华东师大15级师范班数学分析(二)总结.docx

数学分析演讲稿第8章 原函数1、积分的微分（那种同时含有与的情形怎么办？例如求）2、分部积分法（“反对幂指三”对不对？）3、三类欧拉变换：三类欧拉变化对应的条件各是什么？4、不定积分常见错误：字母乱用例题：求.错误解法：令，则 ，所以最后可以得到错误的答案.（想想这是为什么？）5、 特殊计算方法（1） 配对积分法例如：，，.（2） 递推法（求递推公式）例如：，，.6、 有理函数积分（1） “遮挡法”处理部分分式的问题，，（2） 实系数有理函数的积分需要知道推导方式的一个积分：（请自行翻阅讲义查看推导）（3） 三角函数有理积分如果，则令；如果，则令；如果，则令.7、 无理函数积分 注意：这类函数也只能在或都是整数的三种特殊情况下才能积得出来，其余情况下的二项式微积分都积不出来感想：计算不定积分是微积分课程的基本技能之一，在计算机科学突飞猛进的今天，许多不定积分都可以在计算机上用Mathematica，Maple等软件直接求出那么关于求不定积分的方法技巧的时候应该学什么？有兴趣的读者请参看美国数学月刊，92卷（1985年），214-215页中的意见第9章 定积分1、 有界变差函数和完全连续函数（参考讲义） 这里面记住一个结论：上定义的函数是一个有界变差函数当且仅当可以写成在上的两个有界单调增函数的差。

2、 Stieltjes积分（记为），积分性质参考讲义3、 Riemann可积 对于Stieltjes表达式，当，时，称Stieltjes表达式为Riemann可积的4、 可积的几个条件：（1） 在有界闭区间上连续的函数在上可积2） 若在单调有界，在上单调增连续，则可积3） 若在上有界，在上只有有限个间断点，；单调递增，且在的间断点集上连续，则可积4） 复合函数的可积性定理：设关于可积，连续，则复合函数关于可积5） 分部积分公式：，其中只要有一个积分存在，则另外一个积分也会存在5、 Stieltjes积分与Riemann积分之间的关系： 设在上单调递增，存在并且Riemann可积函数，则：关于可积Riemann可积，这时，.6、 微积分基本定理：如果是Riemann可积，且在上存在原函数，则成立Newton-Leibniz公式：. 注意：微积分基本定理的重要性在于把求定积分的问题转化为求原函数的问题，所以之前把积分的记号写成定积分的记号但是要注意的是，若的原函数存在，不一定是Riemann可积的；另一方面，Riemann可积的函数也未必存在原函数 微积分基本定理的推广：在有界闭区间上Riemann可积的充要条件是的不连续点之集合是零测度集（零测度集也是可列的）。

当是Riemann可积的时候，则存在上的连续函数，使得除去一个零测度外，且成立Newton-Leibniz公式：. Cauchy曾经用下面的例子说明用Newton-Leibniz公式时必须验证条件，请指出以下计算中的错误并做出更正：.7、 积分中值定理积分第一中值定理：设函数在上有界、可积，，设函数在上单调，则存在，，使得，若又是连续的，则存在，使得，又若连续且是严格单调的，则.积分第二中值定理：设函数在上连续，在上单调，则存在，使得，若严格单调，则.Bonnet第二中值定理：设函数在上可积，在上单调，则存在使得，若严格单调，则.Bonnet第二中值定理：设函数在上可积，在上非负且单调减，则存在，使得，若严格单调，则.Bonnet第二中值定理：设函数在上可积，在上非负且单调增，则存在，使得，若严格单调，则.8、 Riemann引理：设，则. Riemann定理：设，其中ɡ是以为周期的周期函数，则.9、 对称性在定积分中的应用（习题课讲义有）10、 用递推的方法求定积分，特别要注意（分的奇偶情况讨论）.习题：设是一个次的多项式，，，证明：.证明：设，.由条件，+.令，是其零点.，是次数不超过的多项式。

时，即.，，，，.所以，.第10章 定积分的应用1、 求曲线的弧长2、 求曲线的曲率3、 祖暅原理：若一个空间中一个集合介于两个维平面和之间，若已知维平面与相截得到截面面积是在上的可积函数，，则集合的体积为.4、 旋转曲面的面积5、 定积分的近似计算，万能求体积公式（Simpson公式，对三次以及三次以内的多项式都是精确的）.6、 Guldin定理（第一和第二定理）7、 不等式：凹凸不等式：Hadamard不等式，Jensen不等式Schwarz积分不等式Young不等式Holder不等式Minkowski不等式（具体不等式参看《不等式》）期中考试前的几个不等式：不等式：设，，，可积 . 且等号成立当且仅当和 成比例时成立 Let ， with . Then, we have . Moreover, the inequality becomes to be an equality if and only if there exists a such that . 时的不等式称为不等式，是不等式的积分形式。

