高等代数北大版课件.ppt

§2 §2 标准正交基　　　标准正交基　　　标准正交基　　　标准正交基　　　§3 §3 同构同构同构同构§4 §4 正交变换正交变换正交变换正交变换§1 §1 定义与基本性质定义与基本性质定义与基本性质定义与基本性质§6 §6 对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形§8§8酉空间介绍酉空间介绍酉空间介绍酉空间介绍§7 §7 向量到子空间的向量到子空间的向量到子空间的向量到子空间的　　　　￿ ￿ ￿ ￿距离距离距离距离────最小二乘法最小二乘法最小二乘法最小二乘法小结与习题小结与习题小结与习题小结与习题第九章第九章 欧氏空间欧氏空间§5 §5 子空间子空间子空间子空间1高等代数北大版一、一、一般欧氏空间中的正交变换一般欧氏空间中的正交变换　　　　§9.4 正交变换正交变换二、二、n 维欧氏空间中的正交变换维欧氏空间中的正交变换2高等代数北大版一、一、一般欧氏空间中的正交变换一般欧氏空间中的正交变换1. .定义定义即即￿ ￿，，欧氏空间欧氏空间V的线性变换的线性变换￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿如果保持向量的内积不变，如果保持向量的内积不变，则称则称￿￿￿￿￿￿￿￿为为正交变换正交变换. 注：注：欧氏空间中的正交变换是几何空间中保持长度欧氏空间中的正交变换是几何空间中保持长度不变的正交变换的推广不变的正交变换的推广.3高等代数北大版2. .欧氏空间中的正交变换的刻划欧氏空间中的正交变换的刻划下述命题是等价的：下述命题是等价的：（（定理定理4 4）设　是欧氏空间）设　是欧氏空间V的一个线性变换的一个线性变换.3））￿￿￿￿￿￿￿￿保持向量间的距离不变，即保持向量间的距离不变，即2））￿￿￿￿￿￿￿￿保持向量长度不变，即保持向量长度不变，即1））￿￿￿￿￿￿￿￿是正交变换；是正交变换；4高等代数北大版证明：首先证明证明：首先证明1)与与2)等价．等价．即，即，两边开方得，两边开方得，若　是正交变换，则若　是正交变换，则有，有，(1)(2)若　保持向量长度不变，则对若　保持向量长度不变，则对5高等代数北大版把把(3)展开得，展开得，再由再由(1)(2)即得，即得，(3)　　是正交变换．　　是正交变换．6高等代数北大版再证明再证明2)与与3)等价．等价．根据２）根据２）故故￿ ￿3）成立）成立. 若若则有，则有，即，即，故故￿ ￿2）成立）成立. 7高等代数北大版二、二、 维欧氏空间中的正交变换维欧氏空间中的正交变换1. . 维欧氏空间中的正交变换是保持标准正交基维欧氏空间中的正交变换是保持标准正交基不变的线性变换．不变的线性变换．是是V的标准正交基，则的标准正交基，则￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿也是也是V的标准正交基的标准正交基.1). .若若￿￿￿￿￿￿￿￿是是￿￿￿￿￿￿￿￿维欧氏空间维欧氏空间V的正交变换，的正交变换，事实上，由正交变换的定义及标准正交基的性质事实上，由正交变换的定义及标准正交基的性质即有，即有，8高等代数北大版2). .若线性变换若线性变换￿￿￿￿￿￿￿￿使使V的标准正交基的标准正交基￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿变成变成变换．变换．标准正交基标准正交基￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿　　￿￿￿￿￿￿￿￿，则，则￿￿￿￿￿￿￿￿为为V的正交的正交证明：任取　　　　证明：任取　　　　￿ ￿设设￿ ￿由　由　￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿为标准正交基，有为标准正交基，有9高等代数北大版　故　故￿￿￿￿￿￿￿￿是正交变换．是正交变换．又又由于　　　　　　　　　为标准正交基，得由于　　　　　　　　　为标准正交基，得￿ ￿10高等代数北大版2. . 维欧氏空间维欧氏空间V中的线性变换　是正交变换中的线性变换　是正交变换　在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵．　在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵．设设￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿为为V的标准正交基，且的标准正交基，且￿ ￿证明：证明：的标准正交基，的标准正交基，当当￿￿￿￿￿￿￿￿是正交变换时，由是正交变换时，由1知，知，￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿也是也是V而由标准正交基而由标准正交基￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿到标准到标准正交基　　　　　　正交基　　　　　　￿￿ ￿￿的过渡矩阵是正交矩阵的过渡矩阵是正交矩阵.11高等代数北大版设设￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿为为V的标准正交基，且的标准正交基，且￿ ￿再由再由￿ ￿1 即得　为正交变换．即得　为正交变换．由于当由于当A是正交矩阵时，是正交矩阵时，￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿也是也是V的的即，即，标准正交基，标准正交基，所以，所以，A是正交矩阵．是正交矩阵．12高等代数北大版1）正交变换的逆变换是正交变换；）正交变换的逆变换是正交变换；￿ ￿2）正交变换的乘积还是正交变换．）正交变换的乘积还是正交变换．3. . 欧氏空间欧氏空间V的正交变换是的正交变换是V到自身的同构映射．到自身的同构映射．因而有，因而有，（（由同构的对称性可得之由同构的对称性可得之））（（由同构的传递性可得之由同构的传递性可得之））13高等代数北大版4. 　　维欧氏空间中正交变换的分类：维欧氏空间中正交变换的分类：设　维欧氏空间设　维欧氏空间V中的线性变换　在标准正交基中的线性变换　在标准正交基1）如果）如果￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿　则称　为　则称　为第一类的第一类的（（旋转旋转））; 2）如果）如果￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿　　￿ ￿则称　为则称　为第二类的第二类的．．￿ ￿下的矩阵是正交矩阵下的矩阵是正交矩阵A，则，则14高等代数北大版例例、在欧氏空间中任取一组标准正交基、在欧氏空间中任取一组标准正交基定义线性变换　为：定义线性变换　为：则　为第二类的正交变换，也称之为则　为第二类的正交变换，也称之为镜面反射镜面反射．．15高等代数北大版高等代数北大版。