无穷小的比较.docx

无穷小的比较1・当XTO时,2x-x2与x2-x3相比，哪一个是高阶无穷小？ 解 因为lim芒二旦二lim 宁2二0,xtO 2x—x2 xtO 2 — x所以当xtO时,x2—x3是高阶无穷小，即x2-x3=o(2x-x2).2.当xt1时，无穷小1-x 和(1)1—x3, (2)2(1—x2)是否同阶？是否等价?解 (1)因为 lim”3=lim(1—x)(1+x+x 2)= lim(l+x+x 2)=3,x t1 1— x xt1 1— x xt1所以当xt1时，1-x和1-x3是同阶的无穷小，但不是等价无穷小.(2)因为limxt12(1-x 2)1—x=2lim(1+x) =12 x t1所以当xt1时,1-x和2(1—x2)是同阶的无穷小，而且是等价无穷小.3.证明：当xtO时，有：(1) arctan x 〜x;(2)sec x—1x 2~2证明(1)因为 lim arctan x = lim —=1 (提示：令 y=arctan x，则当 xtO 时,yT0)， xtO x y tO tan y所以当 xtO 时， arctanx〜x.2sin2 x 2sin 真(2) 因为 lim seC x-1 = 2 lim1-cos x = lim 2 = lim( 2)2 =1，xtO 1 x2 xtO x2COSx xtO xtO x2 ~2 2所以当 xtO 时，sect—1~ x..厶4. 利用等价无穷小的性质， 求下列极限：(DlimlO^ ；xtO 2x(2) lim sin(x")(n，m 为正整数)；xtO(sinx)m(3) limtanx—sinx ; xtO sin3 x(4)lim xtOsin x—tan x(31+x 2 —1)G-'1+ sin x — 1)解(l)lim-tan3x二lim^二2.xtO 2x xtO 2x 2⑵lim畀斗x TO(Sin x)m=lim 竺= m .n < m亠 . sin x(tan x —sin x(3) lim = limxto sin3 x xto(4) 因为1基2=lim 1-cosx = lim 士sin3x xtocosxsin—x xtox—cosx —x x 1s i ix—t a n=t a n( c oxs-1)=-2t a ns i 2—〜一2x-(—)2 =—-x3(xt0),=3；'(1+x2)—；1+x—+1 〜3x2(xTO)，<1+s i xx —1=s i nJ1+s i xx +1~s i rx〜x(xtO),所以limxtosin x—tan x(31+x 2 —1)( J1+s i n — 1)lim.2 =—3.Z3 x2 - x。