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化工传递过程基础,第五章 边界层流动 NS方程式反映了流体流动规律，但其解只在某些特殊情况下才能获得，对很小Re的爬流结果正确，而对Re很大的势流导致错误的结果，对此1904年Prandtl提出边界层学说后才得以解释 y u0 第一节 边界层的概念 1、流动现象 当流体遇到壁面时，由于流体 内部粘性力的作用，流速将从壁面处的0逐渐 ux 增加到u0即在整个流层中，沿垂直于流动方 向产生了速度梯度 2、提出论点 Prandtl提出的论点是：假定 ux 速度梯度全部集中在紧靠壁面的一薄层流体中， 该薄层称为边界层，在边界层以外流速不再变化为此将流动划分为两个区域： 边界层（粘性效应起作用，存在明显速度梯度的区域）和主流区 3、应用 边界层理论为许多试验所证实，一些复杂的传递现象可获得解决 4、边界层的形成和发展 形成：壁面的粘附作用；流体具有粘性 发展：边界层在一定距离内变化，然后趋于稳定在发展过程，边界层内的流动可能由层流转化为湍流，即由层流边界层转为湍流边界层，但在靠近壁面处仍然存在一层层流内层开始转变的距离称为临界距离xc ，转变点取决于临界Rec =5105 u0 y u0 xc u0 ux 层流边界层 过渡区 湍流边界层 x 在管内流动时，管内壁面形成边界层，而且逐渐加厚，在离进口某一段距离Le处边界层在管中心汇合，此后的流动称为充分发展了的流动。

从管入口到汇合处的距离称为进口段长度，以Le表示，用于流体物理量的测量时，要求测点超过Le才结果准确层流时Le=0.05dRe；湍流时Le50d u0 umax 湍流核心 Le Le,5、边界层厚度的定义 一般取流速达到u0 的99%处距离壁面的垂直距离（y方向）为边界层厚度，即： 虽然很小，但对流体的流动阻力，传热、 传质过程的速率有重要影响，其大小与 流体流动时的湍动程度有关 第二节 Prandtl边界层方程式 不可压缩流体沿壁面作稳态（层流边界层）流动时，可看作二维流动过程，若流动方向x，与壁面垂直方向y，则NaverStokes方程式及连续性方程式为：,1、Prandtl边界层方程式的推导 采用数量级分析法：当流体流动的Re很大时，x，甚至可以忽略不计 因此对式中各项进行数量级分析，使方程式简化采用O代表数量级） （1）取x为距离的标准数量级，用O（1）表示，记 x=O（1）； （2）取u0为速度的标准数量级，用O（1）表示，记 u0=O（1）及 ux=O（1） ； （3）取的数量级为O（），记 =O（）及y=O（） ； （4）由二维连续性方程式 知： （5）其余数量级：,根据以上讨论，对NaverStokes方程式中各项数量级之间的关系标注为： （1）（1）（）（1/） （1） （2） （1） （1/2） 由于： 因此方程式简化为： 同理： （1）（） （）（1） （） （2）（） （1/） 由此数量级分析可得到的结论是： 第二个方程式与第一个方程式相比，可以略去； ,因此根据数量级分析得出的 Prandtl边界层方程式为： 以及连续性方程式 ： 满足的边界条件： y =0 ，ux = 0 ， uy = 0 ； y =（），ux = u0 2、Prandtl边界层方程式的数学解 将 代入到边界层方程式得： Blasuis采用相似变换法将其转变为常微分方程，进行积分求解。

（1）寻找变量 通过相似变换 用无因次变量代替x、y：,过程：通过因次分析，引入变量 经分析 以质量M、时间及 x、y、z方向上的长度Lx ，Ly ，Lz为基本因次，代入： 根据因次一致性原则，解得：,即： 式中： 引入流函数，找出与 的关系：,（2）引入变量 和，对各项进行变换：,（3）代入到 得： （4）解方程式：Blasuis应用级数衔接法，在=0附近按Taler级数将f（）展开，方程的边界条件为： ,在=0附近按Taler级数将f（）展开： 由边界条件：y=0，=0，f（0）=0， c0 = 0 由边界条件：y=0，=0，f （0）=0， c1 = 0 代入并且整理：,为使上式成立，各项系数等于零，即： c3 = 0 ， c4 = 0 ， c6 = 0 ， c7 = 0 ， 式中：A0 =1，A1 =1，A2 =11，c2 由时的边界条件确定，其求解结果为： 实际计算时可通过查取表4-1进行3、Prandtl边界层方程式的应用 （1）边界层中的速度分布ux ，uy： （2）边界层厚度： （3）曳力系数CD：设平壁宽度b，长度L，流体受到的总阻力为：,其中： 第三节 Karman边界层积分动量方程式 1、 Karman边界层积分动量方程式的推导 方法：对Prandtl边界层方程从y=0到y=进行积分，然后根据速度分布求解。

