互相关函数的影像关系互相关函数的影像关系(2)126两个随机信号两个随机信号        和和       ，如果：，如果：Ø        和和       联合宽平稳联合宽平稳 Ø 定义它们的时间互相关函数为：定义它们的时间互相关函数为：若若          依概率依概率1收敛于互相关函数收敛于互相关函数则称则称       和和        具有联合宽遍历性。

具有联合宽遍历性 即即4、联合宽遍历、联合宽遍历127       平稳随机信号平稳随机信号  X(t)和和Y(t)的互相关函数为：的互相关函数为：故这两个随机信号是平稳相依的故这两个随机信号是平稳相依的设两个平稳随机信号设两个平稳随机信号 试试问问：：X(t)和和Y(t)是是否否平平稳稳相相依依？？是是否否正正交交、、不不相相关关、、统计独立？统计独立？例例1故故KXY(τ)仅仅在在             时时等等于于零零，，所所以以X(t1)和和Y(t2)是是相相关的，因而它们不是统计独立的关的，因而它们不是统计独立的解：解：128       必必须须首首先先判判断断随随机机信信号号  X(t)和和Y(t)的的平平稳稳性性以以及及它它们们的的联合平稳性联合平稳性解：解：设两个随机信号设两个随机信号 其中其中a、、b、、w为常数，为常数，例例2在在(0, 2π)之间均匀分布，之间均匀分布，讨论讨论X(t)和和Y(t)是否联合遍历？是否联合遍历？因此因此X(t)是平稳的是平稳的因此因此Y(t)是平稳的是平稳的因此因此X(t)和和Y(t)是联合平稳的是联合平稳的129因此因此X(t)和和Y(t)是联合遍历的。

是联合遍历的130理想的宽带信号理想的宽带信号——脉冲信号（白噪声）脉冲信号（白噪声） 理想的窄带信号理想的窄带信号——单频率的正弦波信号单频率的正弦波信号正态随机信号正态随机信号马尔可夫链马尔可夫链 典型的随机信号典型的随机信号131 理想的宽带信号理想的宽带信号---脉冲信号脉冲信号132 理想的窄带信号理想的窄带信号---正弦波信号正弦波信号133一、一、 正态随机信号的一般概念正态随机信号的一般概念           如果随机信号如果随机信号X(t)的任意的任意n维概率分布都是正态维概率分布都是正态分布分布，则称它为正态随机信号，则称它为正态随机信号(高斯随机信号高斯随机信号) 正态随机信号正态随机信号正态随机信号的概率密度函数由它的一、二正态随机信号的概率密度函数由它的一、二阶矩（均值、方差和相关系数完全决定）阶矩（均值、方差和相关系数完全决定）134概率密度函数概率密度函数 式中式中,mX是是n维向量，维向量，K是是n维阵：维阵：135二二 、平稳正态随机信号、平稳正态随机信号 2. 平稳正态随机信号的定义平稳正态随机信号的定义        若正态随机信号满足下列条件，则它是宽若正态随机信号满足下列条件，则它是宽平稳（平稳）正态随机信号。

平稳（平稳）正态随机信号 1362. 平稳正态随机信号的平稳正态随机信号的n维概率密度维概率密度 平稳正态随机信号一、二维概率密度表达式平稳正态随机信号一、二维概率密度表达式 137三、三、 正态随机信号的性质正态随机信号的性质 正态随机信号的正态随机信号的n维概率密度完全由它的均维概率密度完全由它的均值集合，协方差函数集合所确定值集合，协方差函数集合所确定性质性质1：：性质性质2：： 正态随机信号的严平稳与宽平稳等价正态随机信号的严平稳与宽平稳等价 138性质性质4：平稳正态随机信号与确定信号之和仍为正态分布平稳正态随机信号与确定信号之和仍为正态分布 若正态随机信号若正态随机信号X(t) 在在T上均方可微，则其导上均方可微，则其导数数X(t)也是正态随机信号也是正态随机信号性质性质5：： 若正态随机信号若正态随机信号 X(t) 在在T上均方可积，则积上均方可积，则积分随机信号分随机信号性质性质6：： 也是正态随机信号也是正态随机信号正态随机信号通过线性系统后的输出仍为正正态随机信号通过线性系统后的输出仍为正态随机信号态随机信号 性质性质7：： 推论：推论：  正态随机信号的线性变换仍为正态随机信号。

正态随机信号的线性变换仍为正态随机信号 139例例. 设设X(t)是一个均值为零的平稳正态随机信号，自相是一个均值为零的平稳正态随机信号，自相关函数为关函数为求随机变量求随机变量                  的概率密度的概率密度解：解：由题知由题知Y是服从正态分布的随机变量是服从正态分布的随机变量140例例. 设设X(t)是一个均值为零的平稳正态随机信号，自相是一个均值为零的平稳正态随机信号，自相关函数为关函数为求随机变量求随机变量                  的概率密度的概率密度141例例. 设平稳正态随机信号设平稳正态随机信号X(t)的自相关函数为的自相关函数为求随机变量求随机变量                                         的协方差矩阵的协方差矩阵时时142时时例例. 设平稳正态随机信号设平稳正态随机信号X(t)的自相关函数为的自相关函数为求随机变量求随机变量                                         的协方差矩阵的协方差矩阵143。