第四章 4.2.1.docx

4．2　指数函数4．2.1　指数函数的概念学习目标　1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.了解指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用．知识点一　指数函数的定义一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.思考　为什么底数应满足a>0且a≠1?答案　①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1 (x∈R)，无研究价值．因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.知识点二　两类指数模型1．y＝kax(k>0)，当a>1时为指数增长型函数模型．2．y＝kax(k>0)，当00)是指数函数．(　×　)2．y＝ax＋2(a>0且a≠1)是指数函数．(　×　)3．y＝x是指数衰减型函数模型．(　√　)4．若f(x)＝ax为指数函数，则a>1.(　×　)一、指数函数的概念例1　(1)下列函数中是指数函数的是________．(填序号)①y＝2·()x；②y＝2x－1；③y＝x；④⑤(2)若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则实数a＝________.答案　(1)③　(2)2解析　(1)①中指数式()x的系数不为1，故不是指数函数；②中y＝2x－1，指数位置不是x，故不是指数函数；④中指数不是x，故不是指数函数；⑤中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数，故填③.(2)由y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，可得解得a＝2.反思感悟　判断一个函数是否为指数函数的方法(1)底数的值是否符合要求；(2)ax前的系数是否为1；(3)指数是否符合要求．跟踪训练1　(1)若函数y＝a2(2－a)x是指数函数，则(　　)A．a＝1或－1 B．a＝1C．a＝－1 D．a>0且a≠1答案　C解析　因为函数y＝a2(2－a)x是指数函数，所以解得a＝－1.(2)若函数y＝(2a－3)x是指数函数，则实数a的取值范围是________________．答案　∪(2，＋∞)解析　由题意知解得a>且a≠2.二、求指数函数的解析式、函数值例2　(1)已知函数f(x)是指数函数，且f ＝，则f(3)＝________.答案　125解析　设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，由f ＝得 所以a＝5，即f(x)＝5x，所以f(3)＝53＝125.(2)已知函数y＝f(x)，x∈R，且f(0)＝3，＝，＝，…，＝，n∈N*，求函数y＝f(x)的一个解析式．解　当x增加1时函数值都以的衰减率衰减，∴函数f(x)为指数衰减型，令f(x)＝kx(k≠0)，又f(0)＝3，∴k＝3，∴f(x)＝3·x.反思感悟　解决此类问题的关键是观察出函数是指数增长型还是指数衰减型，然后用待定系数法设出函数解析式，再代入已知条件求解．跟踪训练2　已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)经过点(－1,5)，(0,4)，则f(－2)的值为________．答案　7解析　由已知得解得所以f(x)＝x＋3，所以f(－2)＝－2＋3＝4＋3＝7.三、指数增长型和指数衰减型函数的实际应用例3　甲、乙两城市现有人口总数都为100万人，甲城市人口的年自然增长率为1.2%，乙城市每年增长人口1.3万．试解答下面的问题：(1)写出两城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2)计算10年、20年、30年后两城市的人口总数(精确到0.1万人)；(3)对两城市人口增长情况作出分析．参考数据：(1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)20≈1.269，(1＋1.2%)30≈1.430.解　(1)1年后甲城市人口总数为y甲＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；2年后甲城市人口总数为y甲＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2；3年后甲城市人口总数为y甲＝100×(1＋1.2%)3；…；x年后甲城市人口总数为y甲＝100×(1＋1.2%)x.x年后乙城市人口总数为y乙＝100＋1.3x.(2)10年、20年、30年后，甲、乙两城市人口总数(单位：万人)如表所示.10年后20年后30年后甲112.7126.9143.0乙113126139(3)甲、乙两城市人口都逐年增长，而甲城市人口增长的速度快些，呈指数增长型，乙城市人口增长缓慢，呈线性增长．从中可以体会到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异．反思感悟　解决有关增长率问题的关键和措施(1)解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率，切记并不总是只和开始单位时间内的比较．(2)具体分析问题时，应严格计算并写出前3～4个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再概括为数学问题，最后求解数学问题即可．(3)在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．跟踪训练3　中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议认为，到2020年全面建成小康社会，是我们党确定的“两个一百年”奋斗目标的第一个百年奋斗目标．