波函数和电子云图形.pdf

2-3 波函数和电子云图形2-3 波函数和电子云图形一、波函数的标记方法一、波函数的标记方法最明显的标记方法是在波函数的右下角依次写出最明显的标记方法是在波函数的右下角依次写出n, l, m的具体数值的具体数值: 例如例如n = 1, l = 0, m = 0 的状态记为的状态记为ΨΨ100；； n = 2, l = 1, m = -1的的状态记为的的状态记为ΨΨ21-1等依照光谱中的习惯，通常是给角量子数等依照光谱中的习惯，通常是给角量子数l不同的波函数 记以不同的符号不同的波函数 记以不同的符号 l 值值0 1 2 3 4 5 6 ··· 记号记号s p d f g h I ··· 如如2s, 2p1, 3d2, 3d-1等等. 实函数的实函数的ΦΦ(φφ)部分并不和磁量子数部分并不和磁量子数m有一一对应关 系，而是±有一一对应关 系，而是±m 对应于对应于cos|mφφ|和和sin|mφφ|以以n=2,l=1的的2p轨道为例，说明实函数角注的标记方 法对轨道为例，说明实函数角注的标记方 法。

对2p，因，因m可以取可以取1,0,-1，用复函数表示时可标记为 ， 即，用复函数表示时可标记为 ， 即2p0,2p1和和2p-1，即，即θψcos)2exp()(0002aZr aZrNp−=)exp(sin)2exp()(210012θθψiaZr aZrNp−=+)exp(sin)2exp()(210012θθψiaZr aZrNp−−=−230)(241 aZNπ=其中其中ΨΨ2p0本身已经是实函数了将一对复函数本身已经是实函数了将一对复函数ΨΨ2p+1和和ΨΨ2p-1进 行线形组合，则得到一对正交归一的实函数进 行线形组合，则得到一对正交归一的实函数)(211p21p2−++ψψ)exp(sin)2exp()(21)exp(sin)2exp()(210000θθθθiaZr aZrNiaZr aZrN−−+−=)]exp()[exp(sin)2exp()(2100θθθiiaZr aZrN−+−=]sincossin[cossin)2exp()(2100θθθθθiiaZr aZrN−++−=θθcossin)2exp()(00aZr aZrN−=xxrfrrfp2)(cossin)(ψθθ→⋅=⋅=yyrfrrfaZr aZrNip2001p21p2)(sinsin)(sinsin)2exp()()(21ψθθθθψψ→⋅=⋅=−=−−+xyp2p21p21p2ψψψψ±⇔±−+m=0的波函数可以化为一个的波函数可以化为一个r的函数的函数f(r)与直角坐标与直角坐标z 的乘积，因此记为的乘积，因此记为2pz；；m=±±1的的cosφφ型和型和sinφφ型实波 函数可以分别化为型实波 函数可以分别化为f(r)与与x和和y的乘积，记为的乘积，记为2px和和2py。

p, d, f 轨道的不同标记轨道的不同标记)pp(21p11−+−=iy)pp(21p11−++=xfx(x2-3y2) fy(3x2-y2)fz(x2-y2) fzxyfxz2 fyz2 实函数实函数 fz3f+3 f-3f+2 f-2f+1 f-1复函数复函数 f0dx2-y2 dxydxz dyz实函数实函数 dz2d+2 d-2d+1 d-1复函数复函数 d0 pxpy实函数实函数 pzp+1p-1复函数复函数 p0除除m=0的状态外，其余复函数和实函数都是两两对应 的而表示一一对应的的状态外，其余复函数和实函数都是两两对应 的而表示一一对应的二．波函数和电子云的图形波函数和电子云的图形ΨΨ(r,θθ,φφ)=Rn,l(r) Yl,m(θθ,φφ)先讨论先讨论ΨΨ随随r的变化关系，称为径向分布，然后讨论的变化关系，称为径向分布，然后讨论 ΨΨ随随θθ,φφ的变化情况称为角度分布，最后再将二者综合 起来，讨论的变化情况称为角度分布，最后再将二者综合 起来，讨论ΨΨ随随r,θθ,φφ的变化情况，即空间分布。

的变化情况，即空间分布1. 径向分布径向分布 ⑴⑴ Rn,l 与与r的关系图的关系图Rn,l只与量子数只与量子数n,l有关，与有关，与m无关，所以凡量子数无关，所以凡量子数n,l相同的状态，其图形都是相同的相同的状态，其图形都是相同的径向函数的节点数等于径向函数的节点数等于n-l-1 在节点处在节点处R (r)=0，相应的空间为一球面，称为径节面函数，相应的空间为一球面，称为径节面函数 R (r)的节面同时也是的节面同时也是ΨΨ的节面氢原子氢原子1s, 2s,2p,和和3d态的态的R-r图图⑵径向分布函数⑵径向分布函数 将将ΨΨ2(r,θθ,φφ)dττ在在θθ和和φφ的全部区域积分，其结 果表示离核为的全部区域积分，其结 果表示离核为r处，厚度为处，厚度为dr的球壳内电子出现的几率：的球壳内电子出现的几率：φφθθθφπ dddrrRr∫∫ΦΘ=2020222)(sin)()(τφθψπφπθdrdrrD∫ ∫ ===2002),,()(drrRr)(22=φθθφθπφπθddrdrrRsin)]()()([22002∫ ∫ ==ΦΘ=D(r) = r2R (r)2对于对于s态，态，ΨΨ只是只是r的函数，考虑到的函数，考虑到s态中态中ΘΘ(θθ)ΦΦ(φφ)函数的具体数值为函数的具体数值为π41π41因此，因此，ΨΨn00=R(r)n0ΘΘ00(θθ)ΦΦ0(φφ)= R(r)n0故故Rn0(r)2= 4ππr2ΨΨs2D(r) = r2R (r)2= 4ππr2ΨΨs2D(r)的物理意义：的物理意义： D(r)代表在半径代表在半径r的球面到半径的球面到半径r+dr的两个球壳夹层 内找到电子的几率，它反映电子云的分布随半径的两个球壳夹层 内找到电子的几率，它反映电子云的分布随半径r的变 化情况。

