复变函数总复习课件.ppt

复变函数总复习复变函数总复习第一章：复数与复变函数第一章：复数与复变函数v复数的概念复数的概念v复数的运算复数的运算v复数的几何表示复数的几何表示1、复平面、复平面 1）复数　　　　用平面上的点　　表示；）复数　　　　用平面上的点　　表示；2）复数　　　　用平面上的向量）复数　　　　用平面上的向量 表示表示3）复数的三角表示式及指数表示式）复数的三角表示式及指数表示式 （三角式）（三角式） （指数式）（指数式）2、复球面、复球面 复数可以用复球面上的点表示复数可以用复球面上的点表示 扩充复平面扩充复平面v复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根1、积与商、积与商设设 ，则，则2、乘幂、乘幂设设 则则3、方根、方根设设 ，则，则v复平面上的区域复平面上的区域v复变函数复变函数设设v复变函数的极限和连续复变函数的极限和连续例例 满足下列条件的点组成何种图形满足下列条件的点组成何种图形? ?是不是区是不是区域域? ?若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域. .解解 是实数轴是实数轴, ,不是区域不是区域. . 是以是以 为界的带形单连通区为界的带形单连通区 域域. . 解解 是以是以 为焦点为焦点, ,以以3 3为半为半长轴的椭圆闭区域长轴的椭圆闭区域, ,它不是区它不是区域域. . 不是区域，因为图中不是区域，因为图中解解解解在圆环内的点不是内点在圆环内的点不是内点. .例例 函数函数 将将 平面上的下列平面上的下列曲线变成曲线变成 平平面上的什么曲线？面上的什么曲线？解解又又于是于是表示表示 平面上的圆平面上的圆.(1)解解表示表示 平面上以平面上以 为圆心，为圆心， 为半为半径的圆径的圆.例　　　　　　　　（　　）例　　　　　　　　（　　）（Ａ）等于（Ａ）等于（Ｂ）等于（Ｂ）等于（Ｃ）等于（Ｃ）等于（Ｄ）不存在（Ｄ）不存在解解当沿　　　，　　时，有当沿　　　，　　时，有与　有关，与　有关，极限不存在极限不存在.第二章：解析函数第二章：解析函数v复变函数的导数与微分复变函数的导数与微分v解析函数的概念解析函数的概念 如果如果 在点在点 及及 的邻域内处的邻域内处处可导，处可导，称在称在 点解析。

如果点解析如果 在区域在区域D内每一内每一点解点解析，称析，称 在在D内解析，或称内解析，或称 是是D内的内的解析解析函数（全纯函数或正则函数）如果函数（全纯函数或正则函数）如果 在在不解析，称不解析，称 为为 的奇点两个解析函数的和、差、积、商（除去分母为两个解析函数的和、差、积、商（除去分母为0的点）都是解析函数；解析函数的复合函数仍的点）都是解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数为解析函数v复变函数连续、可导、解析之间的关系复变函数连续、可导、解析之间的关系 在在 解析解析 在在 可导可导 在在 连续连续 在区域在区域D内解析内解析 在区域在区域D内内可导可导v函数可导与解析的充要条件函数可导与解析的充要条件 定理定理1 设函数设函数 定义在区定义在区 域域D内，则内，则 在在D内点内点 可可导导 与与 在点在点 可微，且满足柯可微，且满足柯西西-黎曼方黎曼方程程 函数函数 在在点点 处的处的导数公式：导数公式： 定理定理2 设函数设函数 在区域在区域D内有定义，则内有定义，则 在在D内解析内解析 与与在在D内可微，且满足柯西内可微，且满足柯西-黎曼方程黎曼方程 复变函数可导与解析的判别方法复变函数可导与解析的判别方法（（1）利用可导与解析的定义及运算法则）利用可导与解析的定义及运算法则（（2）利用可导与解析的充要条件）利用可导与解析的充要条件v初等函数初等函数1、指数函数、指数函数性质性质：：（（1）） ，，（（2）对任意的）对任意的 ，有加法定理，有加法定理（（3）） 是以是以 为周期的周期函数为周期的周期函数（（4）） 在复平面上处处解析，且在复平面上处处解析，且2、对数函数、对数函数 主值分支主值分支 对数函数的每个分支在除去原点和负实轴的对数函数的每个分支在除去原点和负实轴的复平面内处处解析，且复平面内处处解析，且3、幂函数、幂函数 为复数为复数 当当 为正整数为正整数 及分数及分数 时，时， 就就是是 的的次乘幂及次乘幂及 次根，此时幂函数次根，此时幂函数 分别为单分别为单值函数和值函数和 值函数。