Prandtl边界层方程式左侧积分： 其中： ,Prandtl边界层方程式右侧积分： 因此 Karman边界层积分动量方程式： 若已知uxy的关系，通过对Karman边界层动量方程式积分，可得速度分布等 2、流体沿平版壁面流动时层流边界层的近似解 （1）速度分布：不可压缩流体作稳态二维流动时，根据实验测定层流边界层内速度分布与抛物线形状相似，即： 其中系数ai由相应的边界条件确定，见87-89页设速度分布方程式为： 根据边界条件： 得层流边界层内速度分布方程式：,（2）边界层厚度：将边界层内速度分布方程代入Karman边界层动量方程式中 当 x=0 时，=0，故 c1 =0,（3）曳力系数CD：设平壁宽度b，长度L，流体受到的总阻力为： 其它情况下的速度分布、边界层厚度、曳力系数见表4-2中第四节 边界层分离 当流体绕过圆柱或球体等流动时，Re很小时阻力由粘性力引起； Re较大时摩擦阻力和形体阻力都有影响，而形体阻力取决于边界层分离 1、现象分析 流体流过平行置于流场中的薄平板时，沿流动方向边界层外的速度、压力保持不变，即dp/dx=0；但当流过曲面时，边界层外的流速、压力沿流动方向发生不断变化，由Benulii方程式： 2、结论 对边界层外的加速过程，边界层内外为减压过程，压力梯度为负；而对边界层外的减速过程，边界层内外均为加压过程，压力梯度为正。

3、影响 流体流过曲面时，夹在主流和固体表面间的边界层，在加速减压阶段，虽受到粘性力的作用而减小，但仍能向下游流动；而在减速加压阶段，同时受到粘性力和逆向压力的作用，紧贴壁面的流体速度迅速下降，当到达S点时所有的动能耗尽，出现停滞但后面的流体继续流动，在惯性力的作用下，使边界层流体脱离了固体壁面，该现象称为边界层分离边界层开始与固体表面分离的点S称为分离点，其上 4、边界层分离的结果 产生倒流和大量旋涡，形成极不规则的湍流区，使得能量损失急剧加大 5、形成边界层分离的必要条件 流体具有粘性；存在逆向压力梯度边界层分离是形成旋涡的重要来源，旋涡导致形体阻力，为产生局部阻力的主要原因 6、应用 用于计算局部阻力，工程上为减小阻力采取相应措施 u0 加速减压 减速 加压,第六章 湍流 湍流是指Re4000（圆形直管内）的流动，质点间碰撞混合程度剧烈，阻力要大于层流研究湍流的内容是：导致发生原因，特征，流动规律 第一节 湍流的特点、形成、表征 一、湍流的特点 湍流是在高Re数下发生的流动过程，特点流体向前流动时伴随不规则的脉动，混合剧烈，流动参数随时发生变化 其基本特征是质点的脉动 脉动的结果导致：流动阻力加大；速度分布均匀 （但在近壁处存在层流内层）。

