同济第六版高等数学课后答案.pdf
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习题1 - 11 .设 一 =( 一8 , - 5 )U( 5 , + 8 ) , 3 =[T0 , 3 ) ,写出 及小( 心5 )的表达式 .解 A
(1 , + 8 ) .( 3 ) j=- - Vl - x2 ;X解 由# 0且l - x2> 0得函数的定义域£ ) =[- 1 , 0 ) 5 0 , 1 ] .⑷ 尸 由解 由4-X2>0得| x | <2 .函数的定义域为( - 2 , 2 ) .( 5 ) y =si n 我 ;解 由应0得函数的定义 =[0 , + 8 ) .( 6) p =t a n( x + l ) ;解 由 X + 1 H5 ( 6 0 , ± 1 ， ±2 , … )得函数的定义域为 x ^ k7V+^ -\ (k=0, ± 1 , ± 2 , -( 7 ) y =a r c si n( x - 3 ) ;解 由卜 -3区1得函数的定义域[2 , 4 ] .( 8 ) y = V3 - x + a r c t a n —;x解 由3 -也0且x ^ O得函数的定义域D= g 0 ) 0 ( 0 , 3 ) .( 9)月 n( x + l ) ; 解 由X + l > 0得函数的定义域D =( - l , + oo) .1( ⑼ 产e x .解 由存0得函数的定义域氏( - *0 ) u ( 0 , + 8 ) .7 .下列各题中，函数. / ( X )和g ( x )是否相同？为什么?( D / ( x ) Tg x 2 , g ( x ) =2 1 g x ;( 2 ) X x ) =x , g ( x ) =V^ ;( 3 ) / ( X ) =Vx4- X3 ,g (x )-x y/x -l .( 4 ) / ( x ) =l , g ( x ) =se c2x - t a n2x.解⑴不同. 因为定义域不同.( 2 )不同. 因为对应法则不同,x <0时,g ( x ) =- x .( 3 )相同. 因为定义域、对应法则均相相同.( 4 )不同. 因为定义域不同.8 .设夕( x ) =«•mXI soi万-3匹3<->奴?) ，奴- ?) ， 奴- 2 ) , 并作出函数尸4 r )的图形.解 ^ y ) =| si ny | =y ,仪5 ) q si n5 | =* ，^ ( - y ) =| si n( - y ) | =^ ,奴- 2 ) =0 .6 62 4 4 2 4 4 29.试证下列函数在指定区间内的单调性：( 1 )歹=7 ^ 匚 ， ( - 8 , 1 ) ;l-x( 2 )产x + l n x , ( 0 , + 8 ) .证 明 ( 1 ) 对于任意的X 1 , 应6( - 8 , 1 ) , 有 1 - X 1 〉 O, 1 - X 2 > 0 . 因为当X 1 € ( 0 , + 8 ) , 当X i - 1 ) =Mx ) ,所以〃) 是奇函数.( 5)由/ ( - x ) =s i n ( - x ) - c o s ( - x ) + l =- s i n x - c o s x + 1 可见/ ( x )既非奇函数又非偶函数.( 6)因为/ ( f )= 左 竽3 =二2 =/ ( x ) ,所以, / ) 是偶函数.1 3 .下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数， 指出其周期：( l ) y=c o s ( x - 2 ) ;解是周期函数， 周期为/ =2立( 2 )尸c o s 4x ;解 是周期函数， 周期为/ =会.( 3) y=l + s i n 兀x ;解是周期函数， 周期为1=2 .( 4)尸x c o s % ;解不是周期函数.( 5) y=s i n2x .解是周期函数， 周期为1=兀1 4 .求下列函数的反函数：( 1 )产 炳'；解 由 尸 叼 得 可3_ 1 ,所 以 产 归T的反函数为尸工3- 1 .⑵*;解 由 片 会 得x =悬 , 所 以 产R的反函数为尸( 3) ( o d - b分0 ) ;c x +d 解 由 >=生 空 得X =生 也 ， 所以歹=丝” 的反函数为丁=也包.c x -Vd c y-a c x +d c x -a( 4) y=2 s i n 3x ;解 由产2 s i n 3x得工=上心抽会， 所以产2 s i n 3x的反函数为尸g a r c s i n 5.( 5)尸 l + l n ( x + 2 ) ;解 由产l + l n ( x + 2 )得X= /T -2 ,所以产l + l n ( x + 2 )的反函数为产" 一1 - 2 .“( 6)、 y=- -2-”-.' "2、 +1解 由 片 三 得X = 1 0 g 2 4 ,所 以 尸 三 的 反 函 数 为 片1 0 g 2户 .2V+ 1 l-y 2A+ 1 - \ -x1 5 .设函数_ / ( x )在数集X上有定义， 试证：函数人》 ) 在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界.证明先证必要性. 设函数/ ( X )在X上有界，则存在正数M ,使 ]/ ( x ) | M0 ,即这就证明了左) 在X上有下界- " 和上界M.再证充分性. 设函数/ ( X )在X上有下界K和上界K2,即K £ / ( x ) W K2 .取止m a x {K 收| },贝U -M < K]K2< M ,即 \ f{ x )\ =[0, 1 ],求下列各函数的定义域：⑴ 尬 ) ；解由得恸4 I ,所以函数/ ( / ) 的定义域为[ _ ], 1].(2)义 sinx);解 由OWsinxWl得2〃 胫区(2〃 +1)%(〃 =0, ±1, ±2… ) ， 所以函数/(sinx)的定义域为[2% 行(2〃 +1)司( 77=0, ±1, ±2- - •).(3)Ax+a)(a>0);解0 ( 图1 -3 7 ),当过水断面ABCD的面积为定值So时， 求湿周与水深人之间的函数关系式， 并指明其定义域.图 1 - 3 7 - V _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ▼ ? 一解" 焉，乂从j三 一/3 瓦 8C+(8C+2cot40°〃 )]=So 得 j ④b B C= ? - c o t 4 0 ° / ,所以hz =5o + 2-cos40h s in 4 0自变量〃的取值范围应由不等式组/ ? > 0 ,争 - c o t 4 0 ° %> 0确定， 定义域为0 < % < J S o CO t 4 0 ° .2 0 .收敛音机每台售价为9 0 元， 成本为6 0 元.厂方为鼓励销售商大量采购,决定凡是订购量超过1 0 0 台以上的， 每多订购1 台， 售价就降低1 分， 但最低价为每台75元 .( 1 ) 将每台的实际售价p表示为订购量x的函数；( 2 ) 将厂方所获的利润尸表示成订购量x的函数；( 3 ) 某一商行订购了 1 0 0 0 台， 厂方可获利润多少？解 ⑴当0 白W1 0 0 时， P = 90 .令 O .O l ( x o - l O O ) = 9O - 75,得 xo= 1 6O O .因 止 匕 当 转 1 60 0 时,p = 75.当 1 0 0 < r < 1 60 0 时，p = 90 — ( x — 1 0 0 ) x 0 .0 1 = 91 — 0 . 0 1 % .综合上述结果得到90 0 < x < 1 0 0p=< 91 - 0 .O l x 1 0 0 < x < 1 60 0 .75 x > 1 60 03 0 x 0 < x < 1 0 0( 2 ) P = ( p - 60 ) x = < 3 1 x — 0 .0 1 x 2 1 0 0 c x < 1 60 0 .1 5x x > 1 60 0( 3 ) P = 3 1 x l 0 0 0 - 0 .0 1 x 1 0 0 02= 2 1 0 0 0 ( 元 ) . 习题1 — 21 . 观察一般项与如下的数列｛ /｝ 的变化趋势，写出它们的极限：(l)xh=»解当〃一» 8时，为 7= 3 1 0 , l im j = o .(2)x” = (-l*;解 当〃7 8 时，x = ( _ D " _ L -O, l im ( - iy / = O .n 〃 一 > 8 n⑶= 2 + 3 ；解 当 〃 一 > 8时，xn = 2H■ - - y — > 2 , 〃l一i>m8( 2 d ■n- y乙) = 2 .⑷ * 翳解 当〃7 8 时，xw= - ^z1 = l 一 一 J - > 0 , l im 七 1 二 1 .% + 1 4 + 1 “ T 8 〃 + 1⑸ X * 〃 ( - 1 ) 〃 .解 当 — 8 时,X 〃 = 〃 ( 一 1 ) “ 没有极限.CO S - ^ -2 . 设数列｛ x 〃 ｝ 的一般项x 产- - -. 问l im x 〃= ? 求出N , 使当〃 > N时,x 〃与其〃 w— >oo极限之差的绝对值小于正数/ 当£= 0 .0 0 1 时， 求出数N .解 l im xw= 0 .| c o s - ^ | ] 1 1| xw- 0 | = —V r > 0 ,要使|X〃 一 0 | < £,只要， 也就是〃〉取N吧，则 有 * - 0 | < £.当 £= 0 .0 0 1 时，N = [ J = 1 0 0 0 .3 . 根据数列极限的定义证明：( 1 ) l im = = 0 ;分析 要使小一0 上 = < £,只须〃2 」 ，即〃> 」 .n n £ y/E 证 明 因 为 VQO「N = [ 4 ] , 当〃〉 N时，有四一0 | < £,所 以 l im - V = O .y/E Yl 一⑵ l im ^〃 - > 0 0 2 〃 + 1 2分 析 要 使 I貂只须上< £ ，即〃> - - •2 / 7+ 1 2 2 ( 2 〃+ 1 ) 4 / 7 4 〃 4e证 明 因 为 V £ > O T N = d " ] , 当 " 〉 N时，有1 < £,所 以 1 面 胆 斗 = 2 .48 2 月 + 1 2 〃782 〃+ 1 2( 3 ) l im 亚运= 1 ;〃 一 > 8 〃分 析 要 使 I五 运 如 b应 运j = / "2 < 之< £,只须〃〉 犬.证 明 因 为 VoOTN=[心 ] ,当 \ 7〃> N 时，有.病+ 浮― 所以£ nl im 近三1 .〃 一 > 8 y\( 4 ) l im 0 .999•••9= 1 .分 析 要 使 [ 0 .99… 9 T=^L<£ , 只 须 焉 < £ ，即〃> l + l g L1 0w~ * 1 0 〃T £证明 因为V o O , m N = [ l + l g J , 当V 〃> N 时，W| 0 .99- - - 9- l | < £,所以l im p .999 - 9= l .〃 个4 . l i m / = a , 证明眉a| .并举例说明：如果数列｛ % | ｝ 有极限，但数列〃 一 > o o M — > o o｛ X ” ｝ 未必有极限.证 明 因 为〃l一i>m8〃"= q , 所以V oO TN eN ,当〃〉 N 时，有从而||z/ „|- |<7 ||<|« „- i 7 | |<£；3 A：2,当2人 〉2K 2时， 有的一水£.取 N= m ax ｛ 2K |- l , 2K 2｝ ,只要〃〉N ,就旬x〃 - 水£.因此 X” —( 〃~8) .习题1- 31 .根据函数极限的定义证明：( 1) l i m ( 3 x - l ) = 8;X T3分析因为|( 3 x - l ) - 8|= |3 x - 9|= 3 1x - 3 |,所以要使|( 3 x - 1) - 8|<£,只须|x - 3 K +.