层流的不稳定性及转捩.doc

第8章 层流的不稳定性及转捩一方面用实验的措施研究由层流到紊流转变规律的是英国人雷诺 1883年雷诺刊登了她在曼切斯特大学进行圆管流动实验研究的论文 1930年普朗特在德国哥廷根大学建立了层流稳定性理论 粘性流动中存在两种不同的流动型态：层流和稳流 由于这两种流动具有不同的本质和体现，并且在多种具体边界条件下其流速分布，切应力的大小与分布，能量损失，扩散性质均不相似，因此研究流动在什么状况和条件下游层流转变为紊流具有重要的意义 8.1 圆管流动的转捩在进行圆管流动实验时，随着圆管流动雷诺数的不同，在管中将两种完全不同的流动型态 流动雷诺数较小时，管中的每一种流体质点均沿着与流道中心线平行的直线匀速迈进 不同流层的流体质点互不相扰，互不掺混，是为层流 当雷诺数增长到一定数值时，流动变得杂乱无章，不同流层的流体质点互相掺混，曲线蜿蜒曲折，由于掺混而引起不同流层之间的能量互换，一点处的流速和压强均呈随机的脉动现象而断面上的时间平均流速的分布趋于均匀化，这就是紊流 钱宁专家在它的《泥沙运动力学》一书中曾做过一种生动的比方，比方层流恰似一对排列整洁、训练有素的士兵列队沿街道迈进，而紊流则是沿街道进行的一群醉汉，虽然总体上仍沿街道迈进，但每一种醉汉却杂乱无章的运动。

由层流向紊流转捩的雷诺数成为临界雷诺数圆管流动的临界雷诺数： (8.1.1)式中表达圆管断流面平均流速，为圆管直径 当雷诺数在临界雷诺数一下时，虽然存在对水流的强烈扰动，扰动将由于流体的粘性而衰减，流动仍继续保持层流状态 只有在流动雷诺数不小于临界雷诺数时，扰动在流动中不仅不会衰减，并且逐渐放大，层流才会由于扰动而转变为紊流 在层流中水头损失与流速的一次方程正比，而在紊流中水头损失与流速的平方成正比 水头损失增长的因素在于紊流中动量的横向扩散和传递 当雷诺数在临界雷诺数附近的一种范畴内，流动具有间歇性， 它也许是而为层流，时而为紊流 罗塔在1956年所刊登的在圆管中距管轴中心不同距离（为圆管半径）处量测的流速随时间变化的纪录如图8-1中所示，可以看出这种现象 图8-1 紊流中的间歇现象这个流速纪录是在雷诺数是由热线风速计量测的 图中表达的流速有时是层流，有时是脉动剧烈的紊流，而紊流的出目前时间上又是随机的 在距圆管中心较近处，层流的流速不小于紊流的时间平均流速值而接近管壁处则恰恰相反 这种时而层流时而紊流的流动现象常用间歇系数来表达它的特性。

间歇系数的定义为： (8.1.2)式中表达在测量过程中流动呈现脉动的部分时间而则为总的两侧时间 如果，表达在整个量测时段中流动均呈现脉动，是为紊流 反之当则表达整个量测时段均为层流,没有紊流脉动浮现 8.2 壁面边界层流动的转捩边界层中的流动同样存在转裂的问题，并且边界层流动的多种特性都强烈地受流动型态的影响 边界层的转捩同样存在临界雷诺数，并且临界雷诺数还受其他诸多因素，如来流紊流度，壁面性质，压强梯度等的因素 对于顺流放置的平板，在平板前端边界层总是层流流动，但当距平板前缘一定距离后，边界层雷诺数达到临界雷诺数，边界层内的流动将由层流向紊流过渡 平板边界层的雷诺数： (8.2.3)如果来流紊流度甚小，有时可达到 转捩可以从流速、压强等物理量开始浮现随机脉动现象来判断 也可以很容易的从流速图形看出，当由层流边界层通过转捩点变为紊流边界层，边界层厚度忽然曾厚 形状参数则由层流时的下降到紊流边界层的 这是由于在中，紊流边界层由于流速分布更去均匀化而减小，由于阻力增长而加大的原故 平板层流边界层中档雷诺数达到临界雷诺数，则在平板的某处的某点出忽然浮现一种个小的紊流区域，称为紊流斑。

