大数定律及中心极限定理 应用题.docx

查表得a 一 2500v50n1.64大数定律与中心极限定理 应用题1. 设各零件质量都是随机变量，且独立同分布，其数学期望为0.5kg，标准差 为0.1kg，问（1） 5000只零件的总质量超过2510kg的概率是多少？（2）如果 用一辆载重汽车运输这 5000 只零件，至少载重量是多少才能使不超重的概 率大于 0.975？解设第i 只零件重为 X，i = 1,2,...,500，则 EX 二 0.5，DX 二 0.12i i i设 X =畀X，则X是这些零件的总重量ii =1EX = 0.5 x 5000 = 2500，DX = 0.12 x 5000 = 50由中心极限定理 % -兰00 ~ n(0,1)V50(1)p(X n 2510)= p( X -兰00 n 2510沖)50 v50〜1 一① 0（②=1 - O'9213 =0-0787（2）设汽车载重量为a吨v50<50P(X < a) = P(X -兰00 < a —空0)沁①(a - 2£00) n 0.950 v50计算得 a n 2511.59 因此汽车载重量不能低于 2512公斤2. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m，先从这批木柱中随 机的取100根，求其中至少有30根短于3m的概率？解 设X是长度小于3m的木柱根数，则X〜b（100, 0.2）由中心极限定理 X ~a N（20,16）30 - 20)~^T)X 一 20P(X n 30) = P( nJ16沁 1 —①（2.5） = 1 - 0.9938 =0.006203. 一个食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一种 蛋糕的价格是随机变量，它取1元， 1.2元， 1.5元的概率分别为0.3， 0.2，0.5.若售出300只蛋糕，（1）求收入至少400元的概率 （2）售价为1.2元蛋 糕售出多于60只的概率。

解设第i只蛋糕的价格为X , i = 1,2,...,300，则X有分布律:iiXi11.21.5P0.30.20. 5由此得E(X ) =1.29iE(X2) =1.713i故 D(X ) = EX 2 - (EX )2 = 0.0489i i i(1)设X是这一天的总收入，则X =豐Xi i=1EX =200 EX = 300 x 1.29ii=1DX =100 DX = 300 x 0.0489ii=1由中心极限定理 X ~a N(300x1.29, 300x0.0489)X -300x 1.29 = 400-300x 1.29、 J300 x 0.0489 — 1300 x 0.0489、沁 1 -① 0（3.39） = 1 - 0.9997 =0.0003（2）以Y记300只蛋糕中售价为1.2元的蛋糕只数，于是Y〜b（300,0.2）Y 一 300 x °2 〜N(0,1) <300 x 0.2 x 0.8P(Y > 60) = Pf Y - 300 x 0.2 小''300 x 0.2 x 0.860 - 60]<48丿沁 1-① 0(0) = 0.54•设某种商品第n天的价格为Yn,令Xn=Yn+1-Yn, Xn独立同分布，且Xn期望是0,方差 是 2 ，若该商品第一天价格是 100，则第 19 天价格在 96 到 104 之间的概率是多少？ 解:X =Y -Y，1 2 1X = Y -Y ，2 3 2X = Y -Y3 4 3X = Y - Yn n+1 n所以国X 二 Y - Y = Y -100n 19 1 19n =1E近 X = 0 , D近 X =近 DX = 36n n nn =1 n =1 n =1由中心极限定理，P(96 < Y < 104)= P(|Y -100 < 4)19 19< 4丿=P艺X - E艺Xn-n=i n n=1 64< —6丿（2 ）沁 2①一-1=0.497213丿5.（10）一枚均匀硬币至少要抛多少次，才能使正面出现的频率与概率之间的差 的绝对值不小于0.05 的概率不超过0.01？请分别用（1）切比雪夫不等式，与（2） 中心极限定理给出估计。

解设至少要抛n次；X = “n次抛硬币中出现正面的次数”，则 X 〜B（n,0.5）, EX = 0.5n , DX = 0.25n，正面出现的概率是 p = 0.5 ；X-=“ n次抛硬币中出现正面的频率”, n于是XE — = 0.5，nX 0.25D —= nn1）由切比雪夫不等式dX> 0.05 <丿1000.052 n由 100 < 0.01，得 n > 10000n 即至少要抛 10000 次2)由中心极限定理, X 〜a N (0.5n, 0.25n) ,X a 0.25 X a 0.25〜N (0.5, ), - 0.5〜N (0, )n n n n所以 P0.5 > 0.050.05、=2(—①(0.1 jn))< 0.010得 ①(0丄历)< 0.995，查表 ①(2.58)二 0.995 ,0 0由于①(x)单调增,0故 0.1\万 > 2.58，解得 n > 665.64因此至少要抛 666 次6.根据经验，某宾馆预约的客户的实际入住率为 80%，服务台共接受了 2500 个预约，请分别用(1)切比雪夫不等式，与(2)中心极限定理估计实际入 住的人数在1950〜2050之间的概率。

解 设随机变量X = “2500个预约的客户实际入住的人数”，则 X 〜B(2500, 0.8), EX 二 2000 , DX 二 400(1)由切比雪夫不等式，得P(1950 < X < 2050)= P(|X — 2000 < 50) > 1 —竺=1 — -400 = 0.841 1 502 25002)由中心极限定理，得 X 〜a N (2000, 400)，P(1950 < X <2050)= P(1950—200020X — 2000<2050—200020u ①(2.5)—①(—2.5) = 2①(2.5) — 1 =0.987580 0 0。