2023年四川省绵阳市南山中学自主招生考试数学试卷含答案详解.doc

2023年四川省绵阳市南山中学自主招生考试数学模拟试卷一、选择题（每小题3分，共36分）1．（﹣4）2的平方根是（　　）　A．4B．﹣4C．±16D．%±42．函数中自变量x的取值范围是（　　）　A．x≤14B．﹣3＜x≤1C．x≤1且x≠﹣3D．x＞﹣33．方程3（x﹣5）2=2（5﹣x）的解是（　　）　A．B．x1=5，x2=C．x1=5，x2=D．x1=4，x2=﹣4．如图，设P是函数在第二象限的图象上的任意一点，点P关于原点的对称点P′，过P作PA∥y轴，过P′作P′A∥x轴，PA与P′A交于点A，则△PAP′的面积是（　　）　A．2B．4C．8D．随P的变化而变化5．一次数学测试后，随机抽取九年级三班6名学生的成绩如下：80，85，86，88，88，95．关于这组数据的错误说法是（　　）　A．极差是15B．众数是88C．中位数是86D．平均数是876．如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是（　　）　A．5个B．6个C．7个D．8个7．若M（）、N（，y2）、P（，y3）三点都在函数的图象上，则（　　）　A．y2＞y1＞y3B．y2＞y3＞y1C．y3＞y2＞y1D．无法拟定8．如图，图中的两个转盘分别被均匀地提成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是（　　）　A．B．C．D．9．用120根长短相同的火柴，首尾相接围成一个三条边互不相等的三角形，已知最大边是最小边的3倍，则最小边用了（　　）　A．20根火柴B．19根火柴C．18或19根火柴D．20或19根火柴10．如图，边长为1的正方形ABCD绕着点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（　　）　A．B．C．1﹣D．1﹣11．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）；其中对的的结论有（　　）　A．5个B．4个C．3个D．2个12．如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿A⇒B⇒C⇒M运动，则△APM的面积y与点P通过的路程x之间的函数关系用图象表达大体是下图中的（　　）　A．B．C．D．二、填空题（每小题4分，共24分）13．实数范围内分解因式：x3﹣5x2﹣6x=　_________　．14．（2023•聊城）已知关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是　_________　．15．如图将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转90°到△A′B′C的位置，D，D′分别是AB，A′B′的中点，已知AC=12cm，BC=5cm，则线段DD′的长为　_________　cm．16．如图所示△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF为等腰直角三角形；③；④EF=AP；当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与点A、B重合），上述结论始终对的的有　_________　（填序号）17．已知α，β是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x+1=0两个实根，且满足（α+1）（β+1）=m+1，则m的值为　_________　．18．（2023•连云港）如图是一回形图，其回形通道的宽和OB的长均为1，回形线与射线OA交于A1，A2，A3，…若从O点到A1点的回形线为第1圈（长为7），从A1点到A2点的回形线为第2圈，…，依此类推．则第10圈的长为　_________　．三、解答题19．（1）计算；（2）先化简，再求值，其中．20．（2023•安顺）某公司现有甲、乙两种品牌的打印机，其中甲品牌有A，B两种型号，乙品牌有C，D，E三种型号．朝阳中学计划从甲、乙两种品牌中各选购一种型号的打印机．（1）运用树状图或列表法写出所有选购方案；（2）若各种型号的打印机被选购的也许性相同，那么C型号打印机被选购的概率是多少？（3）各种型号打印机的价格如下表：甲品牌乙品牌型号ABCDE价格（元）2023170013001200100021．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，点E，F分别段AD，DC上（点E与点A，D不重合），且∠BEF=120°，设AE=x，DF=y．（1）求y与x的函数表达式；（2）当x为什么值时，y有最大值，最大值是多少？22．如图所示，在平面直角坐标系内点A和点C的坐标分别为（4，8），（0，5），过点A作AB⊥x轴于点B，过OB上的动点D作直线y=kx+b平行于AC，与AB相交于点E，连接CD，过点E作EF∥CD交AC于点F．（1）求通过A、C两点的直线的解析式；（2）当点D在OB上移动时，能否使四边形CDEF为矩形？若能，求出此时k，b的值；若不能，请说明理由．23．如图△ABC中，过点A分别作∠ABC、∠ACB的外角的平分线的垂线AD，AE，D，E为垂足．求证：（1）ED∥BC；（2）．24．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均天天销售90箱，价格每提高1元，平均天天少销售3箱．（1）求平均天天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（2）求该批发商平均天天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？25．如图，在直角坐标系中，以点A（，0）为圆心，认为半径的圆与x轴交于B、C两点，与y轴交于D、E两点．（1）求D点坐标．（2）若B、C、D三点在抛物线y=ax2+bx+c上，求这个抛物线的解析式．（3）若⊙A的切线交x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于点N，切点为P，∠OMN=30°，试判断直线MN是否通过所求抛物线的顶点？说明理由．2023年四川省绵阳市南山中学自主招生考试数学模拟试卷参考答案与试题解析　一、选择题（每小题3分，共36分）1．（﹣4）2的平方根是（　　）　A．4B．﹣4C．±16D．%±4考点：平方根；有理数的乘方。

