二重积分的变量变换公式用极坐标计算二重积分.ppt

二重积分的变量变换公式二重积分的变量变换公式 用极坐标计算二重积分用极坐标计算二重积分§4 §4 二重积分的变量变换二重积分的变量变换9/9/20241满足满足一阶偏导数连续一阶偏导数连续;雅可比行列式雅可比行列式(3) 变换变换定理定理变换变换:是一一对应的是一一对应的 ,一、一、二重积分的变量变换公式二重积分的变量变换公式9/9/20242则则9/9/20243证证: 根据定理条件可知变换根据定理条件可知变换 T 可逆可逆. 用平行于坐标轴的用平行于坐标轴的 直线分割区域直线分割区域 任取其中一个小矩任取其中一个小矩形形, 其顶点为其顶点为通过变换通过变换T, 在在 xoy 面上得到一个四边面上得到一个四边形形, 其对应顶点为其对应顶点为则9/9/20244同理得同理得当当h, k 充分小时充分小时,曲边四边形曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四近似于平行四 边形边形, 故其面积近似为故其面积近似为9/9/20245因此面积元素的关系为因此面积元素的关系为从而得二重积分的换元公式从而得二重积分的换元公式: 例如例如, 直角坐标转化为极坐标时直角坐标转化为极坐标时, 9/9/20246例例1. 计算计算其中其中D 是是 x = 0, y = 0, x + y = 1 所围区域所围区域. 解解则则令令9/9/202479/9/20248例例2. 求抛物线求抛物线 y2 = mx, y2 = nx 和直线和直线所围区域所围区域 D 的面积的面积. 解解令令9/9/20249当积分区域是圆域或圆域的一部分当积分区域是圆域或圆域的一部分, 或者被积函数或者被积函数含有含有 x2 + y2 时，采用极坐标变换往往能简化二重时，采用极坐标变换往往能简化二重积分的计算积分的计算. 此时此时, 二、二、用极坐标计算二重积分用极坐标计算二重积分9/9/202410则则 (ii) 若原点在若原点在 D 内，则内，则 (i) 若原点在若原点在 D 外，外，9/9/202411 (iii) 若原点在若原点在 D 的边界上，的边界上， (iv) 若区域若区域 D 可表示为可表示为则则9/9/202412例例3. 计算计算 其中其中9/9/202413例例4. 求球体求球体 被圆柱面被圆柱面所截得的所截得的(含在柱面内的含在柱面内的)立体的体积立体的体积. 解解由对称性可知由对称性可知9/9/202414例例5. 计算计算 其中其中解解的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角故本题无法用直角由于由于坐标计算坐标计算.作极坐标系变换，有作极坐标系变换，有9/9/202415例例6. 求椭球体求椭球体解解: 由对称性令则的体积的体积V.9/9/202416。