证明因为W£> O门3 = g £ ,当0 <|x — 3 ]<6时， 有|(3X-1)-8|<£,所以 l i m ( 3 x - l ) = 8.x 7 3( 2) l i m ( 5x +2) = 12;x - » 2分析因为|( 5x +2) - 12|= |5x - 10 |= 5t x - 2|,所以要使|( 5x +2) - 12|<£,只须|X-2|<& . 证明 因为V £ > O ,m b= $,当0-2 X+2分析因为|弟 一 ( _4)卜 | 可 卢 卜x+2小-(-2)|,所以要使| W-(-4 )|< £ ,只须|》 - ( -2)|<£.证明 因为V£>0「3 = £ ,当0 1］ 中总可以找到点必，使_y ( x * ) >M例如当 Xk=------- (^=0, 1, 2, • •)2 k兀 吟时, 有y(xk)=2 k7T+^ ,当人充分大时,y(xk)>M.当x->0+时，函数yw U in!不是无穷大. 这是因为X XP M>0,对所有的多0 ,总可以找到这样的点使0 (当x7O时, / 是无穷小， 而s i n 1是有界变量 ) .•1 0 x x⑵ li m陋 吗XT8 X 解 lim理 皿 =limLarctanx=O(当x ~ 8 时，!是无穷小,X T8 x X->8X X而 arctan x 是有界变量) .4. 证明本节定理3 中的(2).习题1-51 . 计算下列极限：xt2 X-3解 1 汕 头 = 头 = 一 9.x->2 x-3 2-3丫 2_ [( 2) lim — z— ;解 x 辱 言=黑$=51 •〜 r — 2x+l(3) lim— z——XT X2-l解 Hm五 尧 ±1(1 )2书即用Zr吧 曷 = 殳 °(4)lim4 x 3；2x2+ x;i o 3X2+2X解 lim 4 / =1 而竺— 2 ： +1XTO 3X2+2X XTO 3X+2 2⑸+ -解 lim ( 把 ( 匚=lim 7 4 2 二片二 HmQx+2)=2x.2 0 h 2 0 h OTO(6) lim (2--4-^-);XT® x x解 lim (2--+4-)=2- lim -+ lim 4 7 = 2 .X->8 X XZ X— > O O X X — 8 X， 丫2 1⑺ "三T；解 li m c ： J , = li mX — >8 2 x —— l X — > o o1-x2 _11 2 ,X X.2(8 ) li m 9丁； ;x -3x -I2解li m 4，二+； ,= 0(分子次数低于分母次数,极限为零) .x - > 8 x -3x -I或1 , 17 --7li m 广 +：- = li m x = 0.XToo / _3^2 _ ] A-->oo __2 __ 1声一彳解 li m x； - 6x+8 = t m。 -) …加一乎三.X T4X2一5 x +4 X — 4 (X — l) (x — 4 ) X T4 X — 1 4 — 1 3(10) li m (l+i ) (2 -4 ) ；XT8 X X解 li m (l+-) (2 -^ y ) = li m (l+-) - 11111(2 —^ ) = 1x 2 = 2 .x - > 8 X XZ x—8 x x - » ° ° x2(11) li m (l+J +]+ …+') ;〃T8 2 4 2解 li m (l+]+) H—+、) =li m -----2 .n T8 Z 4 2 〃T8 1 1 -12(12 ) li m 1+2+3+；+(〃T )；〃 一 >8( 〃 一 1 ) 〃Ap r 1+2 +3 +…+(〃-1) 「 ? 1 v z 7 — 1 1rn li m ------- z -- —— -= li m — 4— 二g li m .〃 一 >8 “ Tg 2 w — > 0 ° n 2(13 ) li m (〃 +D(*) (〃 +3)；〃 ->8 5 〃 3解H m (〃 +1)(味) (〃+3)=2(分子与分母的次数相同，极限为〃T0 0 5 〃 5最高次项系数之比 ) . 或 li m〃 一 ＞ 85 "处1) ("+2 ) ("+3) = 」iim(i+l) (i+2)( 1 +3)=j _5 〃 一 ^ n n n 5( ⑷ —;解 ！ 呼士一3 ) _]j m l+x +x 2 -31-x3 X T I (l-x ) (l+x +x2)=- l im(J x ) (x +2 )n (l-x ) (l+x +x2)=_lim^ ± 2 =_1X 5 1 + X +大2 .计算下列极限:解 因 为 则 制 脸 犯 所 以 则 V 李 = 8r2(2 ) li m .；X T 8 2 x +l2解li m 4 = 8 (因为分子次数高于分母次数) .x-»8 2x4-1(3 ) li m (2 x3-x +l) .X T8解li m (2 x 3 -x +l) = 8 (因为分子次数高于分母次数) .X T83 .计算下列极限：(1) li m x2 s i n - ;x->0 X解l i m / s i n L o (当x ->0时,f是无穷小， 而s i n 1是有界变量) .X TO x x⑵ li m迪 些 .XT8 X解li m更逛空= li m Larc tan x = O (当x78时，!是无穷小，X78 x x->8 x x而arc tan x是有界变量) .4 .证明本节定理3中的(2 ) . 习 题 1-71 .当x 7 0 时,2 x - f 与相比， 哪一个是高阶无穷小？2 3 2解 因 为 lim『v = lim P = O ,x->0 2 x —xz x->0 2—X所以当x— >0时,x2- x3是高阶无穷小，即X2-X3=O(2X-X2).2 .当X 71时，无穷小1-X和(1)1-V (2)； (l-N )是否同阶？是否等价?解 (1)因为 lim I-"— =lim ♦ f l+ x + x )= Hm(l+x+x2)=3,X T1 1 - x X T 1 1-x xT所以当X T l时， 1-X和 lf 3 是同阶的无穷小， 但不是等价无穷小.y(l-X2).(2)因为 ---- =glim(l+x)=l,所以当XT1时， 1 T 和 是 同 阶 的 无 穷 小 ， 而且是等价无穷小.3 ,证明：当x->0时， 有：(1) arctan x〜x;(2) s e c x - -.证 明 ⑴ 因 为 国 中 二 业 舄 ^ 1(提示： 令1 * n x , 则当D时 ,y - 。 ) ，所以当x— >0时， arctanx〜X .(2)因为 limSe产-l =21iml； cosxX TO 1 2 x-»0 x2C O SX22sin2^ 2si 吟lim— / • = lim(——2.)2x-»0 xZ x->0 XT 2所以当 x— >0 时secx-l~%~.4 .利 用等价无穷小的性质， 求下列极限:⑴ ㈣tan3x2x⑵㈣号(〃,机为正整数) ;( 3 ) l i mtanx^inx..so sirPx ( 4) ㈣_ _ _ _ _ sin x-tan x_ _ _ _ _(Vl+x2 - l)(Jl+sinx -1)解 ⑴ lim—tan——3x =l[i• m—3x =—32x x— o 2X 2⑵呵端为吧,』0oon— mn>m.n x-a(7) lim (y/x2+x-y/x2- x ) .X T — 解( 1 )因为函数/ ) = 乒 石 +5是初等函数， ｛x )在点D 有定义， 所以lim y/x2-2 x +5 =/(O )=J ()2 - 2 2 + 5 =正 .(2)因为函数/(x )=(s in 2x )3是初等 函 数 在 点x = ?有定义， 所以Iim (s in 2x )3=/()=(s in 2-)3=l.X T 咚 4 44(3)因为函数人x )=ln (2c os 2x )是初等函数,/(x )在点有定义， 所以6lim ln (2c os 2x )=/C )=ln (2c os 20)=O .x rj 6 66⑷ lim五百T = lim ( 即 也 独+ 1) = lim ——-P= = ——I O X .10 x (V x + l+ l) ^ 0%(V x + l+ l)1 _ 1 _ 1= h m -f ----=- --- -=• .x-J x + 1 + 1 J o+ l + 1 2⑸ lim_ [ j m (>5 4 -4 -4 )(J 5 x -4 + 4 )—I x -l x — i (x — l)(V 5 x — 4 + 4x )= H m _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _T i m 广 勺 - 广 " 一 " 2.x f (x — l)(j 5 x -4 + V x )1— 5 x — 4 + y/~ X y/5A— 4 + A/1( 6 ) l i ms in xzs in£= l i mX T。 X - Cl X T2 c os —— s in ----2 2x -a工 s in手 ，= lim c os空3 lim -----=c os -^ ^ -l=c os a.x Ta 2 x — >a X — Q 2⑺ lim ( 际- g )= lim (际 一 但 三 ) ( 产+ k )X— + 8 X T E (V x2+ x + V x2-X)= lim —/ —— , = limi+ ~ (J x 2+ x + J x 2-X)X T+8 4 .求下列极限:(1) lim ex ;X — >8⑵ l i mi ngx ->0 x1三(3) lim (l+与2 ；XT 8 X(4 ) lim (l+ 3t an2x )c ot 2x;x- >0⑸ lim( 鲁 )2 ；x 78 6 + x⑹㈣J l+ t an x -J l+ s in xx v l+ s in2x - x—lim —解 ⑴ l i m e = i x = e 0 = l .X — >0 0(2) lim ln ^ ^ =ln (lim ^ ^ )=ln 1=0.x- >0 x X TO x(3) lim (l+ — )2 = lim [ (l+ — )v I2 = e2 =y/e .x -» 8 x x —8 x(4 )lim (l+ 3 t an2x )c o,2j c= lim (1+ 3t an2x )3t aMxx -» 0 x ->0n . x -1 _ a 6 + x -3 x -1⑸ ( 彩 产= Q+ 舟 ) 而 石 〒. 因为6 + xlim (l+ -^ -)— =e ,x 78 6 + xlim ax 78 6 + xx —1~T32。 丫立1 -1所以 lim (—) 2 =e 2.i s 6 + x(6 ) lim匹逅叵运x v l+ s in2x - x_ ] 而 (J l+ t an x - J l+ s in x )(J l+ s in 2x + l)I x ( J l+ s iM 十-1)(J 1+ t an j i+J l+ s in x )_ ] j m (t an x -s in x XJ l+ s iMx + l)1 x s in 2 x (V l+ t an x + J l+ s in s )t an x -2s in2~= lim ------ z -2.i o x s in2x 1 0= lim25 .设函数/(x )= " X： ?应当如何选择数a ,使得/(x )成为在(ro,+ 8 )内a +x x >0的连续函数？解要使函数人x )在(-吟+ 8 )内连续， 只须大x )在 处 连 续 ，即只须J im /(x )=xlim /(x )=/(O )=a.因为 l i吗/(x )= liR e *=l, HR/(X)= li%(a+ x )=a,所以只须取 a=L习题1-101 .