一般来说，幂函数值函数一般来说，幂函数 是一个多值函数当定义中对数函数取主值是一个多值函数当定义中对数函数取主值时，相应的幂函数也称其主值，幂函数的各时，相应的幂函数也称其主值，幂函数的各个分支在除去原点及负实轴的复平面内也是个分支在除去原点及负实轴的复平面内也是解析的，且解析的，且例例 函数函数 在何处在何处可导，何处解析可导，何处解析. .解解故故 仅在直线仅在直线 上可导上可导.故故 在复平面上处处不解析在复平面上处处不解析.例例 设设 为解析函数，求为解析函数，求 的值的值. .解解 设设故故由于由于 解析，所以解析，所以即即故故例　求下列各式的值例　求下列各式的值解解例例解解答案答案课堂练习课堂练习例例解解第三章：复变函数的积分第三章：复变函数的积分v复积分的定义复积分的定义v复积分存在的条件复积分存在的条件　　设函数　　　　　　　　　在区域Ｄ内连　　设函数　　　　　　　　　在区域Ｄ内连续，曲线Ｃ光滑，则复积分存在，且续，曲线Ｃ光滑，则复积分存在，且v复积分的性质复积分的性质１、１、２、２、３、３、４、４、　曲线Ｃ的长度为Ｌ，函数在Ｃ上满足　曲线Ｃ的长度为Ｌ，函数在Ｃ上满足v复积分计算的一般方法复积分计算的一般方法　　设　　沿曲线Ｃ连续，曲线Ｃ的参数方程　　设　　沿曲线Ｃ连续，曲线Ｃ的参数方程为　　　　　　　　，其中起点为　　，终为　　　　　　　　，其中起点为　　，终点为　　，则点为　　，则　　　　　　特别的，有　　特别的，有v复积分的基本定理复积分的基本定理１、柯西－古萨定理１、柯西－古萨定理　　如果函数　　在单连通区域Ｄ内处处解析，　　如果函数　　在单连通区域Ｄ内处处解析，Ｃ为Ｄ内任一条封闭曲线，则Ｃ为Ｄ内任一条封闭曲线，则２、复合闭路定理２、复合闭路定理　　设Ｃ为多连通区域Ｄ内的一条简单闭曲　　设Ｃ为多连通区域Ｄ内的一条简单闭曲线，　　　　为Ｃ内的简单闭曲线，它们互不线，　　　　为Ｃ内的简单闭曲线，它们互不包含又互不相交，并且以　　　　　为边界的包含又互不相交，并且以　　　　　为边界的区域全部属于Ｄ，如果　　在Ｄ内解析，则区域全部属于Ｄ，如果　　在Ｄ内解析，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　其中　与　均取正向　　　　　　　　　　　　　　其中　与　均取正向　　　　　　　其中　是由　与　　组成的复合闭路　　　　　　　其中　是由　与　　组成的复合闭路３、牛顿－莱不尼茨公式３、牛顿－莱不尼茨公式　　设函数　　在单连通区域Ｄ内解析，　　　　设函数　　在单连通区域Ｄ内解析，　　为　　的一个原函数，则为　　的一个原函数，则４、柯西积分公式４、柯西积分公式　　设函数　　在区域Ｄ内处处解析，Ｃ为Ｄ　　设函数　　在区域Ｄ内处处解析，Ｃ为Ｄ内任意一条正向简单闭曲线，它的内部完全属内任意一条正向简单闭曲线，它的内部完全属于Ｄ，　为Ｃ内任一点，则于Ｄ，　为Ｃ内任一点，则５、解析函数的高阶导数公式５、解析函数的高阶导数公式　　解析函数　　的导数仍为解析函数，它的　　解析函数　　的导数仍为解析函数，它的阶导数为阶导数为其中　为函数　　的解析区域Ｄ内围绕　的任其中　为函数　　的解析区域Ｄ内围绕　的任意一条简单闭曲线，而且它的内部全含于Ｄ。

