七年级数学下册培优新帮手专题19最值问题试题新版新人教版.doc

19 最值问题阅读与思考在实际生活与生产中，人们总想节省时间或费用，而取得最好的效果或最高效益，反映在数学问题上，就是 求某个量的和、差、积、商的最大值和最小值，这类问题被称之为最值问题，在现阶段，解这类问题的相关知识与基本方法有：1、 通过枚举选取.2、 利用完全平方式性质•3、 运用不等式（组）逼近求解 •4、 借用几何中的不等量性质、定理等 •解答这类问题应当包括两个方面，一方面要说明不可 能比某个值更大（或更小），另一方面要举例说明可以达到这个值，前者需要详细说明，后者需要构造一个合适的例子例题与求解【例 1 】 若 c 为正整数，且 a，b=c， b，c=d , d，a=b，则（a b）（ b c）（ c d） （d a）的最小值是 . （北京市竞赛 试题）解题思路：条件中关于 C的信息量最多，应突出 C的作用，把a，b，d及待求式用c的代数式表示.【例2】 已知实数a，b满足a2 b2 =1，则a4 ab b4的最小值是（ ）A 1 9A. B.0 C.1 D. -8 8全国初中数学竞赛试题）解题思路：对a4 ab b4进行变形，利用完全平方公式的性质进行解题【例3】 如果正整数x1, x2, x3 , x4, 满足x-i x2 x3 x4 x5 = x1x2x3x4x5，求x5的最大值.解题思路：不妨设 Xr二X2二X3二X4二花，由题中条件可 知- - - - -=1.结合题意进行分析X2X3X4X5 X-X3X4X5 X-X2X4X5 X!X2X3X5 人乂2乂3乂4【例4】 已知x, y,z都为非负数，满足 x-y-z"， x 2y 3^ 4，记w = 3x，2y，z，求w的最大值与最小值（四川省竞赛试题）解题思路：解题的关键是用含一个字母的代数式表示 w.【例5】 某工程车从仓库上水泥电线杆运送到离仓库恰为 200米的公路边栽立，要求沿公路的一边向前每隔 20米栽立电线杆一根，已知工程车每次之多只能运送电线杆 4根，要求完成运送18根的任务，并返回仓库，若工程车每行驶1千米耗油m升（在这里耗油量的多少只考虑（湖北省竞赛5次，而5次又有不同与行驶的路程有关，其他因素不计） •每升汽油n元，求完成此项任务最低的耗油费用试题）解题思路：要使耗油费用最低，应当使运送次数尽可能少，最少需运送运送方法，求出每种运送方法的行驶路程，比较得出最低的耗油费用【例6】直角三角形的两条直角边长分别为 5和12,斜边长为13, P是三角形内或边界上的一点，P到三边的距离分别为 d1， d2， d3，求d1 + d2 + d3的最大值和最小值，并求当 d1 + d2 + d3 取最大值和最小值时， P点的位置.（“创新杯”邀请赛 试题） 解题思路：连接P点与三角形各顶点，利用三角形的面积公式来解#能力训练1.社a,b,c满足a2 b2 c^9，那么代数式（a-b）2 • （b - c）2 • （c - a）2的最大值是… （全国初中数学联赛试题）2.在满足x • 2y岂3,x _0, y _0的条件下，2x y能达到的最大值是（“希望杯”邀请赛试题）3. 已知锐角三角形 ABC的三个内角A, B, C满足A> B> C.用〉表示A-B, B-C，以及90-A中的最小值，则〉的最大值是 .（全国初中数学联赛试题）c4. 已知有理数a, b, c满足a>b> c,且a+b+c=0,.那么一的取值范围是 . a（数学夏令营竞赛试题）5. 在式子x+|x+2|+|x+3 + x+4中，代入不同的x值，得到对应的值，在这些对应的值中，最小的值是（ ）.A.1 B.2 C.3 D.46. 若a, b, c, d是整数，b是正整数，且满足 b，c = d , d，c = a , b，a=c，那么a b c d的最大值是（ ）.A.-1 B.-5 C.0 D.1全国初中数学联赛试题）7.已知x - y = a, z 一 y = 10,则代数式x2 y2 z2「xy「yz「xz的最小值是（ ）A.75 B.80 C.100 D.105-(江苏省竞赛试题）8.已知x , y , z均为非负数，且满足 x y z=30, 3x y - z = 50，又设M = 5x • 4y • 2Z ,则M的最小值与最大值分别为( ).A.110 ，120 B.120 ，130 C.130 ，140 D.140 ，150x —1 2 _ v z — 39.已知非负实数 x， y，z满足 ，记w=3x，4y，5z.求w的最大值和最小2 3 4值（“希望杯”邀请赛试题）10.某童装厂现有甲种布料 38米，乙钟布料26米，现计划用这两种布料生产 L, M两种型号的童装共50套，已知做一套 L型号的童装需用甲种布料 0.5米，乙种布料1米，可获利45元；做一套 M 型号的童装需用甲种布料 0.9米，乙种布料0.2米，可获利30元，试问该厂生产的这批童装，当 L 型号的童装为多少套是，能使该厂获得利润最大？最大利润为多少？（江西省无锡市中考 试题）专题19最值问题例 1 24 提示：a = _c, b = 2c, d = 3c，原式 24c3 .24 42222 2 2 1 9例 2 B 提示: a ab b a b 2a b ab =1 - 2a b ab - -21 ab -I 4丿81 1 3 1 1 ( 1 9因为2ab洁* “，所以--