2024年高考数学一轮复习（新高考版） 正弦定理、余弦定理.pdf

4.8正弦定理、余弦定理【考试要求】I.掌握正弦定理、余弦定理及其变形2 理解三角形的面积公式并能应用.3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.落实主干知识【知识梳理】1.正弦定理、余弦定理在ABC中，若角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,R 为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容a_b_ c_sin A-sin sin C=+-2Z7CC0S A;/72=2+/2c cos B；/二 次+廿一？C变形(l)a=2Hsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C；a(2)sin 4=2,.b.csin B=2R,sin C=(3)b c=sin A：sin 8：sin C/72+c2(22cos A-2 b c；c2+ab2c o s B-2ac；6Z2+Z 72 C2c o s C 2ab2.三角形解的判断A 为锐角A 为钝角或直角图形4cA R、一 Ec工A，BA B关系式a=bsinA加in A ab解的个数一解两解一解一解3.三角形中常用的面积公式(l)S=*z瓦(总表示边a 上的高);(2)S=；a6sin C=acsin B=；bcsin A；(3)S=*a+6+c)(r为三角形的内切圆半径).【常用结论】在ABC中，常有以下结论:(1)ZA+ZB+ZC=T T.(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.(3)ciZABsin Asin B,cos A sin8,则 A8.(V)(3)在ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(X)(4)当 辰+02标。

时，ABC为锐角三角形.(X)【教材改编题】1.在ABC 中，AB=5,AC=3,B C=I,则/BAC 等于()7 C 7 T 27c 57rA6 B-3 CT D6答 案 C解 析 在AABC中，设 AB=c=5,ACb3,BC=a=7,，人心、&2+c2-a2 9+25-49 1由余弦正理得cosZBAC=赤 =-丞 j-=-2，因为NBAC为ABC的内角，2兀所以 NBAC=m.2.记ABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若ABC的面积为4,a=2,2=30则 c 等于()A.8B.4 幽 D逑J 3 u 3答 案 A解 析 由 SAABc=acsin B=；X2C因为 c6,8=30所以 C=45或 C=135.探究核心题型题 型 一 利用正弦定理、余弦定理解三角形例 1（12分）（2022.新高考全国I）记ABC的内角A,3,C 的对边分别为a,b,c,己知崭台sin 2B=l+cos 2B 若尊 求&切入点：二倍角公式化简4+廿（2）求 一 的 最 小 值.关键点：找到角B 与角C,A 的关系思路分析（1）二倍角公式化简一去分母、两角和与差公式化简一求出sin B.（2）由角8,C正余弦关系f角8 与角C,A的关系一 之罟化成正弦一用角8 表示角4,C化 简 f 角8 的关系式一 基本不等式.答题模板规范答题不丢分f,、e、，co s A s i n 2B 2 s i n B co s B s i n 8 八解(1 )因为；7 ；=-=。

一=-1分 年 1+s i n A 1+co s 2B 2 co s25 co s B即 s i n B=co s A co s B-s i n A s i n B=co s(A+B)=-co s C=3分*一而0 v 8 0,所以学(?/,0 8(专,而：s i n B =-co s C=s i n(C-千)6分 Z-所以|C=W*B,即有4=千-2 8 4 7分 卜 所以I旦a2+牛h2=s i n2A+s in2B 八8分八上)一c2 s i n2C_ COS228+1-COS23|co s2B_(2COS2B-1)2+1-COS23co s2B2=|4 co s 2 5+c o s2 5 -5 5:4 7 2-5 .1 0分 +02 2 be 1所以由余弦定理得cos A=1=怒=/T T因为 AG(0,i t),所以 A=,所以ABC是等边三角形.思维升华判断三角形形状的两种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.此时要注意应用A+B+C H这个结论.命题点2三角形的面积例 3(2022浙江)在ABC中，角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知 4a=y5c9 cos。

亍(1)求 sin A 的值；(2)若 6=1 1,求ABC的面积.解 由 正 弦定理看=亮，sin Cc 得 sin A=3 4因为 c o s C=g,所以 sinC=m，va 或 g、；.小 sin C 小又工=工，所以sin-=g.(2)由(1)知 sin A=V，因为4=匿 所 以 04 正-r 弦正理ThHy待B s忘in 7A=五sin B 下sin C 则n,tanA=tan8C=tan C一,即A=5=C,即AABC是等边三角形，故 C 正确；对于D,由于5=60b2=a c,由余弦定理可得Z?2=Q C=+C2可得（一解得a=c,可得A=C=B,故AABC是等边三角形，故 D 错误.在序+也 4c=层+2；cos B=bcos A；sin B+cos 3=也这三个条件中任选一个填在下面的横线中，并解决该问题.已知ABC的内角A,B,的对边分别为，b,c，A=?b=y2,求ABC 的面积.解 若 选 ，则由及+也2,得由a c=a2+c2b2.由余弦定理得cos B=2+2 啦 a啦lac 2ac 2 因为BW（O,兀）,所以B=:.由正弦定理 得 看=5,即 七=!?解得”=小.s in s in 1j-r t 4 n T T 兀 5 兀因为 C=n-AB=7t-j=-i所以 s in C=s in y=s in(+.兀 7 1 ,7 1 .7 1 加 +也=s in geos 4 十cos T s in 4 ，所以S A BC=absin C$X小 X也X亚:也=3寸若选，因为 cos 8=Z?cos A,A=?b=y 2,所以 cos B=bcos A=/2 cos 乎.因为5 (0,兀)，所以B=.由正弦定理得卷=品,即 告=电，解得。

