应用三角形内角和定理及其推论解题例析.doc

应用三角形内角和定理及其推论解题例析三角形内角和定理:三角形三个内角和等于180°推论1：直角三角形的两个锐角互余;推论2：三角形的一种外角等于和它不相邻的两个内角和;推论3：三角形的一种外角不小于任何一种与它不相邻的内角以上有关三角形的内角和定理及其推论在解题中有比较广泛的应用,下面举例阐明一、求角度的大小例1：在△ABＣ中,若∠A: ∠B: ∠Ｃ＝1:2:3,则∠C=_______解:依题意，不妨设∠A=ｘ，则∠B=2x,∠Ｃ＝3x,因此由三角形的内角和定理可得：x+2ｘ+3x=１８0°，解之得：ｘ=30°，故∠C=3x=９0°例2：如图1,已知∠1=2０°,∠=25°，∠A=35°，则∠BDＣ的度数为＿____＿_ABCD11BCDAE 　 　　 图1 　 　 　 　　　 　 　 　 　图2解：在△ABC中，∠ABＣ+∠ACB＝180°-∠A=1８０°-3５°＝14５°，∴∠DBC+∠ＤCＢ=(∠ABC+∠ACB)-( ∠1＋∠2）=１4５°-（２0°+25°)=100°.在△BDC中，∠BDC＝180°－(∠DＢＣ+∠DＣB)=18０°-100°=８0°.例3：如图２，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于E，交AＣ于Ｄ。

若∠B＝53°，则∠CDE＝＿_＿___＿.解:∵△ＡBC是直角三角形，∠B＝53°,∴由三角形内角和定理的推论1，得∠Ａ=90°－53°=37°再由三角形内角和定理的推论2，得∠CDE=∠A+∠AEＤ＝３７°＋90°=１27°二、求多角的和例4：如图3,一种任意的五角星,它的五个角(∠A、∠Ｂ、∠C、∠Ｄ、∠E）的和为( 　　)A.5０° 　 　 　 B.１０0° 　 C.180°　 　 D.２00°AABCDE12BCDE12 　 　 　 图3　 　 　　 　 　 　 　 图４解：由推论２知,∠2=∠B＋∠D，∠1=∠C＋∠E;又由定理知：∠1+∠2＋∠A=1８0°，即∠A＋∠B+∠C+∠D＋∠E=1８0°，故本题应选C例5:如图4，已知∠A=60°，求∠B+∠C＋∠D+∠E的度数解:由题设可知，∠Ｂ＋∠C＝180°-∠１,∠D+∠Ｅ＝180°-∠2,∴∠B+∠C+∠D＋∠E＝3６0°-（∠1+∠2)∵∠1+∠2=180°-∠Ａ=1２0°,∴∠B+∠Ｃ+∠D+∠Ｅ=３60°－120°=240°.三、求角的取值范畴ABCDBCDEA例6:如图5，在△ABC中，∠A>∠Ｂ>∠ACＢ,延长AC到D，求∠BＣD的取值范畴。

　 　　 图5 　　　 　 　 　 　 　图6解:∵∠Ａ>∠ＡCB,∠B＞∠ACB,∴∠Ａ+∠Ｂ>2∠ACB,∵∠A+∠Ｂ=１８0°－∠ACB,∴180°-∠ACB>２∠ACB,　∴∠ＡCＢ＜60°∵∠ＢCD+∠ACB＝180°， ∴∠BCD>1２0°,∴1２0°<∠BCD<1８0°．四、证角相等例7：如图6,求证:∠BＤＣ＝∠A+∠B+∠Ｃ析与证:由于在已知图形中没有三角形,因此要想运用三角形内角和定理及其推论证明结论成立,必须添加辅助线，构成证题所需的三角形连结AＤ并延长到E,如图６中所示，则有∠ＢDE=∠BAD＋∠Ｂ,∠ＣDE=∠ＣAD+∠C,∴∠BＤE+∠ＣDE＝∠ＢAＤ+∠ＣAD+∠Ｂ＋∠Ｃ,即∠ＢDC＝∠A+∠Ｂ+∠Ｃ五、证角不等例8:如图７，已知P是△ABC内的任意一点,求证:∠BPC>∠ＡAABCPDBCDE　 　 　 　 图7　 　 　 　　 　 图８析与证：为了使∠BPC与∠A有联系,可延长BP交AC于Ｄ,于是由推论3知，∠BPＣ>∠PＤＣ， 而∠PＤC>∠A,故∠BPC＞∠A。