紊流斑的形状由图8-2所示 图8-2 紊流斑由于其各部分流速不同而随流动向下游逐渐扩展，紊流斑周边流体仍处在层流形状而紊流内则为紊流 随着紊流斑的扩展，不同的紊流斑将融合到一起懂得边界层内所有变为紊流 图8-2为舒鲍尔和克莱巴诺夫于1955年量测的成果 (a)为平面图，(b)为侧视图 紊流斑是在点人工的发生，图中，，为边界层厚度，实验中来流速度 图中上部①与②为使用热线风速计量测的当紊流斑通过一点是的流速示波图，图中时间间隔为秒 紊流斑流过的部分明显呈间歇性质 自然状况下紊流斑的产生在时间上和空间上升成都是随机的 边界层内的一种局部扰动也许成为紊流斑生成的因素 8.3 层流稳定性理论8.3.1 层流稳定性基本概念层流稳定性理论的基本点是：层流流动常常会受到某些小的扰动 例如在管流的状况，这些扰动有也许石油管道进口产生的 在边界层流动中这些扰动则也许是由壁面粗糙或外流的某些不规则所产生的 研究层流对这些外来小扰动的克制能力也就是层流稳定性问题 当这些小扰动叠加到主流流动上后来，就要观测这些扰动时随时间而增长扩大还是随时间而逐渐消失 如果扰动随时间而衰减以至消失，则层流流动是稳定的，反之则流动不稳定，是流动最后由层流转变为紊流。

层流稳定性理论的重要内容是谋求在多种流动状况些层流对微小扰动失去克制能力时的雷诺数，也就是临界雷诺数 层流稳定性理论一方面要将流动分解为一种重要流动和加在它上面的小扰动 设主流流速在直角坐标系中的分量为，，，压力为 非恒定的小扰动由，，和表达，于是流动的速度分量和压力可以写为： (8.3.1) (8.3.2)这里假设小扰动的各个分量与相应的主流各个分量比是小量 为简朴起见一方面考虑不可压缩流体而为恒定平行流动叠加一种二为非恒定小扰动，即，， (8.3.3)，，， (8.3.4)叠加后的流动为：，，， (8.3.5)假定由（8.3.3）时所示的主流动是N-S方程的一种解，叠加后的流动（8.3.5）式也必须满足N-S方程 扰动项均为小量，因此它们的二次项可以忽视 层流稳定性理论需要回答对于这样一种主流流动，扰动随时间放大或随时间衰减 为此将（8.3.5）式代入二维、不可压缩、非恒定流动的N-S方程 (8.3.6a) (8.3.6b) (8.3.6c)忽视扰动量的二次项，得到： (8.3.7a) (8.3.7b) (8.3.7c)由于主流流动（8.3.3）自身符合N-S方程，因此可得： (8.3.8a) (8.3.8b)将（8.3.8a）式及（8.3.8b）代入（8.3.7）式，得： (8.3.9a) (8.3.9b) (8.3.9c)如果将（8.3.9a）对y取微分减去（8.3.9b）对x取微分，则可消去式中的压强扰动项，从而得到 (8.3.10a) (8.3.10b)两个方程式，含两个未知量，. 边界条件则为在壁面上，，在无穷远处扰动消失，同样，。

