cauchy积分公式和高阶导数公式.ppt

1,,§3-3 Cauchy积分公式和高阶导数公式,一、解析函数的Cauchy积分公式 二、解析函数的高阶导数定理 三Δ、解析函数的实部和虚部与调和函数,2,1.问题的提出,根据闭路变形原理知,,该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变,,求这个值.,3,,,,,,4,,2.Cauchy积分公式,Cauchy积分公式,,5,证明：以 为心作一完全包含于 内的圆盘 ，并且 记其边界为圆 在 上，挖去圆盘 ，余下的点 集是一个闭区域 在 上 函数解析，由柯西定理有： 在这里沿 的纠纷是按照 区域的正向取的，沿 的积 分是按正向取的，即逆时针方向 以下我们证明：,,6,,记 由柯西定理知： 是个不依赖于 的常数，从而 我们证明 由于 和 在z0 是连续性，所以对于任意的 ，可以找到,7,,使得当 ， 时，有 从而当,从而,故,8,定理1 对于由 条围线所围成的复连通区域仍然有效． （如教材66页定理1那样构成）,定理1从揭示解析函数的性质、表示解析函数及提供计算积分的方法等三方面给我们以启示． 定理1为我们提供了计算如（*）式左端的积分的方法,这类积分的特征是：积分路径是围线，被积函数为一分式，它在积分路径内部只含一个奇点，且该奇点是使分母 为零的点，而在积分路径上无被积函数的奇点．,（*）,9,例 1,解,由Cauchy积分公式,10,例 2,解,由Cauchy积分公式,11,关于Cauchy积分公式的说明:,把函数在C内部任一点的值用它在边界上的 值表示.,（这是解析函数的一个重要特征）,(2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积 分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个 积分表达式.,(这是研究解析函数的有力工具),12,例 计算积分 ．,解 首先，识别积分的类型．它是具有（*）式左端积分的特征的那类积分． 其次，将所求积分与（*）式左端的积分比较后，知道所求积分在形式上与（*）式左端的积分相同．由此想到利用（*）式计算积分． 最后，经验证，所求积分满足定理1的条件，于是，由（*）式得,13,解 首先，识别积分类型．它是具有（*）式左端积分的特征的那类积分． 其次，将所求积分与（*）式左端的积分比较，在形式上是不一样的．但是，如果将它变形为,例 计算积分 ．,那么，在形式上与（*）式左端的积分一样．由此想到利用（*）式计算． 最后，经验证，所求积分满足定理4.5的条件，于是，由（*）式得,14,例 计算积分,,,,作,，有,计算上式右端两个积分,,,,,故,15,观察下列等式,问题： 解析函数的导函数一定为解析函数？ 若是，则其导函数可否用一公式来表示呢？,16,亦即 抽象后有 上式是必然的吗？下面的定理给予了回答．,17,高阶导数公式的作用:,不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来求积分.,二、解析函数的高阶导数定理,18,证 利用数学归纳法证明该定理．,⑴设 ，证上式成立，即证 (1),欲证(1)式，只须证,19,于是,由此有,故,即,20,⑵ 设 时，题设式子成立，证 时，题设式子成立，即证,21,,假设（3-3-3）当 时成立。

设以 为心，以 为半径的圆盘完全包含在 内，并且在这圆盘内取 使得 ，那么当 时，,22,,那么,23,,由此可以证明：当 ， 的右边趋于零于是（3-3-3）当 时成立由⑴与⑵证得定理．,24,定理2 对于由 条围线所围成的复连通区域仍然有效． （如教材68页定理2那样构成）,这类积分的特征是：积分路径是围线，被积函数为一分式，它在积分路径内部只含一个奇点，且该奇点是使分母 为零的点，而在积分路径上无被积函数的奇点．,25,,推论： 若函数 在点 解析，则存 在点 的一个邻域 ，使得在该邻域内 有 任意阶导数，其各阶导数也解析；并且在该邻域内函数 和 的各阶偏导数不仅存在而且都连 续 证明： 由函数在点 解析知：可作一圆盘 使得 在该闭圆盘上解析于是对该圆盘应用定理226,例 计算积分,解：由高阶导数公式,,,27,解 首先，识别积分的类型．它是具有（*）式左端积分的特征的那类积分． 其次，将所求积分与（*）式左端的积分比较后，知道所求积分在形式上与（*）式左端的积分相同．由此想到用（*）式计算积分． 最后，经验证，所求积分满足定理2的条件，由（*）式得,例 计算积分,28,例2 （1） （2）,解 （1） 函数 的奇点 在圆 的内部，而其它的两个奇点在左半平面 ，从而 在该圆的外部。

