中点弦与点差法教学设计.docx

微专题《中点弦与点差法》 教学设计说明【考情分析】1、高考要求（1） 了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；（2） 掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、 顶点、离心率）；（3） 了解双曲线的定义、结合图形和标准方程、知道它的简单几何性质（范围、对称性、 顶点、离心率、渐近线）；（4） 了解曲线与方程的对应关系；（5） 理解数形结合的思想；（6） 了解圆锥曲线的简单应用从全国卷考试说明，全国卷椭圆和抛物线要求比较高，都是“掌握”和“理解”，而对双曲线要求大大降低，是“了解"；直线与圆锥曲线、曲线与方程的要求都是“了解2、历届高考文科数学（全国卷1）调研（1）考察形式、难度、分值情况全国卷题型赋分2013201420152016小题5分5分4 （简单）10 （中档）4 （简单）10 （简单）5 （简单）16 （中档）5 （简单）10 （简单）大题12分20 （较难）20 （中档）20 （简单）20 （中档）（2）文科数学（全国卷1）命题趋向题 型20102011201220132014201520168双曲11圆：圆4椭圆：4双曲4双曲5椭圆与5椭圆：线：双曲与圆的椭圆离线：渐近线：离心抛物线：椭圆的小线方程位置关心率与线方程率与参求准线离心率全与焦点系和圆焦点三数的取与弦长三角形心距角形值范围16椭圆：16双曲10等轴8抛物10抛物16双曲15圆：题椭圆与线:焦点双曲线线：焦点线：焦半线：焦点直线和国离心率三角形与抛物三角形径的长三角形圆的位的角平线:双曲的面积面积置关系分线线实轴长卷Hr22.抛物22椭圆：20.圆锥20圆与20圆锥20圆：20抛物线：直线点在椭曲线：抛椭圆:圆曲线：椭直线与线:直线与抛物圆上与物线与与圆的圆方程，圆的位和抛物线的位四点共圆方程，位置关圆的弦置关系线的位Hjff置关系圆点线距系和直长与三及求弦置关系离线与椭角形面长圆的位 置关系积从以」匕近7年全国高考在解析几何部分的命题分布看：都是两小题一道大题（即两小一大）的题型设置；圆锥曲线由2010年，2011年的设置的第一题在8题和11题位置，到2012 至2015年第一题基本稳定在4、5两道题的位置。

我们可以看到总体上全国卷在解析几何部 分的命题，难度在降低，更注重比如定义、标准方程、离心率、渐进线方程等基础知识的考 察基本上是椭圆、双曲线、抛物线、圆中四选三各一道题目，直线与圆很少单独考察，而 是与圆锥曲线结合在近7年的解析几何大题部分，椭圆考查了 3次、抛物线和圆各考查2次，没有考过双 曲线实际上全国卷在近十年高考中也只有08年考过一次双曲线的大题这与《考试说明》 对三者的要求是一致的复习本专题的意义】解析几何是高考的重点，也是难点一轮复习应该在注重知识面广的同时，要根据文科 数学的特点加强思想方法的渗透，总结一些源于教材而高于教材的重要结论和解题规律，做 到基础扎实、结论熟练、思路清晰、方法准确、讲练得体，并引导学生充分结合考试说明和 命题规律，学会整理知识要点、解题方法、解题技巧，分类收集典型考例，深入浅出，自然 实现重点突出，难点的突破，在能力提升同时也为二轮复习打下前站，为二轮复习的飞跃打 下坚实的基础与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题涉及到解决圆 锥曲线中点弦的问题，常采用“点差法”来求解点差法"是利用直线和圆锥曲线的两个交 点，把交点代入圆锥曲线的方程，得到两个等式，两式相减，可以得到一个与弦的斜率及 中点相关的式子（也称中点和斜率结合公式），再结合已知条件，运用学过的知识使问题得到 解决。

当题目涉及弦的中点、斜率时，一般都可以用点差法来解与韦达定理法复杂繁琐的 计算相比，点差法可以大大减少运算量，优化解题过程，达到“设而不求”的目的本微专题将从求弦的斜率与弦的中点问题、求弦中点轨迹、求弦的中点坐标、弦的垂直 平分线问题和求曲线的方程等方面引导学生自主学习、合作探究，使一轮复习备考落实到实 处，为2017年高考取胜作充分准备教学内容】直线与二次曲线相交，特别是直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重 要内容之一，也是高考的一个热点问题这类问题一般有以下三种类型：（1）求中点弦所在 直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求弦中点的坐标问题其解法有代点相 减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等一、求中点弦所在直线方程问题2 2例1、过椭圆—+ = 1内一点M （2, 1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在16 4的直线方程解法一：设所求直线方程为y-l=k（x-2）,代入椭圆方程并整理得：（4人之 + 1）X2 — 8（2*2 —心 + 4（2化-I）2 -16 = 0又设直线与椭圆的交点为A（Xi，h）, B （x2,y2）,则羽,尤2是方程的两个根，于是8(2好—幻W+lP 、, . x] + 4(2*2 _k)又M为AB的中点，所以 = =2,2 4妒+1解得k = —\, 故所求直线方程为x + 2y —4 = 0。