二、湍流的形成 形成湍流具备的条件：旋涡的形成；旋涡的运动 1、旋涡的形成 （1）流体具有粘性，相邻流层间构成力偶，是产生旋涡的基本因素； （2）流层的波动（或产生边界层分离），在横向压力和剪应力的双重作用下导致了旋涡的形成 2、旋涡的运动 由于旋涡的形成，使附近流层的速度分布改变， 产生了压力差，促使旋涡脱离原来的流层进入邻近 的流层，各流层间旋涡的不断交换形成了旋涡 三、湍流的表征 1、时均量、脉动量和瞬时量 ux 湍流中质点的运动极不规则，为非稳定流动，采 用统计方法或取平均值的方法进行处理用测速仪 测出某段时间内流体瞬时速度ux随时间变化关系如图， ux随时间虽变化频繁，但总是围绕“平均值”在波动 0 （1）时均量 取0内ux的时间平均值，称为时均速度：,（2）脉动量 实际速度和时均速度之差称为脉动速度 （其值可正可负）： 且： （3）瞬时量 瞬时速度等于时均速度与脉动速度之和 区别：瞬时量指某时刻运动参数的真实值；时均量指某时段内瞬时量的平均值；脉动量指某时刻运动参数的真实值与时均值的差值（可正可负） 2、湍动强度（湍流的激烈程度） 湍动强度I = 脉动速度 /时均速度 用 代替 则：,第二节 流体湍流时的运动方程式 引入瞬时速度等于时均速度与脉动速度之和，且各脉动速度的时均值为零，可将流体的湍流流动理解为按时均速度在流动，使得问题简化。

但因湍流的本质是质点的脉动，因此必须考虑脉动Reynold将瞬时速度等于时均速度与脉动速度的方程代入到以应力表示的运动微分方程式中，然后取时均值，导出相应的湍流运动方程式，过程称为雷诺转换 一、 Reynold方程式 1、时均值的有关运算法则： 设 f1 和 f2 代表湍流运动 时的两个物理量，而且： 则有： （1） （2） （3） （4）,（5） （6） 2、对不可压缩流体的连续性方程式进行雷诺转换(2、6）： 即湍流时的时均速度仍然满足连续性方程式3、对以应力表示的运动微分方程式进行雷诺转换（x方向）： 由于湍流时包括脉动量，对两侧各项时均化，运用法则（2）、（6）、（5）得：,将含脉动量的各项移到右侧，展开左侧第一项，得： 左侧第一项 而且： 即为不可压缩流体稳态湍流时的时均运动方程式（x方向） ，称为雷诺方程式在y、z方向可得到类似的方程式二、雷诺应力 上述方程式多出3项，因此可推知；湍流时所产生的应力除和层流相同的部分外，还存在一部分附加应力即一个法向附加应力 和两个切向附加应力 ， 称为雷诺应力或表观应力湍流时雷诺应力较粘性应力大得多 在x方向的雷诺应力，总的时均应力可表示为：,而在三维流动时，诸雷诺应力的应力矩阵表示为： 由上面看出，一般雷诺应力前均加一个负号，为什么？ 分析获得： 在层流内层，仅粘性应力起作用，雷诺应力不存在； 在湍流区，主要雷诺应力起作用，粘性应力很小； 在过渡层，粘性应力和雷诺应力同时起作用。

第三节 涡流粘度与Plandtl混合长 一、湍流应力 1877年Boussinesq提出假设，类似于粘性应力，雷诺应力可表示为： 二、 Plandtl混合长 1925年， Plandtl据层流和湍流之间动量传递机理 的类似性，将分子动量传递过程中平均自由程的概念 用于湍流，提出了混合长的假设即：脉动过程流体 微团保持原x方向时均流速（动量）不变时的脉动垂直 距离，称混合长 假定混合长足够小，则： 若由下向上脉动： ， 若由上向下脉动：,根据质量守恒定律，y方向的脉动必引起x方向的脉动，假定： 则： 故雷诺应力 比较可得： 第四节 圆管中的稳态湍流流动 （注：在以后的讨论中将上下标略去，表示一维流动，速度均指时均速度） 一、通用速度分布方程式（x方向）,1、层流内层 令： 常数，在 0y范围内积分： 采用无因次形式表达时， 令 称为摩擦速度（m/s） 分别称为无因次速度、无因次距离 因而： 即为层流内层通 用速度分布方程 式 ：,2、湍流中心 Plandtl根据混合长的学说，假设： 常数；在管径范围内 因此： 积分： 即为湍流中心通用速度分布方程式：,Nikurade采用实验方法在半对数坐标上对上述关系进行了描绘，得到： 所以： 由实验结果（图5-9）可看到，当 与实验结果相吻合； 当 也与实验结果相吻合；但当 时两式均不适 用，其原因是存在一个过渡区。

Karmen等建议在Re=40003200000范围内，将 光滑管中的流动划分为三个区域： （1）层流区： （2）过渡区： （3）湍流区。