通常将的变 化情况通常将D(r)对对r作图，称为径向分布图作图，称为径向分布图径向分布函数和电子云径向分布函数和电子云ΨΨ2的物理意义不同的物理意义不同: ΨΨ2即空间某点附近单位体积的几率，即空间某点附近单位体积的几率，D(r)即即r附近的 球壳夹层单位厚度内的几率附近的 球壳夹层单位厚度内的几率2. 角度分布角度分布波函数的角度分布图波函数的角度分布图波函数波函数ΨΨ的角度分布的实数形式的角度分布的实数形式Yl,|m|称为称为田谐函数田谐函数， 复数形式， 复数形式Yl,m(θθ,φφ)称为称为球谐函数球谐函数波函数角度部分是指实数函数的图形波函数角度部分是指实数函数的图形角节面的总数为角节面的总数为l个（个（l－－|m|个个ΘΘl,m(θθ)节面，节面，m个个 ΦΦm(φφ)节面）Yl,|m|只与量子数只与量子数 l, m 有关，与有关，与 n 无关，所以 量子数无关，所以 量子数 n 相同的状态其 角度分布图都是一样的 例如相同的状态其 角度分布图都是一样的 例如2pz, 3pz, 4pz的角度 分布都是一样的，通称 为的角度 分布都是一样的，通称 为 pz轨道的角度分布轨道的角度分布。

先讨论图形的特点，如节面，极值，拐点，对称性等先讨论图形的特点，如节面，极值，拐点，对称性等[例例] pz轨道轨道 Ypz=c cosθθ(a) 节面节面令令c cosθθ=0 得得θθ=90°，即°，即Ypz的节面是的节面是xy平面 (b) 极大值极大值d Ypz/dθθ=0 θθ=0°°, 180°°. θθ=0°对应于°对应于z轴的正方向，轴的正方向，θθ=180°对应于°对应于z轴的负方 向，相应的极大值为轴的负方 向，相应的极大值为|c|. (c) 计算不同角度计算不同角度θθ时时Y的相对大小的相对大小2/3−2/2−2/22/3-1-1/201/21Y (c)180150135120906045300θθ(°°)- -Ypz只含有只含有θθ,φφ而不含有而不含有φφ，可以在包含，可以在包含z轴的任 意平面上作轴的任 意平面上作Y的极坐标图，将此图形绕的极坐标图，将此图形绕z轴旋转一周所 形成的空间曲面即为轴旋转一周所 形成的空间曲面即为pz轨道的角度分布图轨道的角度分布图Ypz图形图形z +x以下是几类角度分布图示例：以下是几类角度分布图示例：(1) (1) S S轨道轨道(2) (2) P P轨道轨道• +P PyP PzP Px• +• +• +132 322−θcos~drz132−θcos• +• +ϕθθcoscossin~dzxθθ cossinπ=ϕ, 0• + • +氢原子氢原子d d- -轨道轨道( ( l = 2 )l = 2 )角度分布角度分布ϕθθsincossin~dyzθθ cossin23 2ππ=ϕ,θθ−22 22cossin~dyxϕ2cos2π=θϕθ22sinsin~dxy2π=θ ϕ2sin4f5yz2- yr2 4fy3- 3x2y4fxyz4f5xz2- xr24fzx2- zy24fx3- 3xy24fz3- 3zr23．空间分布．空间分布（1）（1）ΨΨ等值面和等几率密度面∣等值面和等几率密度面∣ΨΨ∣∣2将空间中波函数相等的点连接起来所形成 的曲面称为波函数的等值面。

因空间中将空间中波函数相等的点连接起来所形成 的曲面称为波函数的等值面因空间中ΨΨ相等 的点∣相等 的点∣ΨΨ∣∣2也相等，因此也相等，因此ΨΨ的等值面与相应的 等密度面在形状上完全相同，只不过曲面上所 标数值的大小和含义不同的等值面与相应的 等密度面在形状上完全相同，只不过曲面上所 标数值的大小和含义不同2PZ等值面等值面3PZ等值面等值面3dxZ等值面等值面3dZ2等值面等值面（2）界面图（2）界面图界面图与等几率密度面的图形在形状上是完全一 样的，是某一确定的等几率密度面界面图与等几率密度面的图形在形状上是完全一 样的，是某一确定的等几率密度面1s电子云界面图（3）电子云图（3）电子云图通常用小黑点的密或稀形象地表示的相对大小， 即电子云分布，称为电子云图通常用小黑点的密或稀形象地表示的相对大小， 即电子云分布，称为电子云图2ψ（4）（4）ΨΨ的网格线图的网格线图 图形中各点对于通过原子核的坐标平面的高度代表 波函数的代数值图形中各点对于通过原子核的坐标平面的高度代表 波函数的代数值5）原子轨道图（5）原子轨道图Two representations of the hydrogen 1s, 2s, and 3s orbitals. (a) The electron probability distribution. (b) The surface that contains 90% of the total electron probability (the size of the orbital, by definition). (b)(a)Representation of the 2p orbitals. (a) The electron probability distribution for a 2p orbital. (b) The boundary surface representations of all three 2p orbitals A cross section of the electron probability distribution for a 3pz orbital.(b)Representation of the 3d orbitals. (a) Electron density plots 。