七年级数学思维探究(26)图形面积的计算.doc

海伦，古希腊数学家、测量学家和工程师，在数 学史上，他以出色解决几何测量问题而闻名．他 提出了不少计算图形面积和体积的精确或近似公 式，其中包括著名的已知三角形三边，求三角形面积的“海伦公式”．26．图形面积的计算解读课标面积是平面几何中一个重要概念，计算图形面积是平面几何中最常见的基本问题之一，与面积相关的 知识有：1．常见图形面积计算公式；2．等底等高的两个三角形面积相等；3．等高（或等底）两个三角形面积的比等于对应底（或高）的比．面积的计算主要是求一些非常规图形的面积．非常规图形面积的计算往往可转化为常规图形面积的计 算，在转化的过程中常用到恰当连线、图形割补、等积变形、代数化等知识方法．熟悉以下基本图形．S1S2S1S2S1S2S4S3S1S2S3S4问题解决例 1 如图，梯形 ABCD 被对角线分为 4 个小三角形， △AOB 和 △BOC 的面积分别为 25cm 2 和，梯形的面积是__________ ABOD Ccm2 ．隐含多对面积相等的三角形，要求梯形的面积需求出 △DOC 的，过线段的比把三角形面积联系起来． 例 2 如图，正方形 ABCD 和 CEFG 的边长分别为 m 、 n ，那么 △AEG 的面积的值（ ）．A．只与 m 的大小有关 B．只与 n 的大小有关 C．与 m 、 n 的大小都有关 D．与 m 、 n 的大小 都无关A DB试一试 略GCFE七年级数学竞赛y 4 阴 影AMGABGAGDAMD例 3 如图，三角形 ABC 内的线段 BD 、CE 相交于点 O ，已知 OB =OD ，OC =2OE ．设三角形 BOE 、三角形 BOC 、三角形 COD 和四边形 AEOD 的面积分别为 S 、 S 、 S 、 S1 2 3 4（1）求 S : S 的值；1 3（2）如果 S =2 ，求 S 的值．2 4A．EODBC试一试 恰当连线（如连 OA ），把线段比转化为对应的三角形面积比．对于（2），设 =xAOE三角形面积之间的关系建立方程．例 4 如图， △ABC 的面积为1 ， D 、 E 为 AC 的三等分点， F 、 G 为 BC 的三等分点． 求：（1）四边形 PECF 的面积；（2）四边形 PFGN 的面积．A，利用QDMNPEBGFC试一试 （1）连 CP ，设 S =x ， S =y ，可建立关于 x ， y 的方程组，解题的关键是把相关图PCF PCE形的面积用 x ， 的代数式 示，并利 等分点导出隐含图形的面积；（2）连NC ，仿（1），先求出 △BNC 的面积，再得出△BNG 面积，进而可求四边形 PFGN 的面积．例 5 如图①，已知正方形 ABCD 的面积为 1 ， M 为 AB 的中点．求图中阴影部分的面积．1解法 1 如图①， = = ，S 为公共部分，所以 =AMD AMC △AMG AGD MCG，因为 △AMG 与 △AMD的高相等（以 A 为顶点作高），△MCG 与△MCD 的高相等（以 C 为顶点作高），所以S MG AMG = MCG =MD△AMD MCD，即14-MCG= MCG1 14 2，解得MCG=1 1 1 ， S =2 ´ = 6 6 3．DCDCDCAGMBAGMBAGxxOxMxB图①图②图③解法 2 如图②，连接 GB ，由正方形的对称性得 =ABG AGD1 1又 = = ，2 2，所以 S =2 =2 ´ 阴影 AGD2 2 1 1 =2 ´ ´ =1 +2 3 4 3．解法 3 如图③，连接 BD 、 BG ，设 BD 、 AC 交于点 O ， =xAMG七年级数学竞赛，4 1因为 = = S AMD AOD ABCD，所以 = - = - = =x GOD AOD AGD AMD AGD AMG又 = =x ， = =x ，BOG GOD BMG AMG因为 = + + ，AOB AGM GOB BMG1 1即 =x +x +x ，所以 x = ．4 12．所以 S = + =2 阴影 AGD MCG(-AMD AMG)=13．皮克公式例 6 用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1 的小正方形格子，小正方形的顶点叫格点，以格点 为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为 S ，它各边上格点的个数和为 x ．① ② ③ ④（1）上图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如 下表，请写出 S 与 x 之间的关系式．