相似三角形典型模型及例题.doc

word1：相似三角形模型一：相似三角形判定的根本模型〔一〕A字型、反A字型〔斜A字型〕〔平行〕〔不平行〕〔二〕8字型、反8字型〔蝴蝶型〕 〔平行〕 〔不平行〕〔三〕母子型〔四〕一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形〔等腰梯形〕或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如如下图：〔五〕一线三直角型：三直角相似可以看着是“一线三等角〞中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的根本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进展转化〔六〕双垂型：二：相似三角形判定的变化模型旋转型：由A字型旋转得到8字型拓展GABCEF共享性一线三等角的变形一线三直角的变形2：相似三角形典型例题〔1〕母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E． 求证：．例2：：如图，△ABC中，点E在中线AD上, ．求证：〔1〕； 〔2〕． ACDEB例3：：如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．求证：． 1、如图，AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：．2、：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。

求证：(1)△AME∽△NMD; (2)ND=NC·NB3、：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F求证：EB·DF=AE·DB4.在中，AB=AC，高AD与BE交于H，，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点求证：5：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D〔点D与点A、C都不重合〕，E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．〔1〕求证：AE=2PE；〔2〕求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；〔3〕当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．ACBPDE〔2〕双垂型1、如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高求证：〔1〕△ABD∽△ACE；〔2〕△ADE∽△ABC；(3)BC=2ED2、如图，锐角△ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别是27和3，DE=6，求：点B到直线AC的距离〔3〕共享型相似三角形1、△ABC是等边三角形，DBCE在一条直线上,∠DAE=120°,BD=1，CE=3，求等边三角形的边长.2、：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．求证：〔1〕△ABE∽△ACD； 〔2〕．CADBEF(4)一线三等角型相似三角形例1：如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60°〔1〕求证：△BDE∽△CFD〔2〕当BD=1，FC=3时，求BE例2：〔1〕在中，，，点、分别在射线、上〔点不与点、点重合〕，且保持.①假设点段上〔如图〕，且，求线段的长；②假设，，求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域；ABCABCPQ（2） 正方形的边长为〔如如如下图〕，点、分别在直线、上〔点不与点、点重合〕，且保持.当时，求出线段的长.ABCDABCD例3：在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．〔1〕如图8，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．①求证；△ABP∽△DPC②求AP的长．〔2〕如果点P在AD边上移动〔点P与点A、D不重合〕，且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么①当点Q在DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；②当CE＝1时，写出AP的长．CDABP例4：如图，在梯形中，∥，，．点为边的中点，以为顶点作，射线交腰于点，射线交腰于点，联结．〔1〕求证：△∽△；〔2〕假设△是以为腰的等腰三角形，求的长；〔3〕假设，求的长．1、如图，在△ABC中，，，是边上的一个动点，点在边上，且．(1) 求证：△ABD∽△DCE；(2) 如果，，求与的函数解析式，并写出自变量的定义域；(3) 当点是的中点时，试说明△ADE是什么三角形，并说明理由．ABCDE2、如图，在△ABC中， AB=AC=6，BC=5，D是AB 上一点，BD=2，E是BC 上一动点，联结DE，并作，射线EF交线段AC于F．〔1〕求证：△DBE∽△ECF； 〔2〕当F是线段AC中点时，求线段BE的长；〔3〕联结DF，如果△DEF与△DBE相似，求FC的长．3、在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC =6，AB=DC=4，点E是AB的中点． 〔1〕如图，P为BC上的一点，且BP=2．求证：△BEP∽△CPD； 〔2〕如果点P在BC边上移动〔点P与点B、C不重合〕，且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么①当点F段CD的延长线上时，设BP=，DF=，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；②当时，求BP的长．EDCBAP4、如图，边长为的等边，点在边上，，点是射线上一动点，以线段为边向右侧作等边，直线交直线于点，〔1〕写出图中与相似的三角形；〔2〕证明其中一对三角形相似；〔3〕设，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值X围；〔4〕假设，试求的面积．(5)一线三直角型相似三角形例1、矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P作，交边AB于点E,设，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值X围。

例2、在中，是AB上的一点，且，点P是AC上的一个动点，交线段BC于点Q，〔不与点B,C重合〕，设，试求关于x的函数关系，并写出定义域1.在直角中，，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，交射线AC于点F〔1〕、求AC和BC的长〔2〕、当时，求BE的长〔3〕、连结EF,当和相似时，求BE的长2.在直角三角形ABC中，是AB边上的一点，E是在AC边上的一个动点，〔与A,C不重合〕，与射线BC相交于点F.(1)、当点D是边AB的中点时，求证：(2)、当，求的值〔3〕、当，设,求y关于x的函数关系式，并写出定义域3.如图，在中，，，，是边的中点，为边上的一个动点，作，交射线于点．设，的面积为．〔1〕求关于的函数关系式，并写出自变量的取值X围；〔2〕如果以、、为顶点的三角形与相似，求的面积.4.如图,在梯形中，, ，是腰上一个动点(不含点、),作交于点.(图1) (1)求的长与梯形的面积； (2)当时,求的长；(图2) (3)设,试求关于的函数解析式,并写出定义域.QPDCBAQPDCBA / 。