曲线积分与路径无关问题.doc

泰山学院信息科学技术学院教案 数值分析 教研室 课程名称高等数学研究授课对象授课题目 第十三讲　曲线积分与路径无关问题课时数4教学目的通过教学使学生掌握两类曲线积分的来源、定义、性质和计算方法，重点掌握格林公式及曲线积分与路径无关的条件重点难点1．重点两类曲线积分的计算方法；2．难点格林公式及曲线积分与路径无关的条件教学提纲 第十三讲　曲线积分与路径无关问题1. 第一型曲线积分(1)对弧长的曲线积分的模型： (2)积分弧段的方向无关3)对弧长的曲线积分的计算2. 第二型曲线积分(1) 第二型曲线积分的模型, 第二型曲线积分方向无关3. 格林公式及其应用用“补面法”用格林公是求解4. 平面曲线积分与路径无关的条件定理：以下条件等价(1) 在区域内曲线积分与路径无关的充分；(2) 内沿任一闭曲线的积分为零；(3) 设开区域是一个单连通域，函数以及在内具有一阶连续偏导数且在内恒成立；为全微分．教学过程与内容教学后记第十三讲　曲线积分与路径无关问题一、第一型曲线积分1. 第一型曲线积分的模型设给定一条平面曲线弧：,其线密度为求弧的质量 【说明】若，则=，即对弧长的曲线积分与积分弧段有关,但与积分弧段的方向无关。

2. 第一型曲线积分的计算（代入法）设在曲线弧上有定义且连续,的参数方程为 ，,= 特别,当时, 表示曲线弧的弧长当曲线弧的方程为 ，在上有连续的导数，则=； 例1：计算第一型曲线积分（１），其中从（１，１）到（０，０）一段２），其中圆周二、第二型曲线积分1.第二型曲线积分的模型（代入法）设有一平面力场，其中为连续函数,一质点在此力场的力作用下，由点沿光滑曲线运动到点，求力场的力所作的功 【评注】设为有向曲线弧，为与方向相反的有向曲线弧，则 即第二型曲线积分方向无关2. 第二型曲线积分的计算设平面上的有向曲线的参数方程为 ，当参数单调地由变到时,= 这里的是曲线的起点所对应的参数值，是曲线的终点所对应的参数值，并不要求若曲线的方程为对应于的起点，应于的终点，则 =； 若曲线的方程为对应于的起点，应于的终点，则= 同样，以上并不要求，公式可推广到空间曲线上对坐标的曲线积分的情形，若空间曲线的参数方程为，则=这里下限为曲线的起点所对应的参数值，上限为曲线的终点所对应的参数值例2：计算，其中 (1)为抛物线上从点到点的一段弧2)为从到点的直线段.【解法1】 (1)由知不是的单值函数，因此不能运用公式（2），但可运用公式（3），这里，从变到，于是===。

解法2】 当把曲线分成与两部分时，在每一部分上都是的单值函数在上，由变到；在上，，由变到于是 =+=+==(2) 直线的方程为,,从到,于是==从这个例子可以看出, 对坐标的曲线积分沿不同的路径,曲线积分不一定相等.3. 格林公式及其应用格林公式: 设平面单连通区域D由分段光滑的曲线围成，函数及在上具有一阶连续偏导数，则 其中是的正向边界曲线在公式(1)中取，可得，上式左端为闭区域的面积的两倍，因此计算有界闭区域的面积的公式为: 例3： 计算星形线所围图形的面积.【解】 由公式(2)得===.例4: 在过点Ｏ(0,0)和Ａ(π,0)的曲线族中，求一条曲线Ｃ，使沿该曲 线从Ｏ到Ａ的线积分的值最小解】 本题可用代入法直接求解，这里采用“补面法”用格林公是求解令，即AO直线段用一元函数极值的方法得时达到最小值4. 平面曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关问题：设是平面上的一个开区域，以及在内具有一阶阶连续偏导数.如果对内任意两点与，以及内从点到点的任意两条曲线、，恒有=，则称曲线积分在内与路径无关定理：以下条件等价（１）在区域内曲线积分与路径无关；（２）内沿任一闭曲线的积分为零；（３）设开区域是一个单连通域，函数以及在内具有一阶连续偏导数且在内恒成立；（４）为全微分．例5： 计算,其中是从点经圆周上半部到点的弧段。

解】 直接计算曲线积分比较难,先判断是否与积分路径无关.这里,,有=,且与在全平面上有一阶连续偏导数.因此这个曲线积分与路径无关.为便于计算,取直线段作为积分路径.于是==5.奇点的处理方法定理：设在坐标平面上除了点Ｐ外都有，则对任意分段光滑闭曲线，是一个定值例6: 计算,其中为:（1）任一简单闭曲线,该闭曲线包围的区域不含有原点;（2）任一简单闭曲线,该闭曲线包围的区域含原点;【解】 这里,,,且与在不含原点的任意一个区域内具有一阶连续偏导数.（1） 这个曲线积分与路径无关,所以.（2）设在坐标平面上除了原点点外都有，则对任意分段光滑闭曲线，是一个定值，把换成圆周，它的参数方程为,,则 .例７：设函数具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分的值恒为同一常数.（I）证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有；（II）求函数的表达式.【分析】 证明（I）的关键是如何将封闭曲线C与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联系，这可利用曲线积分的可加性将C进行分解讨论；而（II）中求的表达式，显然应用积分与路径无关即可. Y【解】 （I） l2 C o X l3如图，将C分解为：，另作一条曲线围绕原点且与C相接，则 .（II） 设，在单连通区域内具有一阶连续偏导数，由（Ⅰ）知，曲线积分在该区域内与路径无关，故当时，总有. ① ②比较①、②两式的右端，得④③由③得，将代入④得　所以，从而【评注】 本题难度较大，关键是如何将待求解的问题转化为可利用已知条件的情形.６. 二元函数的全微分求法定义：若函数使,则称函数是表达式的一个原函数。

判别法： 设开区域是一个单连通域，函数以及在内具有一阶连续偏导数,则在内存在原函数的充分必要条件是等式在内恒成立求法：一般取.例８：验证在整个在平面内是存在原函数,并求出一个原函数解】 这里,,且在整个在平面内恒成立,因此在整个在平面内存在原函数.==.对于常微分方程,由上面可知这个微分方程的通解为 (为任意常数).。