六、判断三角形的形状例９:在△ABC中,∠A=∠Ｂ=∠Ｃ，试判断三角形的形状解：∵∠A＝∠B=∠Ｃ,∴∠Ｂ=∠C,又∠A＋∠B+∠C=180°，∴∠Ｃ+∠C+∠C=1８０°，∴∠C=9０°, ∴△AＢC为直角三角形七、解实际问题例10:一种零件的形状如图８所示，按规定∠Ａ应等于90°,∠B和∠C应分别是３2°和２1°检查工人量得∠BDC=1４8°，就可以拟定这个零件不合格,请你运用三角形的有关知识阐明零不合格的理由解：根据三角形内角和定理及其推论，可连结AD,并延长到E∵∠CＤE＝∠CAD+∠Ｃ，∠ＢDE=∠DＡB＋∠B,∴∠CDB=∠CAD+∠DAB＋∠Ｂ+∠C如果零件合格,那么∠CDB=90°＋32°+２1°=1４3°现量得∠ＣＤB=１48°，因此零件不合格练习：⒈ 在△ABC中,∠A-∠B=∠B-∠C=20°,求∠A、∠B、∠Ｃ的度数⒉ 在△ABＣ中,∠A+∠C=2∠B,求∠B的度数⒊ 如图1，已知∠1＝2０°，∠2=2５°，∠A=3５°，则∠BＤC的度数为＿____BCD12CABED 　 　　 图１ 　 　 　 　 　 　图2⒋　如图2，已知ＡB∥ＣD,求∠A+∠Ｃ+∠AEC的度数。

参照答案１、∠A=80°，∠Ｂ=60°,∠Ｃ=４０°；2、∠Ｂ=6０°;3、∠BDC=80°；4、３６0°与三角形的角有关新题型三角形的内角和定理、外角性质揭示了三角形的角之间的重要的内在关系，成为重要的几何基本知识.其考察形式也丰富多样,下面我们就关注几类与三角形的角有关的新题型．一、情境探究型问题例1 一天,小军和小明在讨论如图所示的图形中,有如下说法:①既可当作是的一种内角，也可当作是的一种外角;②可当作是的一种内角,也可当作是的一种外角；③由三角形的外角性质可知;④图中有三组互余的角,如与、与、与.其中,对的的个数是 　 ( 　 ).A.1个 　B．２个 C.３个　　 D．4个 解：选D;点评：这个问题置身于两个同窗们讨论氛围中,其实是内角、外角的辨认问题.二、操作体验型问题例2 如图,一块实验田的形状是三角形（设其为），管理员从边上的一点出发,沿的方向走了一圈回到处,则管理员从出发到回到原处在途中身体　 （　　 　 ).ABCDA.转过ﻩ B．转过ﻩﻩＣ.转过 D.转过析解：分析题意,懂得管理员走了一圈后,其实是转了一周,即转过,选D．点评：解题贵在发现本质，像本题的本质就是,管理员在整个运动过程中，最后转了一圈，即旋转了．三、变化探究型问题例３ 如图，已知,点、分别在射线、上移动,的内角平分线与的外角平分线所在直线交于点，试猜想:随着、点的移动,的大小与否变化?阐明理由．解:的大小不变.理由：平分．点评:这个问题在运动背景下，问题似乎找不到突破方向,具体分析时，同窗们可以做无效线条的删减，以“突显”图形的目的.像本题的本质就是三角形一种内角与外角平分线的夹角问题.例5 　探究与发现:(1）如图①∠1＋∠2与∠B＋∠Ｃ有什么关系?为什么?(2)把图①△AＢC沿DＥ折叠，得到图②,填空：∠１＋∠2_＿__＿＿＿∠B+∠C(填“>”“＜”“＝”）,当∠A=40°时，∠B＋∠C+∠1+∠２＝_＿__＿_（3）如图③，是由图①的△ＡBC沿DE折叠得到的，如果∠A＝30°，则x＋y=360°－(∠Ｂ＋∠C+∠１+∠2)=360°－ 　 =　 , 猜想∠BDA＋∠CEA与∠A的关系为 　 　 　 　 ． 　　　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　 　 　　 图① 　 　　 　 　 图② 　 　 　 　 　　　图③解析:(1)∠１+∠2=∠B+∠C 　由三角形的内角和是１8０°易证.（2)∠１＋∠2=∠Ｂ+∠C 280° (∠１+∠２=∠B+∠C＝18０°－4０°=１４0°)（3）3００°，60° 　∠ＢＤＡ+∠ＣEA=2∠A (由已知度数得到∠BDA+∠CEA与∠Ａ的数量关系，不规定证明)点评：本题看似复杂，其实是三角形内角和与外角性质的综合应用,同窗们注意体会其中的措施．除了上面的措施,是不是还可以有其她的措施呢?(补全图②、③折去的部分,运用三角形外角性质分析)试试吧！三角形内角和定理及其推论的应用同窗们在学习三角形知识的过程中，一方面会学到三角形内角和定理及其推论，其内容如下：三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于１8０°；推论1:直角三角形的两个锐角互余；推论2:三角形的一种外角等于和它不相邻的两个内角的和；推论3：三角形的一种外角不小于任何一种和它不相邻的内角。