证明方程/-3%=1至少有一个根介于1和2之间.证明设兀0=金-38 -1,则" )是闭区间［ 1,2］上的连续函数.因为/(1)=-3,/(2)=25 ,/(1)/(2)<0,所以由零点定理， 在(1,2)内至少有一点J(1<女2),使©= 0 ,即 是 方 程f -3x =l的介于1和2之间的根.因此方程》5一3 41至少有一个根介于1和2之间.2 .证明方程m as in x + b,其中" >0, b>0,至少有一个正根，并且它不超过“ + 6 .证明设7(x )=as in x + 6 T ,则 )：/(3<0.证明： 至少有一点生3 " ) ,使得/© =0.证明设配为(a, 6 )内任意一点.因为0< lim | /(x )-/(x0)| < lim 小一玉)卜0,x — >x0 x —所以 lim | /(x )-/(Xo)| =O ,I / 即 lim /(x )=/(x0).X— Xo因此人X)在3 b)内连续.同理可证/(x )在点a处左连续， 在点6处右连续， 所以./(X)在口,切上连续.因为於)在［ a, 6 ］上连续，且大社曲)< 0,由零点定理， 至少有一点k 3份， 使得/(金0.4 .若兀 在［ a,切上连续,a 0 ,存在X> 0 ,只要|X|> X ,就有\ f ｛ x )-A\ l i m / ( x ) =o o是人1 )在沏的某一去心邻域内无界的_ _ _ _ _ _ _条件.X7 X0( 4) / )当X T X O时的右极限次x 0 + )及左极限於0一) 都存在且相等是l i m / ( x )存在XT %的 条件.解( 1 )必要， 充分.( 2 )必要， 充分.( 3 )必要， 充分.( 4)充分必要.2 .选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论：设段) =2 '+ 3 '- 2 ,则当X TO时， 有( ) .( N ) / ( x )与x是等价无穷小；( 8) / ( x )与x同阶但非等价无穷小；( 0危) 是比x高阶的无穷小； ( ) 凡劝是比x低阶的无穷小.解 因 为l i m这=l i m空坦E= lim归+ l i m止1XT X A — > 0 X XT X X- »O X=l n 2 1 i m — — + l n 3 1 i m —— =l n 2 + l n 3 (令 2 - l =Z , 3 - l =w ) ./ ^ o l n ( l + / ) " T 0 1 n ( l + ” )所以/ ( x )与x同阶但非等价无穷小，故应选股3 .设企) 的定义域是［ 0 , 1 ］ ,求下列函数的定义域：⑴ 油 ；( 2 ) -I n x ) ；( 3 ) / ( a rc ta n x ) ;( 4) / ( c o s x ) .解, ⑴由O W e 'V l得x W O ,即函数, / ( / ) 的定义域为( 一,0 ］ .( 2 )由O W l n g l得1 4 W e ,即函数4 n x )的定义域为［ 1 , e ］ .( 3 )由 0 < a rc ta n x +高 产= lim(l+XT822x+l2x+\ 1. ) 2 27 2x+l 7 1= ［ 圾 + 高 )2 +高)27 2x+l已 圾 + +22 ，妈0+正# =e.（ 4） lim tan》 二 sinx= 仁 . 下（ 甲 々 ） 二仁. 丹 一 3工 ）1 0 户 X TO x5 XT 炉 COSXsinx-2sin2^ 2x-(^)2 1=lim-----z------- - =lim-----—=—x->0 X5 COSX 1 0 X5 2( 提示： 用等价无穷小换) .丫 7、- 丫 1 、- 7 丫 丫 r 3 ax+bx+cx-3(5) lim(" +" +c， 户= lim(l+- + 6 +° ・ 3) 加 +” +: _3- —,因为x->0 3 1 0 31 加( 1+3等W产鼻= e,X T O 3lim a * ： + "-3 T im( 心1+四+口)x->o 3 x 3 1 0 XXX =-1[lnalim— !~ -3 i ln ( l+ / )1+lnblim i % 、 + 叫 5前 局w-»oln(l+w)=^ (\ na +lnh +\ nc ) = \ nl[a h c ,所以 酬" ' +； +， "'*= 即 加 = 蚣而.提示： 求极限过程中作了变换ax-\ =t, bx-\ ^ u, cv-l= v.(sinx-l)tanx e、r,因为(6) lim (sinx)tanA = lim [l+(sinx-l)]sinv-1lim[14-(sinx-l)]sinx-1 =e ,Tlim (sinx-l)tanx= lim sin'(sin" 1)COSX2=l i msinx(sin^-l)=_ Hm 型 空 竿= o ,工个 cosx(sinx+l) %7号 sinx+1所以 lim (sinx)ta n x=e0 = l .9 设/(x ) = -所以当g o时, 段) 在x =0处连续.lim /(x ) = lim xsin—= 0 ,X T0+ X T0+ x因此选取a =0时, 段) 在( - * ―) 内连续.1 0 .设 f(x) = 使. / ( = 0.这说明方程sinx+x+l=O在开区间( 苫 ， 乡内至少有一个根.13 . 如果存在直线L:尸Ax+b,使得当x->8( 或x->+8, X T- 8 ) 时，曲线产处) 上的动点M(x ,切到直线L的距离4 M 与- » 0 ,则称L为曲线产/(x)的渐近线. 当直线L的斜率后0 时， 称L为斜渐近线.(1)证明： 直线工产点+A为曲线产=/(x)的渐近线的充分必要条件是k= lim / ), b= lim "(x)- Ax].X —> 8XX —> 8(X —, x —»—oo) ( x —»+ o o ,X —> -o o )(2)求曲线y = (2x-l)e； 的斜渐近线.证 明 ( 1 )仅就X T 8 的情况进行证明.按渐近线的定义, 广奴+ b 是曲线月(x)的渐近线的充要条件是lim[/(x)-(Ax+6)]=0.XT8必要性： 设尸Ax+6是曲线方/(x)的渐近线，则 lim[/(x)- 侬 +/?)]=0, 于是有 lim - - ]=0 => lim f ")- k =0 = = lim ,X-»oo X X X -> 8 X X-»oo X同时有 lim[/(x)-Ax-/)] = 0=>6= lim[/(x)-hc].X—> 8 X—>8充分性： 如果左=l i mb - lim[/(x)-Ax],则X—X X—>81 im[/(x)- (kx+/?)] = Y\m[f(x)-kx-b\- lim[ f(x)-kx]-b=b-b = O,X—> 8 x —>oo ' x —»oo •因此产Ax+6是曲线月(x)的渐近线.(2)因为左=lim = lim 空二L.&=2,X T 8 X X— 8 X1itb= lim[j^-2x]= lim [(2x-l)ex -2x]=2 lim x(ex -1)-1 = 2 lim-—~ ~ 一 1 = 1,X—>8 X T 8 X T 8 1 701n(l+f)所以曲线y=(2x-l)段的斜渐近线为尸2x+l.习题2-11 . 设物体绕定轴旋转， 在时间间隔[0,/]内转过的角度为4 从而转角6 是/ 的函数： 分/ / ) . 如果旋转是匀速的， 那么称啰= , 为该物体旋转的角速度，如果旋转是非匀速的， 应怎样确定该物体在时刻砧的角速度？解 在时间间隔缶) , 为+ 4 ] 内的平均角速度场为方： △ e = e( 1 + 4 )- 州o)一加一 A/ '故 ， o时刻的角速度为\0 6 ( /()+4) —伏 力 )、co= hmco=hm— —= lim— ------—— —A/-»0 A/->0 A / A/->0 Z v2 . 当物体的温度高于周围介质的温度时， 物体就不断冷却， 若物体的温度T与时间t的函数关系为T=T(/),应怎样确定该物体在时刻t的冷却速度？解物体在时间间隔口o〃 o+4]内， 温度的改变量为平均冷却速度为后一 H ，故物体在时刻t的冷却速度为 l im丝 =的 或 电 团A r A r= 「 ( / ) ・3 .设某工厂生产x单位产品所花费的成本是./ ( x)元， 此函数/ ( X )称为成本函数,成本函数4 )的导数/ ( X )在经济学中称为边际成本.试说明边际成本/ ( X )的实际意义 .解y( x+ A r) -X x)表示当产量由X改变到x+ A r时成本的改变量./(x +y /(x )表示当产量由x改变到x+ A r时单位产量的成本.f(x )= iim 表示当产量为x时单位产量的成本.4 .设段) = 1 O V试按定义， 求/ ' ( -1 ) .解 八 _1 ) =而 / ㈠ + —) = l im 1 0(一1 +祠2一1 0(一1 ) 2— A x ©TO AX= 1 0 l im - 2A： +Ay 2= ] 0 . (— 2 + A r) = -2 0.AX TO AX A .r-» O5 .证明( c osx) ' = -sin x.向AT；东 (/ c osx)、 ， = il •i m ——c os-(-x-+-A-x-)- -—-c-o-s-xA x— o AX-2 sin ( x+竽)sin 竽A x• A xA sin — — —= hm[ -sin ( x+^ ) ^ - ] = - s i n x .26 .下列各题中均假定(( xo)存在， 按照导数定义观察下列极限， 指出/ 表示什么：⑴ l im / U o-A x) -/ ( xo)AV TO AX=A-解 A= l im / ^ o - A x ) - / ( xo)△V TO AXl im/ ( X o -A r) -/ (曲)一 加70 — AX= — f'(X o).( 2 ) l i m / ® = N ,其中/ ( 0) = 0,且/" ( O )存在;x-» 0 x ⑶㈣…= 4.解N = l im也吗也1型万TO h[ 加[ / 人 + “ ) 一/ ( x。 ) ] —[ / G o—与―/ ( X o) ]〃 -> o h=l im- M+ " ) — 〃 /)] 而 八曲一" ) 一〃' " )力TO h % 70 h人( 必) -八' ( & ) ] = 犷( 祀) .7.求 下 列 函 数 的 导 数 ：⑴ 尸 小( 2 )产 源 ;( 3 ) v = x1 6;( 4)片 《；⑸ 尸 」 ；xz( 6 ) y= x3V x ;c、 x2\x^⑺片片；v x解( l ) y= ( x4) = 4x4-l= 4x3.( 2 ) y = ( V ? y = (%3y ==±x 3.( 3 » ' = “ , 6 ) ' = 1 .6 3 6 1 = 1而 6.. _1 , _L _. . 3( 4) 1 / = ( :) ' = ( x 2)^-X 2 = _g x 2 .7x 22( 5) f=1)'="J6 1 4 16, H(6) y=(x3Vx)z=(x5 /= — x5 =— x5 . ⑺ ♦ = 喀K a 却=* * =：/.y/x5 6 68 .已知物体的运动规律为s= P( m) .求这物体在仁2秒( s)时的速度.解4 ⑸匕*, *2 = 1 2 (米 / 秒 ) .9 .如果左) 为偶函数， 且40)存在， 证明｛0) = 0.证 明 当/ ( X )为偶函数时， H -x) = / ( x) ,所以. 0) = l im/ ( x) N( 0) = l im/ ( f ) / ( ° ) = - l im 久 = 止 辔 = _/ ,(0) ,X TO x— 0 X TO x— 0 -1 0 - X -0从而有 2 y' ( o) = o,即/' ( o) = o.1 0 .