意一条简单闭曲线，而且它的内部全含于Ｄ６、解析函数与调和函数的关系６、解析函数与调和函数的关系１）如果二元实函数　　　在区域Ｄ内具有二１）如果二元实函数　　　在区域Ｄ内具有二阶连续偏导数，且满足阶连续偏导数，且满足Laplace方程方程称　　　为区域Ｄ内的称　　　为区域Ｄ内的调和函数调和函数２）区域Ｄ内的解析函数　　　　　的实部　２）区域Ｄ内的解析函数　　　　　的实部　和虚部　都是调和函数而且虚部　是实部　和虚部　都是调和函数而且虚部　是实部　的共轭调和函数这里　与　的位置不能颠的共轭调和函数这里　与　的位置不能颠倒）倒）３）由调和函数　　　（或　　　）确定另一３）由调和函数　　　（或　　　）确定另一个调和函数或解析函数　　　　　的方法：个调和函数或解析函数　　　　　的方法：＊偏微分法：从柯西－黎曼方程出发，解简单＊偏微分法：从柯西－黎曼方程出发，解简单的一阶微分方程的一阶微分方程＊不定积分法：从　　　　　　出发，将其写＊不定积分法：从　　　　　　出发，将其写成　的函数，利用积分求出　　成　的函数，利用积分求出　　解解 解法一解法一 利用柯西利用柯西-古萨基本定理及重要公古萨基本定理及重要公式式由柯西由柯西- -古萨基本定理有古萨基本定理有 解法二解法二 利用柯西积分公式利用柯西积分公式因此由柯西积分公式得因此由柯西积分公式得解解分以下四种情况讨论：分以下四种情况讨论：解解为大于为大于1 1的自然数的自然数. 例例 计算下列积分计算下列积分解法一解法一 不定积分法不定积分法. . 利用柯西利用柯西——黎曼方程黎曼方程, ,  因而得到解析函数因而得到解析函数 解法二 线积分法. 因而得到解析函数因而得到解析函数解法三 全微分法解解例 已知 求解析函数 ,使符合条件第四章：级数第四章：级数v复数项级数复数项级数１、复数列收敛　　实部和虚部都收敛。

１、复数列收敛　　实部和虚部都收敛设设２、复级数收敛　实部级数与虚部级数都收敛２、复级数收敛　实部级数与虚部级数都收敛３、复级数　　收敛的必要条件：３、复级数　　收敛的必要条件：v幂级数幂级数１、阿贝尔（１、阿贝尔（Abel）定理）定理　　幂级数　　　　如果在　　　　处收敛，　　幂级数　　　　如果在　　　　处收敛，则对满足　　　　　的　，级数绝对收敛；如则对满足　　　　　的　，级数绝对收敛；如果在　　处发散，则对满足　　　　　的　，果在　　处发散，则对满足　　　　　的　，级数发散级数发散２、幂级数　　　　收敛半径的求法２、幂级数　　　　收敛半径的求法１）比值法　如果　　　　，则１）比值法　如果　　　　，则２）根值法　如果　　　　，则２）根值法　如果　　　　，则..收敛圆收敛圆收敛半径收敛半径３、幂级数的运算及性质３、幂级数的运算及性质１）在收敛半径较小的区域内，幂级数可以进１）在收敛半径较小的区域内，幂级数可以进行加法、减法、乘法运算，利用乘法运算，行加法、减法、乘法运算，利用乘法运算，可定义除法运算；幂级数也可以进行复合运可定义除法运算；幂级数也可以进行复合运算２）幂级数　　　　的和函数　　在收敛圆２）幂级数　　　　的和函数　　在收敛圆　　　　内是解析函数；而且可逐项求导与逐　　　　内是解析函数；而且可逐项求导与逐项积分，收敛半径　不变。