下面举某些典型的例子阐明定理及其推论的应用例1:如图1，求∠A＋∠B+∠C＋∠Ｄ＋∠E的度数AABBCCDDEE112 　 　 　 图1 　 　 　 　　 　 　 　　 　 图2解：∵∠1=∠A+∠B，∠2=∠Ｅ＋∠Ｃ，而∠1+∠2+∠D=180°,即∠Ａ＋∠B＋∠E+∠C+∠D=18０°,∴∠Ａ+∠B＋∠Ｃ+∠Ｄ+∠E=180°例2：如图2,∠B=３0°，△CDE的三个内角都相等,求∠A的度数解:∵△CDE的三个内角都相等，∴∠1＝，又∵∠１=∠B+∠Ａ，∴∠A=60°-3０°=３0°例３：如图3，在△ABC内,∠A=４2°，∠B和∠C的三等分线分别交于D、E求∠BDＣ、∠ＢEC的度数ABCDE 　 　　 　　 　 　　图3解：∵∠Ａ+∠ＡＢC+∠ACB＝1８０°,∴∠Ａ+∠ABＣ+∠ACＢ=×180°，而∠A=4２°，∴∠ABC+∠ACB=92°,即∠ＤＢＣ+∠ＤCB=92°∴∠BＤC=180°-92°＝８8°,同理:∠ABＣ+∠ＡＣB=４6°,即∠EBC+∠ECB=46°,∴∠BEC＝1８0°－4６°=134°。

故∠BDC=８８°,∠ＢＥC=１34°例４:如果一种三角形的每个内角都不小于50°，则它们必然都不不小于８0°证明：设∠A、∠B、∠C表达三角形的三个内角∵∠A>50°，∠B>50°,∴∠C=1８0°-∠Ａ-∠B＜１８0°-5０°-５0°=8０°.即∠C＜80°.同理：∠A<８０°,∠B<80°例5：在锐角三角形中，三个内角的度数都是质数，试判断三角形的形状解：由于△ABC的各角均为锐角，不妨设∠A≤∠Ｂ≤∠C<９0°.∵∠A、∠B、∠C均为质数,且∠A+∠B+∠Ｃ＝１80°，∴∠Ａ、∠B、∠C的度数中至少有一种为偶数,但偶质数只有2,故∠A＝２°,∠Ｂ此时不能再为偶数2°∴∠Ｂ+∠C=18０°-2°=178°，而∠B≤∠Ｃ≤89°，∴∠B＝∠Ｃ=８９°,故。