求曲线尸sin x在具有下列横坐标的各点处切线的斜率：*= ,左,后加解因为y= c osx,所以斜率分别为2 1ki=C 0S — 7T=--, 0 = c os 乃 = -1 .1 1 .求曲线尸c os X上点( 半； )处的切线方程和法线方程式.解y= -sin x, y\ 乃= _sin [ =一喙，x =~ 3 3 2故在点写《) 处， 切 线 方 程 为 尸 - 令 ，法线方程为1 2 .求曲线产，在点( 0,1 )处的切线方程.^ y = ex, y\ x =o=l9故在( 0, 1 )处的切线方程为y-l = l -( x-O ) ,即尸x+ 1 .1 3 .在抛物线产/ 上取横坐标为为= 1及》2= 3的两点， 作过这两点的割线，问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？解y '= 2x ,割线斜率为5 =-吗 -y=\1 =4.J— 1 2令 2 x =4,得 x =2 ,因此抛物线产x 2上点( 2, 4 )处的切线平行于这条割线.14 .讨论下列函数在x = 0处的连续性与可导性：( l ) j = | s i n x | ; ⑵ 尸x2 sin—x0 x=0解⑴因为y(0)=0, lim y= lim |sinx|= lim(-sinx)=O,XT。 - XT - XT -lim y - lim |sinx|= lim sinx = O,X TO+ X TO+ X—O+所以函数在x=0处连续.又因为兑(0)= lim 凶 匕 答 =lim Isinx— inO|=. 出 些 1,XT - X"-0 X — »0- X - 0 XT - X乂(0)= lim — ¥) = lim 出建幽=lim 血=1,X TO+ X-0 X TO+ X-0 X->0+ X而; /_ (0)今'+ (0 ),所以函数在x=0处不可导.解 因为limy(x)=limx2sinL=0,又y(0)=0,所以函数在x=0处连续.x->0 x-»0 x又因为/ 、 力 x2sin--0 [limJ’x A ? = lim--------—— =limxsin—=0,x->0 X-0 X TO X XT X所以函数在点x=0处可导， 且V(0)=0.15.设函数/( %) =X： 为了使函数段) 在4 1 处连续且可导, 应取什ax+b x>l么值？解因为lim f(x)= limx2 = l, lim /(x)= lim(ax+h)=a+b,J[\}=a+b,X -^r X—l - X - 1+ XT1+所以要使函数在X=1处连续，必须4+6=1 .又因为当。 +6=1时v2_i《( 1)=1岬王一二 2,X -1加 ) = ! 邛喑呼Q ( x— l)+o+b-1 _ ]jm Q ( x— 1)x-1X T 1+ x-1=a， 所以要使函数在X = 1处可导， 必须《 =2,此时6 = 7.16 .已知小) = 卜2 " 猷求/( 0)及£ ( 0) ,又 (( 0)是否存在？I-x x < U解因为//( 0) = l i m l i m 2L£ = O=-1,10- X X T — XfQ+ (C0) = h1 - m J/ ('x )' -/J(、0)) = hr m-X-2---O = 0n,x -> o + x x -» o + x而/( O) M'( O) ,所以广( 0)不存在.17 .已 知 /) = {s ? x 求r( x ) .解 当 x < 0 时, y ( x ) = s i n x , //( x ) = c o s x ;当x > 0时, 大幻二羽/'任) =1;因为人'(0) = l i m /㈤一/⑼=l i m s i n x~ 0 ^ l ,X T - X x -> 0- X/( 0) = l i m /(K ° )= l i m 9= 1 ,所以( ( 0) = 1,从而X T0+ X x 70+ X\ f c o s x x < 0•/ (X)=l 1 x > 0-18 .证明： 双曲线孙=/ 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2 a 2 .2 2解 由 x y=a2 得 y=— , k=y'=-'.x x2设G o ,泗) 为曲线上任一点，则过该点的切线方程为y~ y()=— f (x- xo ) •2令产0 ,并注意了0次=4 /2,解得了=1篝+的=2 % ，为切线在X轴上的距.a2令x = 0,并注意刈州= /， 解得> = £ _ +歹0= 2必 ) ，为切线在y轴上的距.此切线与二坐标轴构成的三角形的面积为 s= -2X() 112yoi=2|与先 |=2。 2.习 题 2-21 . 推导余切函数及余割函数的导数公式：(cot x),=-csc2x ; (esc x)'=-csc xcot X .解(z co4t x)\， =/CO"S -smxsinx-cosxcosxsin2xsiMx+cos21sin2x1 7.9 =-csczx.sin2x(cscx)'=(」一) ’ = 一 坐 毕 ■ 二 一 cscx・ cotx.sinx sin"2 . 求下列函数的导数:⑴ 尸 W + 1 2 ;炉x4 x(2)产51一 2'+3^;( 3) y=2tan x+sec x -1;(4)尸sin x cosx ;(5)y=x2lnx;(6) y=3excos x ;⑺ 忏 叵 ；X(8 )y * + ln 3 ;(9)产/ n x cosx ;Z11+sin/(10)s=T； —— 7；l+cos/解 ( 1) / = ( @ +4-2+12)'=(4工 -5+7广4_ 2婷 +12)'炉 X4 x=— 20厂6 -28X-5 +2『2 = _ 斗 —.X 炉 X2⑵ y=(5x3-2v+3ev)= 15x2-2x\n2+3ex.(3) y=(2tan x +sec x-^^sec^+sec xtan msec x(2sec x+tan x).( 4) y=(sin x-cos x)'=(sin x)zcos x+sin x-(cos x \=cos x-cos x+sin x (-sin x)=cos 2x. (5) y=(x2ln x)'-2x \n x+x2 - - =x(21n x+1).⑹ y'=(3e*cos x)'=3e*・ cos x+3e±(-sin x)=3e*(cos x-sin x).( 7f =i-x-lnx , .x2X2⑻ V=( W+ln3)'X4X3e' •-e、 ' • 2x _ e*(x 2)(9) y=(x2ln x cos x)'=2x ln x cos x+x2- - -cos x+x2 In x-(-sin x)xlx In x cos x+x cos x-x2 In x sin x .(10)/=(-1+cos/l+sin/) ， =cosr(l+cosr)-(l+sin， )(-sin， ) = l+sin/+cos/( "1 + -- c- o -s -/) "2 (14-cos/)23 .求下列函数在给定点处的导数：(l)y=sinx-cosx , 求/| 4 和/| _冗.6 " 4⑵ 片e s m叫C O S6,求 器 | 咛(3)/(x)=《- + a， 求 : (0)和广(2).J— X J解 ( 1 »'=cos x+sin x,71 , 1 6 + 1K=cos—+sin—= -5T-+-=-5 L--收o 6 6 2 2 2x「o s & in + 冬孝="(2)«=sine+ecose-!sine='sine+ecose,de 2 2dp~de斗 呜 +3 *亭港率+》⑶ 八 力 号 +如 八 。 ) = 券 八 2 )= * 4 . 以初速V O 竖直上抛的物体， 其上升高度S与时间， 的关系是s=% /-； g/2求：⑴该物体的速度丫⑺；(2)该物体达到最高点的时刻.解 ( l)V( /) F'(/)=V0-g/.(2)令V ⑺= 0 ,即功- g/=0,得/ = 兔， 这就是物体达到最高点的时刻.g5 . 求曲线尸2sinx+x2上横坐标为x=0的点处的切线方程和法线方程.解 因为_ /=2cosx+2x,yk) = 2 ,又当 D 时， 尸0 ,所以所求的切线方程为y=2x,所求的法线方程为y - - x , 即 x+2尸0.6 . 求下列函数的导数：⑴产(2X+5)4(2) y=cos(4-3x);⑶ 产 e-3i .(4)^ln(l+x2);(5)y=sin x ;(6)y=yla2-x2 ;(7)y=tan(x2);(8) y=arctan(ex);(9)尸(arcsin x)2;(10)尸 Ineos x.解 ( 1) J/=4(2X+5)4T・(2X+5)'=4(2X+5)3・2=8(2X+5)3.(2) y=-sin(4-3x)(4-3x)z=-sin(4-3x)(-3 )=3 sin(4-3x).(3)y=e~3x2 -(-3x2y=e~3x2 \-6x)=-6xe~3x2.l + x2 l + x2 l + x2 ( 5) y = 2 s in x ( s in x ) ' = 2 s in x co s x = s in 2 x .i, i i- i( 6 ) y = [( 6 f2- %2)2] = —( ( 72- x2)2 02 _% 2 y=；5 2一 》2 ) 2- ( - 2 % ) = -XV ^2- X2⑺ y = s ec2( x2) - ( x2) = 2 x s ec2( x2) .( 8 ) y=- - - - - - ( ex)z= - ^ —― .l + ( e， ) 2 1+e2 x( 9 ) y= 2 arcs in x • ( arcs in x )z=^aI^2 ^ - .V l - x2( 1 0 ) /=-- - ( co s x ) ' = -- - ( - s in x ) = - t an x.co s x co s x7 .求下列函数的导数：( 1 ) j^ = arcs in ( l - 2 x ) ;V l - x2x(3 )y=e 2 co s 3 x ;( 4 ) j^ = arcco s —;x( 5)尸1 - l n x .1 + l n x '⑹ 尸 用(7) y=a rc s in Jx ;( 8 ) y=\ n(x +y/a2 + x2) ;( 9 ) y = l n ( s ec x + t an x ) ;( 1 0 ) p= l n ( cs c x - co t x ) . 解(1) y = I 1 - (1 -2x)z2x)21-2J ] - (]-2x)2 -Jx— X21 ,(2) y = [(l-x2) 2] = -1 (l-x2) 2 (l-x2),-1 (l-x2)-2-(-2x)=_ _ _ _ _ X(l-x2)71-x2_ x _三 _ x(3) y=(e 2)'cos3x+e ^(cos3x)z=e 3_x_cos3x+e 2(-sin3x)(3x)']_ A _ x _ £2 cos3x-3e 2 sin3x=-^-e 2(cos3x+6sin3x).(5 )/=—— (1+lnx)— (1— Inx)—x x 二(1+lnx)2zxx / cos2x-2 x-sin2x l = 2xcos2x-sin2x(6)”-------------------------2x(l+lnx)2X2⑺ 六 不 忌 而 ） '飞F去 二 百 ■⑻ _/=----- / ! ・(X + J=2+X2) ，=------ 1 0+ J ( q 2 +/)， ]x+-Ja2+x21 2yja2+x2 " yla2+x2(9) y'=——(secx+tanx)'=secxtanx+sec2x=secx.sec x+tan x sec x+tanx/in、 ， 1 z .