项积分，收敛半径　不变　　　　　　　　　，　　　　　　　　　，v泰勒（泰勒（Taylor）级数）级数1、函数展开成泰勒级数、函数展开成泰勒级数　　如果函数　　在圆域　　　　内解析，则　　如果函数　　在圆域　　　　内解析，则函数在此圆内可以展开成幂级数，且展开式函数在此圆内可以展开成幂级数，且展开式惟一２、函数展开成泰勒级数的方法２、函数展开成泰勒级数的方法１）直接法：利用泰勒级数公式，求各阶导数１）直接法：利用泰勒级数公式，求各阶导数２）间接法：利用已知级数，逐项积分或求导２）间接法：利用已知级数，逐项积分或求导v罗朗（罗朗（Laurent）级数）级数１、函数展开成罗朗级数１、函数展开成罗朗级数　　如果函数　　在圆环区域　　如果函数　　在圆环区域内解析，则在此区域内可以展开成罗朗级数，内解析，则在此区域内可以展开成罗朗级数，且展开式惟一且展开式惟一其中其中　为圆环内绕　的任意一条正向简单曲线　为圆环内绕　的任意一条正向简单曲线　　　　函数展开成罗朗级数一般用间接方法函数展开成罗朗级数一般用间接方法例例 判别级数的敛散性判别级数的敛散性.解解发散，发散，收敛，收敛，解解解解收敛收敛收敛收敛解解 由正项级数的比值判别法知由正项级数的比值判别法知绝对收敛绝对收敛. .例例 求下列幂级数的收敛半径求下列幂级数的收敛半径解解例例解解例例解解有有 同一级数在不同圆环域内的洛朗级数展开式同一级数在不同圆环域内的洛朗级数展开式是不同的是不同的. .第五章：留数第五章：留数v孤立奇点孤立奇点１、孤立奇点分类：可去奇点、极点、本性奇１、孤立奇点分类：可去奇点、极点、本性奇点。

点２、奇点的特征２、奇点的特征１）可去奇点１）可去奇点　　孤立奇点　　　为　　的可去奇点　　　　孤立奇点　　　为　　的可去奇点　　在　的去心邻域内的罗朗展开式中不含　　的在　的去心邻域内的罗朗展开式中不含　　的负幂指数项　　　　　　（有限数）负幂指数项　　　　　　（有限数）２）极点２）极点　　孤立奇点　　　为　　的　级极点　　　　孤立奇点　　　为　　的　级极点　　在　的去心邻域内的罗朗展开式中只含有限个在　的去心邻域内的罗朗展开式中只含有限个负幂指数项且关于　　　的最高幂为　次　负幂指数项且关于　　　的最高幂为　次　在　的去心邻域内可表示为在　的去心邻域内可表示为其中　　在　点解析且　其中　　在　点解析且　　　孤立奇点　为　　的极点　　　孤立奇点　为　　的极点　（此特征没有指出极点的级数）（此特征没有指出极点的级数）３）本性奇点３）本性奇点　　孤立奇点　　　为　　的本性奇点　　　　孤立奇点　　　为　　的本性奇点　　在　的去心邻域内的罗朗展开式中含有无穷多在　的去心邻域内的罗朗展开式中含有无穷多个　　的负幂指数项　　　　不存在且不为无个　　的负幂指数项　　　　不存在且不为无穷大４）零点与极点的关系４）零点与极点的关系　　若不恒为零的解析函数　　在　的邻域内　　若不恒为零的解析函数　　在　的邻域内能表示为　　　　　　　，其中　　在　解能表示为　　　　　　　，其中　　在　解析，且　　　　，　为正整数，称　为　　的　析，且　　　　，　为正整数，称　为　　的　级零点。