答： S =____________________．多边形的序号 ① ② ③ ④ …多边形的面积 S2 2.5 3 4…各边上格点的个数和 x 4 56 8…（2）请你再画出一些格点多边形，使这些多边形内部都有而且只有2 个格点．此时所画的各个多边形 的面积 S 与它各边上格点的个数和 x 之间的关系式是： S =___________．（3）请你继续探索，当格点多边形内部有且只有n个格点时，猜想 S 与x有怎样的关系？试一试 本例是按多边形内部的点来分情况探究的．对于（3），可以研究当多边形内部的点数为 3 、4 、 5 等的情况，从特殊到一般作出猜想．数学冲浪知识技能广场1．如图，一个大正方形被 2 条线段分割成 2 个小正方形和 2 个长方形，如果 S =75cm1那么大正方形的面积 S =_____________ cm 2 ．SS43SS122 ．2．图中最大正方形的边长是10cm ，那么，阴影部分的总面积是__________cm2， S =15cm22，3．如图，将边长为 4cm 的等边 △ABC 沿边 BC 向右平移 2cm 得 △DEF ， DE 与 AC 交于点 G ，则S : = 四边形ABFD ABC_____________．七年级数学竞赛AB EDGCF4．把三张大小相同的正方形卡片 A ， B ， C 叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图①摆放时，阴影部分的面积为 S1则 S ____________ S （填“ >”、“<”或“ =”）． 1 2；若按图②摆放时，阴影部分的面积为 S2，CCBAB A图①图②5．如图，在直角扇形 ABC 中，分别以 AB 、 AC 为直径作半圆，两条半圆弧相交于点 D ，整个图形被 分成 S 、 S 、 S 、 S 四部分，则 S 与 S 的大小关系是（ ）．1 2 3 4 2 4A． S S D．无法确定的2 4 2 4 2 4BAS3DS4S2S1C6．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1 的正方形， A 、 B 两点在小方格的顶点上，位置如 图所示，点C 也在小方格的顶点上，且以 A 、 B 、C 为顶点的三角形的面积为1 个平方单位，则点C 的 个数为（ ）．A． 3 个 B． 4 个 C． 5 个 D． 6 个BA7．如图，在长方形 ABCD 中， AE =BG =BF = 影部分的面积等于（ ）．D． 20A． 8 B． 12 C． 161 1AD = AB =2 2 3， E 、 H 、 G 在同一条直线上，则阴AEDHFB G C8．如图，凸四边形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 相交于 O 点，若三角形 AOD 的面积是 2 ，三角形COD 的面积是 1 ，三角形 COB 的面积是 4 ，则四边形 ABCD 的面积是（ ）．A． 16 B． 15 C． 14D．13七年级数学竞赛DCOAB9．如图，正方形 ABCD 、正方形 BEFG 和正方形 RKPF 的位置如图所示，点 G 段 DK 上，已知正方形 BEFG 的边长为 4 ，求 △DEK D CG F PKA B E的面积．10．如图， △ABC 的边 AB =30cm ， AC =25cm ，点 D 、 F 在 AC 上，点 E 、 G 在 AB 上，ADED: : : : =1: 2:3: 4:5 DEF EFG FGC GBCCF，求 AD 和 GE 的长．A E G B思维方法天地11．如图，若长方形 APHM 、BNHP 、CQHN的面积分别为 7 、4 、6 ，则阴影部分的面积是__________．AMDPHQBNC12．如图，三角形 ABC 的面积为 1 ， BD : DC =2:1 ， E 是 AC 的中点， AD 与 BE 相交于点 P ，那么四 边形 PDCE 的面积为______________．APEB DC13．如图，长方形 ABCD 中， AD =60cm ，AB =45cm ，Q 为 CD 的中点，在 BC 上取一点 P ，使△APQ 的面积等于 900cm 2 ，则 BP =_______________．A DQBPC14．如图，若 P 为平行四边形 ABCD 内的一点，且PAB=5，PAD=2，则 S△PAC=______________．七年级数学竞赛π ADPHB 。