概率的公理化定义及其性质.ppt

第3节 概率的公理化定义及其性质,定义3.1 设E为随机试验,Ω是它的样本空间，F是Ω的一些子集所组成的集合族如果F满足如下条件：,则称集类F为s-代数，称F中的元素为事件，Ω为必然事件，空集f为不可能事件，(Ω, F)为可测空间.,柯尔莫哥洛夫, 1933年 前苏联著名数学家，现代概率论开创者,例1. F={f, Ω}为s-代数，这是最小的为s-代数.,例2.设A Ω为任意集合，则 F={f, A , Ā,Ω}为s-代数.,例3.设Ω为任意有限集,则 F=2Ω={Ω的子集}为s-代数.,例4.设Ω为任意的集合,则 F=2Ω={Ω的子集}为s-代数.,例5.设Ω为实数限集, 如果F是由所有的有界半闭区间,生成的为s-代数.则称F为Borel s-代数， F中的元素叫做Borel 集.,可测空间(Ω, F)具有以下性质,证明从略,定义3.2 设(Ω，F)是一个可测空间，对每一集A ∈ F，定义实值集函数P(A)，若它满足如下三个条件：,(1)非负性条件：对每一集A ∈ F,都有 0≤P(A)≤1;,(2)规范性条件：P(Ω)=1;,(3)可列可加性条件: 设Ai ∈ F, i=1,2,…,而且AiAj=, i≠j, i, j=1, 2,…,有,则称集合函数P(·)为(Ω，F)上的概率，P(A)为事件A的概率，(Ω,F,P )为一个概率空间.,性质1. P()=0.,概率的性质,于是由可列可加性得,又由P()≥0得, P()=0,证明:设An=(n=1,2,…),则,,且对于,证明 令An+1=An+2=…=,则由可列可加性及P()=0得,性质2.,即,性质3. 对于任一事件A,有,证明 因为,且 ，,因此有,证明 由A  B知B=A∪(B-A),且A(B-A)=,,性质4 设A,B是两个事件,若A  B,则有 P(B-A)=P(B)-P(A),推论 若A  B，则P(B)≥P(A),证明 由P(B)=P(A)+P(B-A)和P(B-A)≥0 知 P(B)≥P(A),因此由概率的有限可加性得 P(B)=P(A)+P(B-A),从而有 P(B-A)=P(B)-P(A),证明 因为A-B=A-AB,且AB  A 故,推论 对于任意两事件A,B，有 P(A-B)=P(A)-P(AB),P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB),性质5 对于任意两事件A,B，有 P(A∪B)= P(A)+P(B)-P(AB)上式称为概率的加法公式.,证明 因 A∪B=A∪(B-AB)且A(B-AB)=,ABB故,P(A∪B)= P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB),概率的加法公式可推广到多个事件的情况. 设A,B,C是任意三个事件，则有 P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C) -P(AB)-P(BC)-P(CA) +P(ABC),一般地,对于任意n个事件A1,A2,…,An,有,多除少补原理,性质6 (概率的连续性) 设Ai ∈ F, i=1,2,…,而且,则有,证明从略,推论 设Ai ∈ F, i=1,2,…,而且,则有,证明 设 Bi = Ai –A，对Bi 应用性质5即可.,定理3.1 设P为可测空间(Ω, F)上的非负实值集函数，且P(Ω)=1,则具有可列可加性的充要条件是,(1) P是有限可加的；,证明从略,(2) P是连续的.,例1 设(Ω,F,P )为一个概率空间. A ,B∈ F ，且 AB=，求证 P(Ā )≥P(B).,证明 因AB=，由非负性和有限可加性，得,1≥P(A+B)=P(A)+P(B),故,P(Ā ) =1-P(A)≥ P(B).,解,例2,作业：P27，T16,17.,。