小.s in w s in、/7 T 7 T 5 兀因为 C=7t-A B=T i =-,所以 s in C=s in=s in既+习.兀 7 1 ,7 1 .7 1 加+也=s in 4 cos a十cos gs in 4 ，所以SA4BC=JZ加in C=X小 X也X也:也=3若选，则由s in B+cos B=y/2,得啦 s in(5+*=y 2,所以 s in(B+*=l.因 为Be（o,兀）,所以8+铝 俘,用，所以8+孑=看 所以8=全由 正 弦 定 理 得 看=信，即 七=当，解得小.s in w s inE幺 -A n 兀 兀 5兀因为 0=兀_4_ 5=兀_ 一1=五,所以 s in C=s in5K_.包工姑1 2-si nl 6+4 j.7 1 7 1 .7 1 .7 1 加+也=s in 4 cos a 十 cos gSin =-所以SM BC=5加in C=3x小 X 也 X 也:立（3）（2 0 2 2 重庆八中模拟）已知 A B C 的内角A,B,所对的边分别为b,c,在c（s inA s in Q =（2 Z?）（s in A+s in 8）；2/?cos A+a=2 c；acs in 3=2+。

2/三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.若，求角5的大小；求s in A +s in C的取值范围；如图所示，当 s in A+s in C取得最大值时，若在 A B C 所在平面内取一点0（与 8在 A C两侧），使得线段O C=2,Z）A=1,求 B C D 面积的最大值.解 若 选 ，因为 c（s in A-s in C）=（aZ?）（s in A+s in 5）,由正弦定理得C（Q C）=（一 A）（+整理得2 +C2 2 =Q C,叱 2 c 次+2 一炉_a _ l所以 cos B _ 2ac 2 a c T71又0BK,所以B=q若选,因为 2 0 cos A+=2 c,层+0 2 一层由余弦定理得2b 荻 一+=2 匿化简得，a1 c1b1=ac9所以cos B=层+/一户2acac 12ac 2 j r又 0 B 7 i,所以 B=1.若选，因 为斗acs in B=a2+c2b2,2s由余弦定理得一-“cs in B=2accos B,化简得tan8=5,T T又 0 B 7 l,所以 B=y27r由得，A+C=y,2 7 r则 0 A y,.2 n A 3 .,r-.fs in A 十 s m C=s m A 十 s in(m-A J=2 s m A 十？cos A=y 3 s in(A 十 不兀,兀5 兀又不 A+r p所以 3 sin 3)=(6+c)sin C,a=7,则ABC外 接 圆 的 直 径 为()A*R 7,垣 Dl lA.iT-D*/_ .3 u.3答 案 D解析 已知(+b)(sin Asin B)=(Z?+c)sin C,由正弦定理可得(Q+Z?)(一Z?)=(/?+c)c,化简得 b2+c1a2=bc,所以cos A=后 +，一“22bc-b e2bc12,又因为AG（O,7 T）,所以A=亍，所以sin A=sin2兀=竽、叵，设ABC外接圆的半径为R,由正弦定理可得2 就 =太=挈2所以 ABC外接圆的直径为必乎.3.（2022北京模拟）在ABC中,且 6=2小，c=2,则。

的值为（A.2巾C.2 3-2答 案 Ba,b,c 分别是角A,B,C 的对边，若小asin 2=6cos A,）B.2D.1、后解析 由已知及正弦定理得，小 sin Asin 8=sin Bcos A且 sin 3W 0,可得tan A=又 0A m所以4=看，又 Z?=2小，c=2,所以由余弦定理 2=Z?2+c22/?ccos A=1 6-1 2=4,解得 a2.4.（2023枣庄模拟）在ABC中，内角A,B,所对的边分别为b,c,A=60b=,SABC=小 则sinA+sinB+sin C等于（）A 雪B.等C.华D,2小答 案 A解析 由二角形的面积公式可得SBc=bcsin A=c=q ,解得c=4,由余弦定理可得a=yj扶+c2-2bccos A=y H,设ABC的外接圆半径为r,由正弦定理得=熹=%=2厂，SJ.11 2T.o lll JD S ill斫 a+b+c_2 r（sin A+sin 3+sin C）a VT5sin A+sin 3+sin C sin A+sin B+sin C?丫 sin A-5 3,25.（2023马鞍山模拟）已知ABC的内角A,B,的对边分别为，b,c,设（sin B+sin C）2=sin2A+（2也）sin Bsin C,，5sin A2sin 5=0,贝 sin。

等 于（）A.|B 坐 6-2 6+2J 4 4答 案c解析 在ABC 中，由(sin8+sinC)2=sin2A+(2也)sinBsinC 及正弦定理得(6+c)2=/+(22)bc,I 2_ 2 历即庐+，一 2=一也儿，由余弦定理得cos A=-而 一=29而 0A180解得A=135,由也sin42sinB=0 得 s in B=s in A=2,显然 0B,A T _ _J 当而取得最小值小一1 时，BD=k=yfi T.8.（2023宜春模拟）ABC的内角A,B,的对边分别为b,c,已知加in C+csin 5=4 sinBsin C,+，一次=8,则ABC 的面积为.宏案口水 3解析*.*/?sin C+csin 3=4 sin Bsin C,sin Bsin C0,结合正弦定理可得 sin Bsin C+sin。