《圆》知识点及练习习题.doc
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《圆》知识点及练习题一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线二、点与圆的位置关系1、点在圆内 点在圆内；2、点在圆上 点在圆上；3、点在圆外 点在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 无交点；2、直线与圆相切 有一个交点；3、直线与圆相交 有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1） 无交点 ；外切（图2） 有一个交点 ；相交（图3） 有两个交点 ；内切（图4） 有一个交点 ；内含（图5） 无交点 ； 五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①是直径 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧中任意2个条件推出其他3个结论推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等 即：在⊙中，∵∥ ∴弧弧六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①；②；③；④ 弧弧七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角 ∴2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在⊙中，∵、都是所对的圆周角 ∴推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙中，∵是直径 或∵ ∴ ∴是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形即：在△中，∵ ∴△是直角三角形或注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角 即：在⊙中， ∵四边形是内接四边形 ∴ 九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角即：∵、是的两条切线 ∴ 平分十一、圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等即：在⊙中，∵弦、相交于点， ∴（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项即：在⊙中，∵直径， ∴（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项即：在⊙中，∵是切线，是割线 ∴ （4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）即：在⊙中，∵、是割线 ∴十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦如图：垂直平分即：∵⊙、⊙相交于、两点 ∴垂直平分十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：中，；（2）外公切线长：是半径之差； 内公切线长：是半径之和 。
十四、圆内正多边形的计算（1）正三角形 在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在中进行，：（3）正六边形同理，六边形的有关计算在中进行，.十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式：；（2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积2、圆柱： （1）圆柱侧面展开图 =（2）圆柱的体积：（2）圆锥侧面展开图（1）=（2）圆锥的体积：选择题1. 若两圆相切，且两圆的半径分别是2，3，则这两个圆的圆心距是（ ）A. 5 B. 1 C. 1或5 D. 1或42. ⊙O1 和⊙O2 的半径分别为1和4，圆心距O1O2＝5，那么两圆的位置关系是（ ）A. 外离 B. 内含 C. 外切 D. 外离或内含3．如果半径分别为1cm和2cm的两圆外切，那么与这两个圆都相切，且半径为3cm的圆的个数有（ ）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个ABMO4．若两圆半径分别为R和r（R＞r），圆心距为d，且R2＋d2－r2＝2Rd，则两圆的位置关系是（ ）A. 内切 B. 外切 C. 内切或外切 D. 相交5. 如图，⊙O的直径为10厘米，弦AB的长为6cm，M是弦AB上的一动点，则线段OM的长的取值范围是（ ） A. 3≤OM≤5 B. 4≤OM≤5 C. 3＜OM＜5 D. 4＜OM＜56. 已知：⊙O1和⊙O2的半径是方程x2－5x＋6＝0 的两个根，且两圆的圆心距等于5则⊙O1和⊙O2的位置关系是（ ）A. 相交 B. 外离 C. 外切 D. 内切 7. 如图，△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝AC＝，⊙A与BC相切，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 1－ B. 1－ C. 1－ D. 1－ 8. 如图，点B在圆锥母线VA上，且VB＝VA，过点B作平行于底面的平面截得一个小圆锥，若小圆锥的侧面积为S1，原圆锥的侧面积为S，则下列判断中正确的是（ ） A. S1＝S B. S1＝S C. S1＝S D. S1＝S 填空题1. 若半径分别为6和4的两圆相切，则两圆的圆心距d的值是 _______________ 。
2. ⊙O1和⊙O2 的半径分别为20和15，它们相交于A，B两点，线段AB＝24，则两圆的圆心距O1O2＝____3. ⑴⊙O1和⊙O2相切，⊙O1的半径为4cm，圆心距为6cm，则⊙O2的半径为__________；⑵⊙O1和⊙O2相切，⊙O1的半径为6cm，圆心距为4cm，则⊙O2的半径为__________4.⊙O1、⊙O2和⊙O3是三个半径为1的等圆，且圆心在同一直线上，若⊙O2分别与⊙O1，⊙O3相交，⊙O1与⊙O3不相交，则⊙O1与⊙O3圆心距 d的取值范围是_____5. 在△ABC，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点O是△ABC的外心，现在以O为圆心，分别以2、、3、为半径作⊙O，则点C与⊙O的位置关系分别是_____________6.如图在⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足为P，∠BAD＝30°，则∠AOC的度数是 ________度7.在Rt△ABC，斜边AB＝13cm，BC＝12cm，以AB的中点O为圆心，为半径画圆，则直线BC和⊙O的位置关系是________________8.把一个半径为12厘米的圆片，剪去一个圆心角为120°的扇形后，用剩下的部分做成一个圆锥侧面，那么这个圆锥的侧面积是___________。
9.已知圆锥的母线与高的夹角为30°，母线长为4cm，则它的侧面积为 ________ cm2（结果保留π）10. 一个扇形的弧长为4π，用它做一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为 解答证明题1. 已知：如图，⊙O1和⊙O2相交于点A、B，过点A的直线分别交两圆于点C，D点M是CD的中点直线，BM分别交两圆于点E、F⑴求证：CE△ABC的三边长分别为6、8、10，并且以A、B、C三点为圆心作两两相切的圆，求这三个圆的半径3.如图所示，⊙O1和⊙O2相切于P点，过P的直线交⊙O1于A,交⊙O2于B，求证：O1A∥O2B4.如图，A为⊙O上一点，以A为圆心的⊙A交⊙O于B、C两点，⊙O的弦AD交公共弦BC于E点1）求证：AD平分∠BDC（2）求证：AC2＝AE·ADABDOEC 5. 如图，⊙O的半径OC与直径AB垂直，点P在OB上，CP的延长线交⊙O于点D，在OB的延长线上取点E，使ED＝EP （1）求证：ED是⊙O的切线； （2）当OC＝2，。