全会提出了全面建成小康社会新的目标要求：经济保持中高速增长，在提高发展平衡性、包容性、可持续性的基础上，到2020年国内生产总值和城乡居民人均收入比2010年翻一番，产业迈向中高端水平，消费对经济增长贡献明显加大，户籍人口城镇化率加快提高．设从2011年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长p%.下面给出了依据“到2020年城乡居民人均收入比2010年翻一番”列出的关于p的四个关系式：①(1＋p%)×10＝2；②(1＋p%)10＝2；③10(1＋p%)＝2；④1＋10×p%＝2.其中正确的是(　　)A．① B．② C．③ D．④答案　B解析　已知从2011年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长p%.则由到2020年城乡居民人均收入比2010年翻一番，可得：(1＋p%)10＝2；正确的关系式为②.1．下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3.其中，指数函数的个数是(　　)A．0 B．1 C．2 D．3答案　B解析　①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，y＝3x，3x的系数是1，指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．所以只有③是指数函数．故选B.2．若函数y＝(m2－m－1)·mx是指数函数，则m等于(　　)A．－1或2 B．－1C．2 D.答案　C解析　依题意，有解得m＝2(舍m＝－1)，故选C.3．如表给出函数值y随自变量x变化的一组数据，由此可判断它最可能的函数模型为(　　)x－2－10123y141664A.一次函数模型 B．二次函数模型C．指数函数模型 D．幂函数模型答案　C解析　观察数据可得y＝4x.4．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系式是(　　)A．y＝2x B．y＝2x－1C．y＝2x D．y＝2x＋1答案　D解析　分裂一次后由2个变成2×2＝22(个)，分裂两次后变成4×2＝23(个)，…，分裂x次后变成y＝2x＋1(个)．5．f(x)为指数函数，若f(x)过点(－2,4)，则f(f(－1))＝________.答案　解析　设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，所以f(－2)＝4，a－2＝4，解得a＝，所以f(x)＝x，所以f(－1)＝－1＝2，所以f(f(－1))＝f(2)＝2＝.1．知识清单：(1)指数函数的定义．(2)指数增长型和指数衰减型函数模型．2．方法归纳：待定系数法．3．常见误区：易忽视底数a的限制条件：a>0且a≠1.1．下列函数中，指数函数的个数为(　　)①y＝x－1；②y＝ax(a>0，且a≠1)；③y＝1x；④y＝2x－1.A．0 B．1 C．3 D．4答案　B解析　由指数函数的定义可判定，只有②正确．2．若函数f(x)＝·ax是指数函数，则f 的值为(　　)A．2 B．－2 C．－2 D．2答案　D解析　因为函数f(x)是指数函数，所以a－3＝1，所以a＝8，所以f(x)＝8x，f ＝＝2.3．下列函数关系中，可以看作是指数型函数y＝kax(k∈R，a>0且a≠1)的模型的是(　　)A．竖直向上发射的信号弹，从发射开始到信号弹到达最高点，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)B．我国人口年自然增长率为1%时，我国人口总数与年份的关系C．如果某人t s内骑车行进了1 km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系D．信件的邮资与其重量间的函数关系答案　B解析　A中的函数模型是二次函数；B中的函数模型是指数型函数；C中的函数模型是反比例函数；D中的函数模型是一次函数．故选B.4．据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若每年以相同的衰减率呈指数衰减，按此规律，设2019年的湖水量为m，从2019年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为(　　)A．y＝B．y＝(1－)mC．y＝mD．y＝(1－0.150x)m答案　C解析　方法一　设每年的衰减率为q%，则(q%)50＝0.9，所以q%＝，所以x年后的湖水量y＝m.方法二　设每年的衰减率为q%，则(1－q%)50＝0.9，所以q%＝1－，所以y＝m·[1－(1－)]x＝m.5．下列函数图象中，有可能表示指数函数的是(　　)答案　C解析　A为一次函数；B为反比例函数；D为二次函数；选项C的图象呈指数衰减，是指数衰减型函数模型，故选C.6．已知函数f(x)＝＋3(a>0且a≠1)，若f(1)＝4，则f(－1)＝________.答案　0解析　由f(1)＝4得a＝3，把x＝－1代入f(x)＝＋3得到f(－1)＝0.7．若函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x是指数函数，则a＝________.答案　1解析　由指数函数的定义得解得a＝1.8．已知某种放射性物质经过100年剩余质量是原来质量的95.76%，设质量为1的这种物质，经过x年后剩余质量为y，则x，y之间的关系式是________．答案　y＝解析　设质量为1的物质1年后剩余质量为a，则a100＝0.957 6.所以a＝，所以y＝ax＝.9．已知函数f(x)＝2x＋2ax＋b，且f(1)＝，f(2)＝.求a，b的值．解　由题意得即所以解得10．有一种树栽植5年后可成材．在栽植后5年内，该种树的产量年增长率为20%，如果不砍伐，从第6年到第10年，该种树的产量年增长率为10%，现有两种砍伐方案：甲方案：栽植5年后不砍伐，等到10年后砍伐．乙方案：栽植5年后砍伐重栽，然后过5年再砍伐一次．请计算后回答：10。