8.3.2 奥尔—佐默费尔德方程假定小扰动是由某些在x方向传播的扰动波所构成，扰动为二维的，因而可引入流函数. 设代表一种单独扰动波的流函数为： (8.3.11)式中为复幅度，下标r为表实数部分，i表虚数部分. 任一二环绕动可以展开为傅里叶级数，级数的每一项均代表这样的一种扰动式(8.3.11)中为一实数代表波数，为扰动的波长，为复数： (8.3.12)式中为扰动的圆频率，则为放大系数，她决定着放大或衰减的限度 如果，则扰动被衰减，主流的层流流动是稳定的 相反，如果，则不稳定 (8.3.13)表达扰动波在x方向的传播速度，则视其符号而表达衰减或放大的限度 由于假设主流流动只是y 的函数，因而假设扰动的幅度也只是y的函数 由8.3.11式可以计算扰动速度 (8.3.14) (8.3.15)将8.3.14、8.3.15式代入8.3.10a式中并使之无量纲化可得到一种有关幅度的四阶常微分方程： (8.3.16)这就是奥尔—佐默费尔德（Orr-Sommerfeld）方程，是层流稳定性理论的出发点。

注意（8.3.16）式异化为无量纲形式，所有长度均除以长度参数尺度b或，b为宽度，为边界层厚度 速度均除以主流的最大速度 “，”表达对无量纲坐标或的微分 则代表雷诺数，视所采用的长度参照尺度而定 或 （8.3.16）式左侧诸项是有惯性得来而右侧诸项则由粘性项得出 边界条件为： (8.3.17)有人证明，如果扰动是三维的，则所得临界雷诺数更高，因此二维扰动相比之下更易于失去稳定性，故一般只需考虑将二为扰动加于二维主流上 这样，流动稳定性问题变为求解奥尔—佐默费尔德方程的特性值问题 边界层徐符合（8.3.17） 当主流已经给定，式（8.3.16）涉及4个参数，，，和 4个参数中主流的雷诺数应为已知 扰动的波长也可以考虑为已经给定的量 在这种状况下，微分方程式（8.3.16）与边界条件（8.3.17）对于每一种和值将得到一种特性函数和一种复数特性值 当，层流（）对于给定的值所代表的波动扰动是稳定的 反之，如，则层流变得不稳定 则表达一种中性扰动的情形 图8-3表达二维边界层流动叠加一种二维扰动后层流稳定性的计算成果 图中纵坐标采用，横坐标为 为断面最大主流速度，即该断面处势流流速，为边界层厚度。

平面上每一点均相应一种的值 其中由的连线将平面分为稳定和不稳定两个区域 的轨迹线，如图8-3中相应不同流速剖面①和②的a和b两条曲线称为拇指线，形状相似 中性稳定曲线也称为拇指线 在中性稳定曲线上相称雷诺数为最小值得点具有重要意义，如图8-3中与和轴平行的虚线相切的点 在这个点处，雷诺数即为临界雷诺数 当流动的雷诺数不不小于临界雷诺数，对于任何值的扰动，主流都是稳定的 对于比临界雷诺数打的流动，则当某些具有特定波长的扰动时流动将是不稳定的 图8-3 边界层流动稳定性图8-3中比较了两种流速剖面的流动，可以看出，具有拐点的流速分布①，其中性稳定曲线所涉及的不稳定区域较之没有拐点的流速分布②所相应的中性稳定曲线所涉及的不稳定区域要大诸多，并且中性稳定曲线a所具有的临界雷诺数不不小于中性稳定曲线b的临界雷诺数 这都阐明具有拐点的流速分布起流动稳定性要小这里需要指出的是，但观测一种壁面边界层流动时可以发现，由层流稳定性理论计算出的临界雷诺数往往不不小于实际流动转捩点的雷诺数 这是由于当流动达到临界雷诺数后，某些扰动将被放大并向下游继续发展，通过相称的发展过程后层流才会转变为紊流，因此转捩点均出目前临界雷诺数断面的下游。

为了辨别，可将雷诺数达到临界值的点称为不稳定点，而由层流转变为紊流的点称为转捩点 奥尔—佐默费尔德方程在数学上求解释很困难的，因此几十年来层流稳定性问题并没有得到完全的解决，只是在某些简朴的流动状况下得到了某些解。