、 ，-cscxcotx + csc2 x(10) y =---------------(cscx-cotx) =-------------------------=cscx.cscx-cotx cscx-cotx 8 .求下列函数的导数:(1)歹 =(arcsin5)2；(2)尸 Intan5；(3)片 Jl+lM x；( 4)'=62久 匕 n4 ；(5^y=sinwxcos nx ;(6) y = a r c ta n ;x-ig arcsinx⑺ 尸 - - - - - - ；arccosx⑻ 尸 1 叩n(lnx)];(9) J5一侑;Vl+x+vl-x(10)尸 arcsin .解 ( I)，=2(arcsin5) (arcsin5)= 2(arcsiny)-=2(arcsin-1)- . 1 g .22arcsin^2A/4-X2 (tan 尹= 一( s e c ?去啰2 tan 与 2 22⑵t a n21•sec2^4-=cscx.2 2(3)y -y /M n2x - -, (1+ln2x)’2vl+ln2x=-t -21nx (lnxY =t -21nx —2Vl+ln2x 2Vl+ln2x %Inxl+ln2x⑷ y ' = earct an & ( arct an V 7 ) ' = g© an 4——1 ^ . (五 ) 'l + ( Jx ) 2i- i i ^arctanVx_ ^arctanvx_ _ _ _ i_ _ _ _ _ _ ic_ _ _ _ _ _1+(A/X)2 2y/x 2y/x(l+x)(5) yf-n sin'ix (sinx)' cos 〃 x+sin"x (- sin=n sinw-xcosx cos 〃 x+sin"x〈 一sinnx)由-n sin/7-1x-(cos x cos nx-sin x-sin nx)= n sin,7-1xcos(«4-l)x .( 6) y=J _ _ _ _ m y=1 _ _ _ _£ 1 ) 3 + 4 = __! _.1 + (^±1)2 X-l 1 + (2£±1)2 (x-l)2 l+x2x~1 x~\(7 )/=1 1, arccosxd--, arcsinxJ i - / " - X?_________(arccosx)2arccosx+arcsinx(arccosx)2712A/1~X2 (arccosx)2In(lnx) In(lnx) Inx_ —1 •---1- -• ■ —1 _. 1 .In(lnx) Inx x xlnx ln(lnx) ( 9 ) y =-- r - H r - ) ( V 1 + X + Jl - X) - ( Jl + x - - J - - - - J )( Jl + X + Ji - % ) ?1A/1-X2+1-X2( 1 0 )广 J •( ¥ ) = Ji_l z ^ i+ x O E EV l + x V 1 + x— ( l + x ) — ( 1 — x )( 1 + X) 21( l + x ) j2 x ( l - x )9. 设函数/ ( x )和g( x )可导,且/ ( X) + g2 ( x ) M,试求函数y=y/f2(x ) + g2(x )的导数.解 y = 1 12"2(x)+g2(x). [/2( X) + g2( X) r= ./ 户 」 ， I2 / ( x ) / ' ( x ) + 2 g( x ) g' ( x ) ]2 〃 z ( x ) + g， ( x )= / ( x ) /、' (x ) + g( x ) g' ( x )j/ 2 ( x ) + g2 ( x )1 0 .设小) 可导， 求下列函数歹的导数学：a xd )y^x2) ；⑵ y = y / ( s in2x ) - F/ ( co s2x ) .解⑴ y才苗> 苗丫= /* > 2 ] = 2 %厂苗) .( 2 ) y = /， ,( s in2x ) - ( s in2x ),4 /,( co s2x ) - ( co s2x )z= /v( s in2x ) - 2 s in x co s x 4 / ,z( co s2x ) - 2 co s x - ( - s in x )= s in 2 x | / \s in2x ) - /,( co s2x ) ].1 1 .求下列函数的导数：⑴产c h( s hx ) ;( 2 ) y=s h x -ec h x;⑶尸 t h( l n x ) ; (4) y=sh3x +ch2x ;⑸ 尸 th(l-f)；(6)y=arch(x2+l);(7) j^=arch(elv);(8) j=arctan(th x);(9)歹 Tnchx+三工- ;2chzx(10)y=ch2(曷 )解( 1) y=sh(sh x)-(sh x)z=sh(sh x) ch x .(2) y=ch x*ech *+sh x-echx-sh x=ech v(ch x+sh2x).(3) y= ——5^----- (lnx)， =------ -------・"ch2(lnx) xch2(lnx)(4) y=3sh2x ch x+2ch x sh x =sh x-ch x-(3sh x+2).(5) yz=-—— z--(l-x2)=—.ch2(l-x2) ch2(l-x2)(6) y - .—— L^= -(x2 + l)'= -j= 2 x .-^/l+(x2 + l) J / + 2/+ 2⑺■/ = / 2 ； ©) '= " ^ L -V( e2x)2-1 Ve4x-1(8) y =---- ----Z-(th X ) ' =----Uz----- 5— =----^5------l+(thx)2 l+th2x ch2x ! sh2x ch2xch2xch2x+sh2x l+2sh2x(9)八/ 《hx)L熹3 2》 ) ，_ _ sh x shx _ sh x ch'x-shxch x ch3x ch3x= sh X.(ch2x-1)=显= th3xch3x ch3x(10)j/=2chgU) [ch( W1)]' = 2chgm) sh( W |> g m ) 'x+1 x+1 x+1 x+1 x+1 =sh (2 .q ) •( 吐1)飞 二 D = 一^ s h (2 . 王 4 ) .x+l ( X+1)2 (x+l)2 x+l12.求下列函数的导数：( 1) 『 - 它- 2》 + 3);(2)^=sin2x-sin(x2);(3)歹 =(arctan5)2 ；(4)尸 里 ;xn(6) y=lncos—;x-sin2 —⑺ 尸 e x；(9) y=xarcsia,+j4一 ， ；(10)y=arcsiny^y.解 ( 1)了二一二苗— 2]+3)+二( 2]-2)=e_ J(-x2+4x-5).(2) y=2sin x-cos x-sin(x2)+sin2x-cos(x2)-2x=sin2r - sin(x2)+2x- sin2x- cos(x2).(3) y=2arctan1•—^ - 4 = - ^ - ra rc ta n^ .2 1+上 2 力+ 4 24L x"— lnx〃 x"T( 4) y ^ ~ ~ ~五—=他.廿 〃 xn+l⑸ 尸 - - - - - - - - - - 必 西 - - - - - - - - - - R7 -(6) yz=sec—• (cos — )，=sec— • (-sin — )■ (一-.x x x x xz xz x (7)y =e S， n x-(-sin2— )z=e sm ^-(-2sin— ) cos— ♦(--V V V Y ，25/x+l4ylx-y[x+y/x(9) _ /=arcsin— +x —1 一 ,! H— )=X^=-(-2x)=arcsin —.2 r ^ [ 2 2 6 7 22 « + / 2 ) - 2 / Q )(l+ /2 )2 -1+/2 2(l-r2)_ 2(1-/2)血- /2)2・(1 + /2 )2 -[1 _ ”(] + »)习 题 2-31 . 求函数的二阶导数:(1) p=2x2+ln x;⑵ I?(3)尸xcosx;(4) y=e~' sin t;(5)y=Jq2 T 2 ；⑹月项一，)(7)尸 tan x;⑻ 产WJ；亡+ 12(9)y=(l+x )arctan x ; ( 1 0 )尸 J ;(l\ )y=x ex2;( 1 2 ) j= l n ( x + Jl + 0 2 ) .解( l ) j/ = 4 x + 1 , y ' = 4一 一y .x xL⑵ j/ = e2 i - 2 = 2 / 1 , y 〃= 2 e"i . 2 = 4 e2 v - 1.( 3 ) y = x co s x ; y = co s x - x s in x ,y〃二-s in x - s in x - x co s ^ = - 2 s in x -x c os x .( 4 ) y=-e ~rs in Z4 - e- zco s / = e- z( co s Z- s in r)y 〃= - eT( co s / - s in / ) 4 - e- z( - s in Z- co s / ) = - 2 e-zco s t.12 y/a2- x2■ (a2~ x2)，- -Xyla2—X27S 3a. ~ x7 2 — xY —i - X -/y = ________2 _2a£- x£a1( «2- x2) V «2- x2⑹ 仆 占 小 斗 -等 ，，，2(1-X2)-2X-(-2X) 2(1+X2)y ---------(-1---x-2-)-2------ ---(-1---x-2-)-2 ,( 7 ) y = s ec2 x ,yz= 2 s ec x - ( s ec x ) ' = 2 s ec x s ec x t an x = 2 s ec2x - t an x .（ 8 ） y=(A3+ 1 ) 2 - (x3+1) 2 ，⑸ / =- ( %3+ iy _ _ _ 3 /6 x • ( x3+ l )2- 3 x2- 2 ( x3 + l ) - 3 x _ 6 x ( 2 / _ 1 )» = ( 7 + 1 ) 4 ( x3+ l )3( 9 ) y = 2 x arct an x + ( 1 + ，) . - 2 % arct an x + 1 ,yf=2 arct an x 4 - . ( 1 0 ) 1丁1卫件* X」„_[ex( x - l ) + eA]- x2- ex( x - l ) - 2 x _ex( x2- 2 x + 2 )y ― X4 — XJ3( 1 1 ) j/ = eF + x , e* ~ ( 2 % ) = "2 ( 1 + 2 % 2 ) ,yf-ex~ -2x-(l+2x2)+ex^ Ax=2xex2 (3+2x2).（ 3 ' = "丁'+内） '=悬 不«+" )=七,2A/ 1 +X, 2〃 1 / K~,~2 v 1 2x xy =------z - ( v l + xz- ) = - - - - v - i ——=--------- c /1 + X2 1 + X2 2 7 1 + X2) ( l + x )2V i+ x2 .设兀0 = ( x + 1 0 H _f"( 2 ) = ?解 ,(X) = 6 (X+ 1 0 ) 5, / 〃(X) = 3 0 (X+ 1 0 ) 4 , / 〃' (X) = 1 2 0 (X+ 1 0 ) 3 ,广 〃 ( 2 ) = 1 2 0 ( 2 + 1 0 ) 3 = 2 0 7 3 6 0 .3 .若广' ( x )存在， 求下列函数夕的二阶导数赞：ax1⑴ 月 ( 2 ;( 2 )尸l n [/ ( x ) ].解( 1 ) y = //( ^2) - ( ^2) - 2 v V ) ,旷= 旷( / ) +2 ”2切〃* ) = 铲 * ) + 4 x 2 /⑵ g为"X) ，i. 