809397 分析：根据平方根的定义，即一个数的平方等于a，则这个数叫a的平方根．解答：解：∵（﹣4）2=42=16，∴16的平方根为±4，则（﹣4）2的平方根是±4．故选D．点评：此题考察了平方根的概念．注意：一个正数的平方根有两个，并且它们互为相反数．2．函数中自变量x的取值范围是（　　）　A．x≤14B．﹣3＜x≤1C．x≤1且x≠﹣3D．x＞﹣3考点：函数自变量的取值范围809397 专题：函数思想分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．解答：解：根据题意得：1﹣x≥0且x+3≠0，解得：x≤1且x≠﹣3．故选C．点评：考察了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．3．方程3（x﹣5）2=2（5﹣x）的解是（　　）　A．B．x1=5，x2=C．x1=5，x2=D．x1=4，x2=﹣考点：解一元二次方程-因式分解法；等式的性质；解一元一次方程809397 专题：计算题。

分析：移项后分解因式得到（x﹣5）（3x﹣15+2）=0，推出方程x﹣5=0，3x﹣15+2=0，求出方程的解即可．解答：解：3（x﹣5）2=2（5﹣x），移项得：3（x﹣5）2+2（x﹣5）=0，分解因式得：（x﹣5）（3x﹣15+2）=0，∴x﹣5=0，3x﹣15+2=0，解方程得：x1=5，x2=，故选B．点评：本题重要考核对解一元一次方程，等式的性质，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．4．如图，设P是函数在第二象限的图象上的任意一点，点P关于原点的对称点P′，过P作PA∥y轴，过P′作P′A∥x轴，PA与P′A交于点A，则△PAP′的面积是（　　）　A．2B．4C．8D．随P的变化而变化考点：反比例函数综合题809397 专题：数形结合分析：设出点P的坐标，可得到P′坐标，表达出所求三角形的面积，整理即可．解答：解：设点P的坐标为（x，y），则P′的坐标为（﹣x，﹣y），∴PA=2y，P′A=﹣2x，∴△PAP′的面积=×2y×（﹣2x）=﹣2xy=8，故选C．点评：考察反比例函数的综合应用；得到所求三角形的两直角边长是解决本题的易错点．5．（2023•枣庄）一次数学测试后，随机抽取九年级三班6名学生的成绩如下：80，85，86，88，88，95．关于这组数据的错误说法是（　　）　A．极差是15B．众数是88C．中位数是86D．平均数是87考点：算术平均数；中位数；众数；极差。

809397 专题：应用题分析：平均数只规定出数据之和再除以总个数即可；对于中位数，按从小到大的顺序排列，只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可，本题是最中间的两个数；对于众数是出现频数最大的数据．解答：解：A、极差是15，故A对的；B、众数是88，故C对的；C、中位数是87，故B错误；D、平均数是87，故D对的．故选C．点评：本题重点考察平均数，中位数，众数及极差的概念及求法．6．（2023•成都）如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是（　　）　A．5个B．6个C．7个D．8个考点：由三视图判断几何体809397 分析：结合三视图的知识，主视图以及左视图底面有6个小正方体，共有两层三行，第二层有2个小正方体．解答：解：综合主视图，俯视图，左视图底面有6个正方体，第二层有2个正方体，所以搭成这个几何体所用的小立方块的个数是8．故选D．点评：本题考核对三视图的理解应用及空间想象能力．可从主视图上分清物体的上下和左右的层数，从俯视图上分清物体的左右和前后位置，综合上述分析数出小立方块的个数．7．若M（）、N（，y2）、P（，y3）三点都在函数的图象上，则（　　）。