级零点　　　为　　的　级零点　　　　为　　的　级零点　　　　　　　不恒为零的解析函数的零点是孤立的　　　不恒为零的解析函数的零点是孤立的　　为　　的　级零点　　　是　　的　级极点　为　　的　级零点　　　是　　的　级极点５）函数在无穷远点的性态５）函数在无穷远点的性态　　函数　　在　　　处的性态就是　　在　　函数　　在　　　处的性态就是　　在　　　的性态　　　的性态　　如果　　为　　的可去奇点、　级极点、　　如果　　为　　的可去奇点、　级极点、本性奇点，则　　　为　　的可去奇点、　级本性奇点，则　　　为　　的可去奇点、　级极点、本性奇点极点、本性奇点　　　　　　　　　　　　为　　的可去奇点、极点、本性奇点　　　　为　　的可去奇点、极点、本性奇点　分别为当　　　时，　　的极限为有限数、　分别为当　　　时，　　的极限为有限数、无穷大、不为无穷大的不存在　　　　在无穷大、不为无穷大的不存在　　　　在　　　　　内罗朗展开式　　　　　内罗朗展开式中不含正幂项、含有有限个正幂项、含有无穷中不含正幂项、含有有限个正幂项、含有无穷多个正幂项多个正幂项v留数及其计算留数及其计算1、定义、定义　　设　　　为　　的孤立奇点，则　　在　　设　　　为　　的孤立奇点，则　　在点的留数点的留数其中　是　的去心邻域内包含　的任意一条正其中　是　的去心邻域内包含　的任意一条正向简单闭曲线。

向简单闭曲线２、留数的计算方法２、留数的计算方法１）利用罗朗展开式，求出　　　　的系数１）利用罗朗展开式，求出　　　　的系数２）讨论奇点的类型２）讨论奇点的类型　　♣　如果　是可去奇点，　如果　是可去奇点，则　　♣　如果　是本性奇点，只能利用　如果　是本性奇点，只能利用罗朗展开朗展开式求它的留数式求它的留数　　♣　如果　是极点，可利用下面　如果　是极点，可利用下面规则　　规则１　如果　为　　的　级极点，则　　规则１　如果　为　　的　级极点，则特别的，当　　　时，特别的，当　　　时，　　注意：如果极点　的实际级数比　低时，　　注意：如果极点　的实际级数比　低时，此规则仍然有效此规则仍然有效　　规则２　设　为　　　　　　的一级极点　　规则２　设　为　　　　　　的一级极点（只要　　与　　在点　解析，且（只要　　与　　在点　解析，且　　　　，　　　　），则　　　　，　　　　），则　　　　　　　　　　规则３　　　规则３　v留数定理留数定理　　定理１　设函数　　在区域Ｄ内除去有限　　定理１　设函数　　在区域Ｄ内除去有限个孤立奇点　　　　外处处解析，　是Ｄ内个孤立奇点　　　　外处处解析，　是Ｄ内包含诸奇点的一条正向简单曲线，它的内部包含诸奇点的一条正向简单曲线，它的内部全部含于Ｄ，则全部含于Ｄ，则　　定理２　若函数　　在扩充复平面上只有　　定理２　若函数　　在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（含　点），设为有限个孤立奇点（含　点），设为则则解解解解例例 求下列各函数在有限奇点处的留数求下列各函数在有限奇点处的留数. .解解(1)(1)在在 内内, ,解解解解为奇点为奇点, ,当当 时时 为一级极点，为一级极点，例例解解在在 内内, ,此题可直接利用规则此题可直接利用规则3计算。

计算解解例例 计算计算 。