〃 = / "( x ) ■ /• ( 》 ) - 八 w ' ( x )=/ w m/ w"( 切2 [/ ( x ) ]24 .试从事= 」导出：dy yd3 x = 3 « ) 2 - y y ”4 3 ( y )5 （ y）3 1d~dyddxdxdy= 1" ） 3 -宁3 （ / ） 2 4 1 =3 （ /） 2 - / / 〃（ y） 6 y （ y） 5 15 .已知物体的运动规律为s = 〃s in "（小 娓 常 数 ） ， 求物体运动的加速度， 并验吟+ ，s = 0 .dt2解咚=A cocas cot ,dt月 2 c l c—— — — A (jfi s in(o t.dt1^ - +(o1s--A co1 s in cot+co2A s in ouO .dt16 .验证函数尸G e疝+ Ge- ，4 G , C2是常数)满足关系式:解 y^CxAe^-CiAe^,y 〃 = G"e疝 +。 2和 勺V— 42尸( G 汇" 与- 矛⑹ e^+C2e-^)疝) - ( G» e* C2 7 e-九) = 0 .7 .验证函数尸/ s in x满足关系式：y^-2y +2y=0.解 y = evs in x + e' co s x = ex( s in x + co s x ) ,y〃 二 ， (s in x + co s x ) + e"( co s x - s in x ) = 2 e"co s x .j/ ' - 2 y ' + 2 y = 2 e' co s x - 2 eA( s in x + co s x ) + 2 / s in x= 2 / co s x - 2 / s in x - 2 eAco s x + 2 e"s in x=0 .8 .求下列函数的〃阶导数的一般表达式: (1) y=xn+a\xn ^ + 生/ 2 + ・ ・ ・ +a〃 _ ]X+a〃 ( a], a?, •一, U 都是常数) ;(2)尸sir?了 ;(3)^=xlnx;(4) y=xe^.解 ( D y fx 'i+ s -D a i.L g -Z " ? /— ' — —。 ” 一 ] ,yz=n(n-l )XW-24-(A7-1 )( H-2)aixw_ 34-( H-2)(w-3)t72Xw_ 4+ . • . + 加2,, , ,,y(n)=n(n-l)(n-2)- - -21x°=n!.(2) y=2sin x cos x=sin2x ,y〃 =2 cos 2x=2sin(2x+y),y^=22 cos(2x+y)=22 sin(2x+2~),y( 〃 ) =2"T sin[2x+(w-l)~].(3) y=lnx+l,广 = ( — 1)『，y4)=( - i ) ( -2) x-3,* 9/)=( _ l) ( _ 2)(— 3)… (f+2)x--i =(-.XX(4) y=ex-^-xex,y/f=ex+ex+xex=2ex+xex,y/^=2ex-^-ex+xex=3ex+xex,/〃 )=〃/ -\-xe=e'r(w-hx).9 .求 下列函数所指定的阶的导数：(1) y=excos x ,求产)； (2) y=xsh x ,求 y0°°);(3) y=x2sin 2x,求 严 ) ) .解⑴令v=cos x ,有/ =〃" =/ 〃=—， ;vz=-sin x , v,z=-cos x , v,,z=sin x, v(4)=cos x ,所以 》 " )=〃 " )• v+4w,z,-1/+6〃 " w〃 +4/. / 〃 +〃 , 伊)=eY[cos x+4(- sin x)+6(-cos x)+4sin x+cos x]=-4e"cos x .(2)令 ”=x, v=sh x ,贝lj有i/=l, t/'=0;vz=ch x, v,,=sh x, • • •, v("-ch x , v(100-sh x,所以y i0 0 )= w(100) w + c；oo〃 (9 9 W + G源(98). J + … // . y(98) + C温 J・y(99)+〃. W 00)= 100chx+xshx.(3)令 w=x2 , v=sin 2x,则有t/=2x, z/'=2, M〃 =0;v(4 8 )- 24 8 sin(2x+48-)=248 sin 2x,, 4 9 )=24 9 cos 2x, v(50)=-250sin 2x ,所以 " 5。 ) =〃 (5 ) . y + q %〃 (49). J + C轴( 4 8 ) ./+ … C物〃, 网十 物'“您)+〃. 建 )= 物〃》 (48)+ 物 7 4 9)+〃 》 (50)=5 .乡• 2 - 228 sin 2% 4- 5 0 - 2x - 249 cos 2x+x2 - (-250 sin 2x)=250(-x2 sin 2x+50xcos2x+ ' sin2x).习 题2-31 .求函数的二阶导数：(l)y=2x2+ln x;⑵ (3 )y=x c os x ;(4 ) y=e ~r s i n t ;(5)y=yla2- x2 ;(6 )y=l n (l - x2)(7 )尸 t an x;⑻ 尸 出(9 ) y=(l +x2)ar ct an x ;(10 )尸 己 ；X(ll)y=x ex 2;(12)y = l n (x+ V l +x2).解(l )y=4 x+—, y〃=4 ― y .x xz⑵ 了=虑！2 = 2 / 1 , y〃 =2/ T . 2=4 e 2Al .(3 ) y=x c os x ; y=cos x- xs i n x ,yz=- s i n x- s i n x- xcos x=- 2s i n x- xcos x .(4 ) y =- e- zs i n Z +e- zcos / =e- r(cos / - s i n / )y〃=- e T(cos / - s i n r )4 - e -z(- s i n / - cos / )=- 2e -zcos t.⑸户通亡(6 )y/a2- x2 -x -一x八2》2_______a2(a2- x2)y/a2- x2. （ 1 2 ） '=一1 5〃y = -, , = 2(l - x2)- 2x- (- 2x)= 2(1+ x2)y = (i 7 ？)2(7 ) y=s e c2 x,yz=2s e c x- (s e c x)z=2s e c x- s e c x t an x=2s e c2x t an x . （ 8 ） y =— (一+1)'_ _3 /(x3+l )2 - (x3+l )2 '6 x• (x3 +1)2—3x2- 2(x3+l )- 3 x_ 6X(2X3- 1)J' = (x3+l )4= (/+ 1)3 .(9 ) y = 2x ar ct an x+(1+x2) •〔 ： , = 2x ar ct an x+1,. “ = 2 ar ct an x+1" ,.(10 )y'=eYx- eAl _eY(x- l )„_[ex(x-Y)+ex]-x2-ex(x-\y2x _ex(x2-2x+2)y 二 一X4X3(l l )y=ev2 +x, e ， (2%)=6尸 (1 + 2 / ) ,yf-ex~ - 2x - (14 - 2x2)+ev" - 4 x=2xex2 (3 +2x 2).（ 12）七忌丁（ '+疝 丙 '=m 7 « +忐） = 号7 ,y〃=- - --- ♦ (y/l+x2 •/=---- --------, 2. 一 - - - - --1+X2( 1+X2 2y/l+x2) (l+x)2y/i+x2 .设/ (x)=(x+10 )6 , / '(2)=?解r (X)=6 (X+10 )5 , / 〃(X)=3 0 (X+10 )4 , r " (x)=120 (x+10 )3 ,/ 〃'(2)= 120 (2+10 )3 =20 7 3 6 0 .3 .若/ 〃 (x)存在， 求下列函数y的二阶导数号：ax(l )P=/ (x2)；(2)p =l n [ / (x)] .解(1 » '=/ '苗)&丫=2旷(7 ),旷=2八7 ) + 2 x 4 / 8 )=" " 2)+4 ). 2/⑵ y = ± / ' ( x ) ， 〃 J ” (x)八x) — / '(x)/ '(x) _/” (X )/ (X )- [ / '(X )] 2y[ . / '(X )]2" (x)] 24 .试从半=」导出:dy y(iy⑵ 啊 一 3 （ /） 2一办”（， 斤一（ 斤1 = 3 (/ )2— /(才 y' 0 7 )55 .已知物体的运动规律为s =Z s i n " （ /、o是常数） ， 求物体运动的加速度， 并验证：呢+ “ $ = 0 .dt2解 华=/ 0 cos t y/ ,dtd"： =- A 6 9 ? s i n cot.婷臂就是物体运动的加速度.dt2--^-+co^s=- A 6 y 2 s i n of +dy2/ s i n 6 9 / — 0 .dt26 .验证函数尸c / ' + G e - & （ 4 G , Q是常数） 满足关系式：yz— / l2y=0 .解V= G也疝- 。 2右 ”yf,=Cl^ eAx+C2^e~Ax. y〃 一 方尸(G ^ + C2^e-^)-^(C i e^+C2e-^)=(C1^2eAx+C2^e~^)-(CI^e^+C2^e~^)=O.7 .验证函数尸e'sinx满足关系式：yf/-2y +2y=0.解 y=exsin x+e'cos x=/(sin x+cos x),y'= e\sm x+cos x)+e"(cos x-sin x)=2e"cos x .yf-2y+2y=2excos x-2eA(sin x+cos x)+2evsin x=2e'vcos x-2eAsin x-2eAcos x+2/sin x=0 .8 .求下列函数的〃阶导数的一般表达式：(1)0y=/ +1 % 〃？ + , • • +的_1]+%(々 ] ,02, , … ， 〃都是常数);(2) j^=sin2x ;(3) y=xin x ;(4) y=xex.解(l)y'=〃 x""+(〃 -1) 似—2+(〃 -2 )42% “-3+ ♦ • • + 4〃T,' 〃 ="(〃 _ 1)/-2+(〃 -1)(〃 -2 )4似-3+(〃 -2)(〃 -3 )42% “-4+ … +Q〃 -2,* ?“ " )=〃 (〃 一1)( 力 一2> • 21x°=〃 ! .(2)y=2sin x cos x=sin2x ,y，=2cos2x=2sin(2x+y),yu=22 cos(2x+y)=22 sin(2x+2-y),"4)= 23 cos(2x+2 4 )=23 sin(2x+3~),* >y(n)=2n-\ sin[2x +(A?-l) y ] .(3) y = ln x + l,〃 1 _ iy = -= x *,Xy4)=(- i )(-2 > -3, 产 =(-1 ) ( - 2 ) ( - +2)-用 =(-.X1 1 xn 1(4) j / = C,y^=ex+ex^-xex=2ex+xex,yz,=2eW W =3eYW,y^=nex+xex=ex(n+x).9 .求下列函数所指定的阶的导数：(1)尸/cos X ,求 V(2) y=xsh x ,求严)°);(3) y=x2sin 2 x,求 y(50).解(1 )令〃=e\ v=cosx,有/ // ， ， ， (4 ) x.u -u -ii -iv =e ;y'=-sin x , M'=-cos x , v,z,=sin x, v(4-cos x ,所以 / 也 心 布 / 什4/夕+由八广+小伊)=eA[cos x+4(-sin x)+6(-cos x)+4sin x+cos x]=-4evcos x .