于是函数 在闭圆盘 上解析，由定理2 可得：,（2）同理 其中 在闭圆盘 上解析，因此,29,例 3,解,30,31,4.典型例题,例 4,解,,由Cauchy积分公式,,32,例 5,解,根据Cauchy积分公式知,,33,例 6,解,34,例 6,解,35,由复合闭路定理, 得,例 6,解,36,例 7,解,37,根据复合闭路原理,38,于是,39,例 8,解,由Cauchy 积分定理得,由Cauchy积分公式得,40,41,例4,解,42,根据复合闭路原理和高阶导数公式,,43,44,1. 调和函数的概念,2. 解析函数与调和函数的关系,3. 计算实例,,由定理2，在区域D内解析函数的实部函数和虚部函数在D内必有各阶连续偏导数下面研究其实部函数和虚部函数的二阶偏导数之间的关系三、解析函数的实部和虚部与调和函数,45,调和函数的概念,定义,工程中的许多问题，如平面上的稳定温度场、静电场和稳定流场等都满足Laplace方程.,46,下面简单推导平面稳定温度场中温度函数是一个调和函数.,设所考虑物质的导热性能在某一区域 内是均匀且各向同性的，导热系数是常数，且 内没有热源，这样，在 内就形成一个稳定的温度场.,设 表示其温度分布函数，在 内任取一条其内部属于 的简单闭曲线 C，以σ表示其内部.,47,其中 n 表示外法线方向. 因此，通过整个曲线 C 流出的热量应是,根据物理学中的Fourier定律，在单位时间内, 通过C上一个小弧段 自C的内部σ流出的热量是,48,即温度分布函数是一个调和函数.,因为σ内各点的温度不随时间改变，并且没有热源存在，所以应有,由于C的任意性，有,49,2. 解析函数与调和函数的关系,在不影响整体结构的前提下，本小节先引入解析函数区别于一般实函数的两个重要结论：,50,定理,任何在区域 D 内解析的函数,它的实部和虚部都是 D 内的调和函数.,证明,根据解析函数的导数仍是解析函数, 因此,51,再由二阶导函数的连续性,52,即：区域 D 内解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.,人们常常要问：,共轭调和函数.,53,现在会提出如下问题：,或者已知调和函数 v(x,y) 时，是否存在调和函数 u(x,y) ，使得 f (z)=u＋iv 是D上的解析函数?,已知 u(x,y)是区域D上的调和函数，是否存在u(x,y)的共轭调和函数 v(x,y)，使得函数 f (z)=u＋iv是D上的解析函数?,回答是肯定的，以下用举例的方法加以说明.,54,3. 计算实例,解,例 1,55,得解析函数,这个函数可以化为,,56,,注：此处用到解析函数的唯一性定理。

另一方法,57,例 2,解,58,59,所求解析函数为,60,解,所求解析函数为,另一方法,61,例 3,解,62,解,例 4,两边同时求导数,上两式分别相加减可得,63,例1 已知 在右半平面 是调和函数， 求在该半平面 解析的函数 使得 且,由 积分得,解：求偏导数得,解法1 由C—R条件得：,64,两边对 求导，并且与上面所得的 比较有,于是得 即,,从而,于是,进一步由条件 可得,最后结果有,65,解法2 在该右半平面 内取点 ，由式 （3.1）得,66,某区域内的调和函数是否必是该区域某个解析函数的实部或虚部？,当区域是连通时，回答是肯定的注意：当 在 D内是 的共轭调和函数时，在D 内 不一定是 的共轭调和函数67,讨论下面定理4的反问题，即已知 是区域内的调和函数，利用函数在 内解析的充分必要条 件，求出解析函数 ，使得其实部 或者虚部在 内为 由于多连通区域用割线可以分成一个或者几个单连 通区域，因此我们只讨论 为单连通区域情形。

讨论在单连通区域 内已知解析函数的实部 ，求其虚部调和函数 由 由于 在单连通区域 内调和，可得,,68,因此由本章命题2 可以直接求出 为 其中 为任意实常数，该积分在 内与积分路径无关 可在 内取定点 和平行于坐标轴的路径来计算 如取从点 到点 再到点 的折线段可得 同理在单连通区域 内已知解析函数的虚部 ， 可求其实部调和函数,69,本章主要内容,有向曲线,复积分,积分存在的 条件及计算,积分的性质,Cauchy积分定理,原函数 的概念,复合闭路定理,Cauchy 积分公式,高阶导数公式,,,,,,,,,,积分公式及计算,,70,注意,1. 复积分的基本定理；,2. 柯西积分公式与高阶导数公式;,3. 复合闭路定理与复积分的计算.,71,第三章 完,72,1642.12.25生于伍尔索普，,I. Newton 简介,1661年进入剑桥大学三一学院，自己研究Descartes, Copernicus, Kepler, Galileo, Barrow 等的著作1665年剑桥闹鼠疫回乡两年，微积分、万有引力、光谱分析等发明都萌芽于此。

1667年获硕士学位，1669年接替Barrow担任教授1671年发布“流数术”小册子，1687年出版《自然哲学的数学原理》等著作，1703年皇家学会会长，17 05 年授予爵士称号；晚年研究神学，1727.3.20去世73,1646.7.1生于莱比锡；,G. W. Leibniz 简介,1661年入莱比锡大学学法律； 1663年《论个体原则方面的形而上学争论》获学士学位； 1664年《论法学之艰难》获哲学硕士；1665年提交博士论文《论身份》，1667年获阿尔特多夫大学博士学位 1671年开始外交官生涯； 1672年出使法国、英国等结识了惠更斯、巴罗等，对数学、力学等产生兴趣； 1684年发表了第一篇“微积分”方面的论文； 在1714年《微分学的历史与起源》中给出了关于他自己思想的记载； 1716.11.14去世74,P. S. Laplace (拉普拉斯)简介,1749.3.23生于法国、诺曼底 1827. 3. 5卒于法国、巴黎,在《球状物体的引力理论与行星形状》中得到位势方程与Lagrange、Legendre并称为巴黎 “3L”我们知道的，是很微小的；我们不知道的，是无限的75,1789.8.21生于法国、巴黎 1857.5.23卒于法国、斯科,A. L. Cauchy(柯西)简介,数学分析严格化的开拓者,复变函数论的奠基人,弹性力学理论的建立者,在方程、群论、数论、几何、光学、天体力学等也有出色贡献。

多产的科学家(800多篇论文)，分析大师76,Riemann(黎曼)简介,。