解法二：设直线与椭圆的交点为入(明，川)，B (x2,y2), M (2, 1)为AB的中点， 所以 X] +工2 = 4 , + y2 = 2，又 A、B 两点在椭圆上，则站 + =16 , x22 +4y22 = 16 ,两式相减得(-r； -x22) + 4(y「一 W) = 0 ,所以业二些=一一 即kAB=-~,故所求直线方程为x+2y —4 = 0■V] -x2 4(乂+乃)2 2解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(x ,y ),由于中点为M (2, 1),则另一个交点为B(4-x ,2-y ),因为A、B两点在椭圆上，所以有＜x2+4y2 =16(4-x)2 +4(2-y)2 =16两式相减得x + 2y —4 = 0,由于过A、B的直线只有一条,故所求直线方程为X + 2y - 4 = 0二、求弦中点的轨迹方程问题例2、过椭圆—+ ^- = 1±一点P (-8, 0)作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹方 64 36程解法一：设弦PQ中点M ( %, y ),弦端点P (玉，m , Q (x2, y2),2 2则有9% +16叫=576 ,两式相减得9(》「一兄2)* ]6( 2 一揭2)= ° ,9x/ +16v/ =576 - -又因为天+扬=2》，y, + y2 = 2y ,所以9• 2了(玉一纪)+ 16 • 2火乂 一光)=。

所以号=畚’而"Mr故奇=火 化简可得*+72x + " =0 («—8)解法二：设弦中点M ( %, y ) , Q ( , V]),由 x =2 8 , y = ¥可得邑=2x + 8 , yx=2y ,2 2又因为Q在椭圆上，所以-^― + -^― = 1, 64 3643 + 4)2+代=1,64 36所以PQ中点M的轨迹方程为3 + 4)~ +寸=1 (xa—8)16 9三、弦中点的坐标问题例3、求直线y = x-1被抛物线殳=4》截得线段的中点坐标解：解法一：设直线y = x-l与抛物线y 已知直线，与椭圆x2 +4J2 = 16相交Pi, P2两点，线段P1P2的中点是点P,设直线的斜率为k (左尹0), OP的斜率为矽,求证：kk'是一个定值 已知椭圆§ + 472=16,求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程平行弦中点轨迹方程) 请收集高考题、平时考试题、训练题中能用点差法解答的中点弦试题 阅读思考题前面面我们给出了解决直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题的一些基本解法下面我们 看一个结论：引理 设A、B是二次曲线C： Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0上的两点，P(%为)为弦 = 4%交于人31见)，B(x2,y2),其中点y = X — 1P(x0,y0),由题意得「2 ，顷=4%消去 y 得 3-1)2 =4》，即 x2 -6x + l = 0,所以互=%^ = 3，%=气一1 = 2,即中点坐标为(3,2)。

解法二：设直线y = x-\与抛物线y2 =4%交于A(X],yi), B(x2,y2),其中点 " 2P(x0,y0),由题意得“2=4*1,两式相减得=4(>2-明)，=4》2所以)(% + 弟=4,所以乂 +力=4,即％ =2,》0=%+1 = 3,即中点坐标为(3,2) o【课后练习】1、 求直线y = x- 2被抛物线y2 = 8x截得线段的中点坐标为AB的中点，则上=-片 ?(2C% + ~0)2Cy0 + E设 AO],'])、B(32)则心 2+今「+久+® +F = 0...... (1)Ax22 + Cy22 + Dx2 + £y2 + F = 0 (2)(1) -(2)得 A(xj + x2)(xl-x2) + C(》i + 力)(必 - 为)+ D(xl-x2) + 顼为-为)=02必0(羽-x2) + 2Cy0(y1 - y2) + -x2) + E{yx -y2) = 0o(2Ar0 + £))(邑 一 x2) + (2Cy0 + 归)(叫 一 %)="/ 2Cy0 + E * 0, :. xl x2o...A^A = _2质+ Q 即 =_2Ax0 + D o （说明：当人 3时，上面的结 邑 一 x2 2Cy0 + E ' 2Cy0 + E2 Ax + D论就是过二次曲线c上的点P3o, %）的切线斜率公式，即上=--坐——）。

2C% + E推论1设圆x2 + y2 + Dx + Ey + F^0的弦AB的中点为P（%%） （ % ? °），则如b =-部）假设点P在圆上时，则过点P的切线斜率为北=一羿 Zzq+c推论2设椭圆11 + 21 = 1的弦AB的中点为Pg%）］%湘），则知=一史・& a2 b2 a y0（注：对aWb也成立假设点P在椭圆上，则过点P的切线斜率为上=-竺・&）a y0推论3设双曲线£ —W = i的弦AB的中点为P3o，%）（%0）则携=竺•迪 a2 b2 a~ y0（假设点P在双曲线上，则过P点的切线斜率为左=、.血）%推论4设抛物线/ =2px的弦AB的中点为P3o，%）（%0）则知b=E假设%点P在抛物线上，则过点P的切线斜率为k = ?）y0我们可以直接应用上面这些结论解决有关问题，并用数学语言小结你的收获2 2【问题1］求椭圆土 +匕=1斜率为3的弦的中点轨。