(2) 令 u=x, v=shx,则有〃 '=1, 〃 〃 =0;v=ch x, v,,=sh x, ♦ • • , v("-ch x , v(100-sh x,所以y0 0 ° )=W ° ° )2 + « 0 0 〃(9 9 ) .J+GK〃 (98) , 〃 + . . . C温/»( 98) + C湍 /, (9 9 )+〃 • W 0 °)= 100ch x+xshx.(3) 令 , v=sin 2 x ,则有〃 '=2x, z/'=2, M〃 =0;V( 48)=24S sin(2x+48~)=248 sin 2x,俨9)=249cos 2x, v(50)=-250sin 2x ,= 。 物〃①(4 8 )+C物 为(4 9 )+〃. y(5 ) = 50 49 2- 228 sin2x+50- 2x- 249 cos2x4-x2 - (-250 sin 2x)=250(-x2sin 2x+50xcos2x+1225sin2x).习题2-41 .求由下列方程所确定的隐函数y 的导数学:ax(l)/-2xy+9=0;(2) x3+y3— 3«xy=0;(3)中L;(4)p=l-xev.解 (1)方程两边求导数得2y y-2y-2x y =0 ,于是(y-x)yf=y,(2)方程两边求导数得3x2+3yiy,-2ay-3axy,-0,于是 (y2-ar) y=ay-x2,/ = 折 .2y2-ax(3)方程两边求导数得y+xy,^ex+'\\+y,),于是( x-*W=eX+P-y,, ex+y-y尸 7^.(4)方程两边求导数得y'=-ey— x^y,于是 (1+疵 » = - 6， '，，y =一1+X"2 .求 曲 线 / +卷 = J 在 点 呼 4, * 4 )处的切线方程和法线方程.解方程两边求导数得 9 7 - -尹 3+ $ 3 / =0 ,于是 /= -= ,户在 点 (?《?0处y=- i .所求切线方程为y——, 即x+尸 冬所求法线方程为尸 小T), B P x-y=O.3 .求由下列方程所确定的隐函数y的二阶导数续:ax1(l )x2- / =l ;(2)川 ?苏 声 / “；(3 )尸 t an (xt y);(4 )尸 1+xd'.解(1)方程两边求导数得2x-2yyf= 0 ,/ x< = ( 斗 匕 ?X[片 工 产 、2 ]y2 23 — 3 •y y(2)方程两边求导数得2/ ?2x+2(72xyz=0 ,/ h2 xy=" r—，a1 y〃 b2 y-xy b2y =--2—~ ~ ~a1y2_ b2 a2y2+h2x2 _ b，Q2 Q2y3 Q2y3 (3 )方程两边求导数得y=s e c2(x+y)- (l +y,) ,/ _ s e c2(x+j； ) _ _ _ _ _ _ _]7 l - s e c2(x+^) cos 2(x+y) - 1s i n 2(x+y)+cos 2(x+y)- s i n2(x+j^)=-i--Ly2- - 2 z _ 2 z , 1 2(1+/ )y y y y(4 )方程两边求导数得y =ey-\-xeyy\/y='l-xey 2 - y ，〃 _ e ， y'(2 - y) - e ， '(y j _ 6 (3 1/ _ /43 y)y(2- y)2(2- y)2 — (2- y)3 ,4 .用对数求导法求下列函数的导数:⑴ 片 喻 此⑶ 片y[x+2(3-X)4 ,(X +l )5⑵尸号( 4 ) y=yjxsinxy/l-ex .解 (1)两边取对数得In p =xl n | x| ^xl n | l - h x| ,两边求导得—j;， =l n x4-x,— — l n (l +x)— X , — — — ,y x 1+x于是外 信 尸Un自+士 .(2)两边取对数得l n y=| l n | x- 5 | - ^l n (x2+2), 两边求导得于是1 / 1 1 1 2x歹 ) 5 x— 5 25 x2+2 )/_ 1 I x-5 r 1 1 2x(3)两边取对数得lny=gln(x+2)+41n(3-x)-51n(x+l),两边求导得J _，= 1 _ _ 4_ _ _ _ 5_2(x+2) 3— x x+1 '干 旱 Jx+2(3 -X)：于7 5 y 一 (x+厅〔 .4备(4)两边取对数得lny=；lnx+；lnsinx+； ln(l-eX),两边求导得于是1 / …—y =---F— cotx-y ' 2x 2y - 7xsinx7T-ex [-4(1-ex) ':i+2c o t x -^b)]5 .求下列参数方程所确定的函数的导数学:ax八 、\x=at2⑴ "⑵ 卜 =e(l-sine)( ) [ 尸ecose '解 (1浮 = 4 = 警 = 豹 .ax xt 2at 2a⑵ dy = , = cos6-esinedx xe l-sine-Ccose6 . 已知卜= £sW ,求 当 时 学 的 值y=el cosZ. 3 dx解 dy = Y = d cos/-d sint = cos/- sintdx xt e'sinZ+dcos，sin/+cos/5 当 /=?时,1_ V3 L条一山32dx 1 V 3 1+A/ 3- - - - -2 27 .写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程:( 1)⑵x = s i n / 在上三处., = co s 2/ ' 1 4 '3 a t廿，在 片2处.5a r片底解 ⑴ 率=4 =分业dx xt co s /当 / = 《 时，%二2sm(2工 = 与4 dx 匹 & 2V v7 O - - -4 2所求切线方程为y = — 2- y 2( % - ^ - ) ,即 2 0 x + y _ 2 = O ;所求法线方程为y = ---冬 ) ,即 A/ 2X- 4J； - 1= 0./ 八 / _6。 «1+ 12) - 3 /2. 2/ _ _ 6a t) y t = ( 1+ /2)2 = ( 1+ 1) 2 '3々 (1+ / 2) — 3 " 2, _ 3( 7 — 34/ 2% ( 1 + /2)2 ——( 1 + 一 ) 2 ，改 = — 二 6a t = 2fdx X f 3 a— 3 ，2 1— / 2* 二°，当 LD 时 dy_ 2 *2 _ 4 _6 _12T U 2 叮，/一任一 W，与一可为一7叫所求切线方程为y-^ -a --^ { x -^ d),即 4x + 3y - 12g 0;所求法线方程为,即 3x - 4y + 6o = 0.8 .求下列参数方程所确定的函数的二阶导数d2y .后 ( 1)⑵⑶( 4)解 (⑵⑶( 4)9. >( 1) <( 2) ]_产X~ 2 ；x-acost.y=bsmt 'x=3e~r;二靠3⑺ ， 设广⑺存在且不为零•如 “=zl,啊 _ ( > y = idx xt t dx1 xt t t3=^y7t =-b- -co：st = ——bC OtZ.. ,xt - as m / ab 2/、( / )1尸_ bxt - as i n / «2s i n3/=Y= 2d = 2 2/x, 小 ， 3 '合一( K) 1一 产' _ 4dx1xt 一% T 9e3z小7_ (乂) ;_ 1数 粤dx，= l n ( l + / 2)办= 。 一 八 ) ' =1- 3〃dx ( l - /2)z -2t , 1 _1_ _ _ _砂= (/-arctan/) = [+1 = 1/1 ) dx ~ [ln(l+产 ) 了 _ 2 i ~ 21+/2zl+/2y冷 ,(4/dx3 2 t 8PRT110 . 落在平静水面上的石头， 产生同心波纹，若最外一圈波半径的增大率总是6m /s ,问在2 秒末扰动水面面积的增大率为多少？解 设波的半径为卜， 对应圆面积为S ,则S=»2,两边同时对， 求导得S， =2»/.当 t=2 时"=6 2=12, / 尸6,故 S/|u2=2・ 12-6后 144〃( 米 2/秒 ) .11 . 注水入深8m上顶直径8m的正圆锥形容器中， 其速率为4m2/m in.当水深为5m时， 其表面上升的速度为多少？解 水深为h时， 水面半径为r ^h, 水面面积为S=； 〃 24 ，水的体积为 V --^ h S -\ h ~ h2K-^ -h3,3 3 4 12空= 2 . 3 R曲 ,曲 」丝dt 12 dt dt 7th1 dt已知〃=5(m ),色- = 4 (m^/min),因 此 半二~ , 4=-^-(m/min).a t dt 兀h - dt 25万 2 5兀12.溶液自深18cm直径12cm的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形筒中，开始时漏斗中盛满了溶液，已知当溶液在漏斗中深为12cm时， 其表面下降的速率为Icm/min.问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？解 设在/ 时刻漏斗在的水深为X 圆柱形筒中水深为" 于是有 g . 62 乃 18-.由《 = 若 ， 得， = 号 , 代入上式得6 18 3"27 r. i 8 — g 呜) 2尸52力 ，两边对/ 求导得一爰/ 耳= 52〃' .当尸12时, _/ 尸-1代入上式得- - 122- ( - 1)h；=-- - - - z - - - - -= 粤 =0. 64 ( cm / m i n ) . .2- 71.已知产r L r ,计算在x = 2处当A r分别等于1, 0. 1, 0. 01时的A y及取解 A y | x = 2> A r = l = [( 2+ 1)3- ( 2+ 1) ]- ( 23- 2) = 18 ,4 ^ x = 2, A v= l =( 3d -1) A 4= 2, A r = l = l l ；A vk= 2, A r = 0. 1二 [(2+ 0. 1 n 一 ( 2+ 0. 1) ] - Q3 - 2) = 1. 161,^y\x=2y A r = o . i = ( 3x ~ - l ) A x l v= 2, AT= O. 1= L 1；^y\x=2, A r = 0. 01= [( 2+ 0. 01 )3- ( 2+ 0. 01 ) ]- ( 23- 2) = 0. 110601,^y\x=2y AV=0・ 01=(3X — 1 )A ¥|X=2, A v= 0. 01= 0. 11 . 2 .设函数月( X)的图形如图所示， 试在图(4 )、S )、(。 )、(力中分别标出在点劭的四、八y及A y -d y并说明其正负.解(< 7 )A y >0 , dy>09 Ay-dy>0.(6)A y >0 , dy>0, Ay-dy<0.(c )A y < 0 , dy<0, Ay-dy<0.(< 7 )A y < 0 , dy<0, ^ y-dy>0.3 .求下列函数的微分：x(2 )尸x s in 2 x ;⑶ 尸 官 ;(4 )y = l n2(l -x );(5) y=x2el x;⑹产” “COS(3T);(7 )^ = a r c s in v l -x2 ;(8)j ^ t a n2(l +2 x2) ;1 —( 2⑼ y = a r c t a n ~ i—— -;1 +x2(1 0 ) s =As m (dJt+(p)(A, c o , c p 是常数).解(1 )因为y '= --y+ - ^,所以4= (--y +-4 = )c &.(2 )因为 y = s in 2 x +2 x c o s 2 x ,所以 dy=(s in2 x +2 x c os 2 x )dx . Vx1 2 *+1----T==1 -2x(l+x2)-2x(l-x2) , 4x i=---------z---------------- , 「-------ax--------Tax.1 八 一 二 (1+x2)2 1+x4(10) dy=d[A sin( co r+ cos( co ca-v(p)=A co cos( ca+(p)dx .4 .