定理：设是上的下凸函数，则 .推广的不等式：设非负连续，严格递增，，，，则，且等号成立当且仅当.Young equality: Let , and with . Then, we have , for .不等式：设非负，，可积，则 . Let , , then we have . Moreover, the inequality become an equality if and only if there exists a such that.不等式： ，， ，， 积分形式： 当且仅当时“等号”成立 当且仅当时“等号”成立积分形式的不等式：设，可积，，是下凸函数，则成立不等式 .Arithmetic Mean-Geometry Mean Inequality: Let be positive real numbers and be positive real numbers with . Then we have: .Hibert Inequality: Assume , then we have: .Hard Inequality: Let with . Assume and then we have: .Hardy-Landan Inequality: Let and , be positive number. To show for , we have: .Carleman Inequality: Let , be positive numbers. If . Then .：为上的凹函数，证明：.8、 利用定积分求极限9、 Wallis公式与Stirling公式Wallis公式:.Stirling公式：（最简单形式的斯特林公式）. 更加深入的有，其中.10、 证明是一个无理数.11、 估计椭圆的周长：.第11章 反常积分1、 可积类函数的扩大（讲义）2、 反常积分（瑕积分、无穷积分）3、 广义积分的敛散性判别法Cauchy收敛准则：无穷积分收敛的充要条件是：任给定，存在，使得只要，便有.设是瑕点，瑕积分收敛的充要条件是：任给定，存在，使得只要，便有.绝对收敛的反常积分收敛。

比较原则：若具有相同的积分区间（当积分区间有限时局域相同的瑕点），且，则当的反常积分收敛时，的反常积分也收敛当的反常积分发散时，的反常积分也发散推论：若具有相同的积分区间（当积分区间有限时具有相同的瑕点），，，且当趋于无穷大或瑕点时的极限为（可以是）则当时，若的反常积分收敛，则的反常积分收敛当时，若的反常积分发散，则的反常积分也发散，若的反常积分收敛，则的反常积分也收敛Dirichlet判别法：设在上内闭可积，为瑕点，广义积分收敛的充分必要条件是存在分解，使得 （1）函数在上单调，且； （2）对任何，积分存在且有界Abel判别法：设在上内闭可积，为瑕点，广义积分收敛的充分必要条件是存在分解，使得 （1）函数在上单调有界； （2）积分收敛注意：记住几个平时练习中收敛和发散的特殊举例，还要注意等价代换，下面举例：（收敛，发散），（收敛，绝对收敛，发散）……例题：设，证明广义积分.在时发散，在时条件收敛，在时绝对收敛4、 广义积分的计算拆分上下限（0到正无穷拆分为0到1与1到正无穷），三角代换，分部积分法得相邻两项之间的关系特殊的广义积分计算：Euler积分（习题课讲义第1题）：.Froullani积分：设函数在上连续，极限存在并且有限，实数，积分.Dirichlet积分：.Euler-Poisson积分：.练习（习题课讲义第12题）：证明：积分的值与无关。

第12章 数项级数1、 级数（莱布尼茨交错级数）2、 级数的收敛性级数的Cauchy收敛准则：级数收敛的充要条件是：，，当时，，.特别地，令，就有.绝对收敛的（复数）级数必收敛Cauchy定理：设正项数列单调递减趋向于0，则与同敛散注：本定理中把2改成大于2的整数也是对的）要记住的特殊例子：p级数，（当时收敛，当时发散），代换=……比较定理（有三条，参看讲义）Kummer判别法：设，，如存在以及常数，当时，则收敛若发散，且，则发散由此，我们得到一些推论： D’Alembert判别法：，级数收敛，级数发散（Kummer判别法中令） Raabe判别法：，级数收敛，级数发散（Kummer判别法中令） 还有Bertrand,Gauss判别法等 Cauchy根值判别法：，级数收敛；级数发散（根值判别法判别能力强于比值判别法，例如：，比值判别法就失效了）积分判别法：若，有界单调递减，是一正整数，则与同敛散Ermakoff判别法：设函数单调减，且恒为正值，又设存在，当时，，则级数收敛，若，则发散和积分判别法效果一样）Ermakoff判别法举例：证明级数发散 证明如下：令，利用Ermakoff判别法，只要证明存在，，当时，，则级数发散。

实际上取，则当时，即可即证明在时这个不等式成立，两边关于求导可知，只要证明即可，这不等式在时成立，再两边关于求导可知，只要证明即可在时这个不等式是成立的，所以证得时，，故级数发散Abel判别法：设（复数）级数收。