将适当的函数填入下列括号内， 使等式成立:)=2dx;)=3xdx ;)=costdt;)=sin atcdx;)=-^j•小；x+1)=e~2xdx ;)=dx ;2)=sec 3xdx .⑶因为4尸不册T所以加云西(4)改= ydx=[ln2(l-x]\dx=[21n(l-x)« X]dx=—ln(l-x)dx.(1-x) x-1⑸2A )(ir=2x( 1 +x)e2A.(6) 6/y=y,6/¥=[e_ Acos(3-x)]6/r=[-e-Acos(3-x)+e-xsin(3-x)]6&=e-Y[sin(3-x)-cos(3-x)]6&.(7) dy=ydx=(arcsin = •(——r- —)dx=-------: dx.7 i-(i-%2) ㈤ 拜 手(8) ^=t/tan2(l +2x2)=2tan(l +2x2)^an(l +2x2)=2tan(l +2x2)-sec2(l +2f)或 1 +2x2)=2tan( l+2x2)-sec2(l+2x2)4x6/r=8x tan( l+2x2)-sec2( l+2x2)c/r.(9)力= darctan1^二 —J 《 胃l + x ! zl-XZx2 l + x⑴式(2)式⑶ 4((4)4(5)6/((6)4⑺式⑻成 解(l )d (2 x +C)= 2公.(2 ) d( -|X24-C)=3X6& .⑶ d( s in t+C )=c os tdt.(4 ) d( ---c o s 62 r +C )= s in c a c dx .c o⑸ d ( l n (l +x )+C)= 」一去.X 4 -1(6) d( e ~2 x+ C )-e -2 xdx .(7 )d (2 V7 +C)= +小.(8) d (；t a n 3 x +C )-s e c23 x dx .5 .如图所示的电缆/ 力的长为s ,跨度为2 / ,电缆的最低点。 与杆顶连线Z 8的距离为/ 则电缆长可按下面公式计算:S=2/(1+M当/ 变化了 A /■ 时 ，电缆长的变化约为多少?解0 d s=於 +专 中 =与 的 .6 .设扇形的圆心角8 6 0 ， 半径R = 1 0 0 c m（ 如图） ，如果R不变,a减少3 0 ',问扇形面积大约改变了多少？又如果a不变,火增加1 c m ,问扇形面积大约改变了多少？aR 解⑴扇形面积S=； 感 2,A5=dS=(； 砒2艰 1=京 八 ］将 2 6 0 = §,/ ?= 100, Aa=-30'=-名 代 入 上 式 得3 360A5=1 1002 (-^)--43.63(cm2).(2) /\S=dS=(；aR2) ，RdR=aRg.将 8 6 0 = 《， R=100,加?= 1代入上式得A5-yl001-104.72(cm2).7 .计算下列三角函数值的近似值：(l)cos29°;(2) tan 136°.解 (1)已知/(x+Ar)y (X) 4 /Z(X)AX, 当/(x)=cos x 时，有 cos(x+Ax)«cos x-sin A?Ax ,所以cos29°=焉 )=cos,一 si哈(一念(2)已知/(x+Axk /Xx)4/'(x)Ax,当y( x)=tanx 时， 有 tan(x+Ax)=tan x+sec?.Ax,所以tanl36°=tan(— +-^-)=tan— +sec2^-^-= -l+ 2-^-«-0.96509.v 4 1807 4 4 180 1808 .计算下列反三角函数值的近似值(1) arcsin0.5002; (2) arccos 0.4995.解 ⑴已知/(x+Ar)n*(X)4/'(X)AX, 当 /(x)=arcsin x 时， 有arcsin(x4- Ax) ~arcsinxH■-/ 1 M ,vl-x2所以arcsin0.5002=arcsin(0.5+0.0002)-arcsin0.5d■ —/1 0.0002Vl-0.52琮 +言 0.0002 =30。 47〃 .(2)已知 f (x+Ax)^(x)+f,(x)Ax,当 y( x)=arccos x 时， 有arccos(x+Ax) - arccos x———— -Ax,y/l-X2所以arccos0.4995=arccos(0.5-0.0005)-arccos0.5——t—I----- (-0.0005)Vl-0.52带 + 云 0.0005 =60°219 .当忖较小时， 证明下列近似公式:(1) tan (x是角的弧度值)；(2) ln(l+x )=x ;⑶ 亶-川-x,14-X并计算tan45z和 In 1.002的近似值.(1)已知当|Ax|较小时,/(X O+AXA/(XO) 4/'(XO)AX, 取/(x)=tanx, X( ) =0, AX=X, 则有tan x=tan(0+x)-tan 0+sec20 x=sec20 \r=x .(2)已知当|Ax|较小时, /(X O+AX) 4XO) 4/'(XO)AX, 3Z./(x)=ln x , x0=l, Ax=x,则有ln(l+x)«lnl+(ln x)11 ・x=x .(3)已知当|Ax|较小时,/(xo+Ax)=/(x( ) )+/"(xo)Ar,取 f (x)=—, x0=l, Ar=x,则有X4 +e * x =i . tan45M5/=0.01309;ln(1.002)=ln( 1+0.002) =0.002.10 . 计算下列各根式的的近似值:(1)^996；⑵ 瓯解 ⑴ 设 /(8)=爪 ，则当团较小时， 有/(l+x)=_ Al)+/'(l)x=l+k,n崛 = 析 000— 4= 101一 品 句 0(1— /高A9.987・⑵设/(x)=垢 ,则 当㈤较小时,有/(l+x)=/• ⑴+ /'(l)x= l+ 1x,于是nV65=V64+1=2 ^l+^-«2(l+1~)«2.0052.11 . 计算球体体积时， 要求精确度在2%以内，问这时测量直径。 的相对误差不能超过多少？解球的体积为2 =3就 3, d V = ^ D2 \D,因为计算球体体积时， 要求精度在6 22%以内， 所以其相对误差不超过2% ,即要求1 ,工出22______卜3.|当卜2%,所以I当K % ，也就是测量直径的相对误差不能超过,％ .12 . 某厂生产如图所示的扇形板， 半径R=200mm,要求中心角a 为55 . 产品检验时， -一般用测量弦长/的办法来间接测量中心角q如果测量弦长/时的误差<5i=0.1mm,问此而引起的中心角测量误差六是多少？解 由； =R s in?得a=2arcsin《 = 2arcsin^^, 当 *= 55 时 ,7= 27? sin y = 400sin 27.5°« 184.7,e g %啊2.卜；击 俯 .当 /= 184.7, 6尸0.1 时，• =2 •/ I、 . .焉 01= 0.00056（弧度） .. /84.7\ 2 4产（ W）总 习 题 二1 .在 “ 充分” 、“ 必要”和 “ 充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内：（ 1V U ）在点X 0可导是兀0在点X 0连续的 条件/ x ）在点X 0连续是寅X ）在点劭可导的 条件.（ 2） 4 0在点X 0的左导数尸G o ）及右导数户”0）都存在且相等是次x）在点X o可导的 条件.（ 3） /（ x）在点%0可导是/（ X ）在点X 0可微的 条件.解（ 1）充分， 必要.（ 2）充分必要.（ 3）充分必要.2 .选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论：设/（ X ）在x =a的某个邻域内有定义， 则. / （ X ）在x =a处可导的-1、 充分条件是（ ） .⑷l im。 " （ +） ） _ /（ 创 存在；⑻ 1加 /伍+2"） 一 / （ "+」存在；〃 一 > + « « h A->o h（ C ） l im /（ "+〃）二/（ — 〃 ） 存 在 ;（ O） iim "） 二 （ （ 则 存在.'h — o 2 h ' h -o h解正确结论是D提示：一 /（ 口' 3= l im /（ "二 〃 ） ? ® = l im （ 3 g〃） .h 2 0 -h Ar — o Ar3.设有一根细棒， 取棒的一端作为原点， 棒上任一点的做标x为， 于是分布在区间［ 0,幻上细棒的质量机是x的函数加= m （ x） ,应怎样确定细棒在点xo处的线密度（ 对于均匀细棒来说， 单位长度细棒的质量叫做这细棒的线密度） ？解 AW=W（ %O+AX） -?M（XO） . 在区间［ xo , xo +Ar ］上的平均线密度为pk _= -A-m =-相- G-o- +-A-r )---m-(-x-0).Ax Ax于是， 在点枇处的线密度为p- l im ^~= l im—TO AX ©TO叫 +弋 一 小 )= M (x°).4 .根据导数的定义， 求/(x)= l的导数.1 1解心妈士=蚂而蚩T㈣*15 .求下列函数人x)的《(0)及《(0),又/'(0)是否存在?⑴ /(x)=sin xl n (l +x)x < 0 .x > 0；x( 2 ) / ( x ) =O0xH Ox= 0解 ⑴因为 f (0)= l im / ( x) ~~( ( ° )= l im 但 二2 = 1 ,X T。 - X -0 X T - X\_- l im l n (14-x)v= l n e = l ,X T0+而且力'(0 ) = / ( 0 ) ,所以/'(0)存在， 且只(0)= 1.⑵因为加=场弋铲=% .l im --r -= l1 0 - 11+e *-^ -p -0族 )=鬻 母 铲 =场 片 二 粤 三 ，l+ex而,U (0)汽 //(0),所以尸(0)不存在.6 .讨论函数 /3=xsin —x0xwOx=O在x=O处的连续性与可导性.解 因为 /(0)=0, lim /(x)=lim xsin—=0= /(0 ),所以 /(x)在 x=0 处连续;X TO X->0 X因为极限lim Z °)-/ ( Q)Timx->0 x x->0xsi・ n—1 0Axx= lim sin L不存在， 所以 / ） 在x=0处不X TO x可导.7 .求下列函数的导数:(l)j^=arcsin(sinx);1 _i_ Y *(2) y=arctan-——;1-x(3)y=lntan^■ — cosx lntanx ;(4) y=[n(ex + J l + I ) ；(5)y=y[x (x>0).解(1) y= I 1 , '(sin x)'=vl-sin2x1cosxt- COS X=-------- -.Vl-Sin2 X |cosx|⑵外也管片1— X1 (l-x)+(l+x) _ 11 + (1±42 (1-X)2 1+X2 -1— X(3 )/= ------- (tan^)z4-sinx ln tanx-cosx--------(tanx)zta i^ 2 tanx2- --sec2 ^-4- sin x- In tan x-cosx— —•sec2 x=sin x- In tan x .2 2 tanxIan —2⑷， =£ 才方. 装就苫.© +篇 言 ） = 击 .(5) lny=—Inx, —y = - - Vlnx+——, y =yfx(- - ^-lnx+ 4r)= ^-(l-lnx).x y xz x x x2 x2 x2 8 .求下列函数的二阶导数:( l ) y =c o s2x In x ;⑵尸一y,z=-2 c o s2 x l n x -si n 2 x -■ -2 c o sx si n x -■ -c o s2x-x x xz=-2 c o s2 x .l w药 必 - 岭 .x xzV l -X2 -X --yrX 3⑵ 户 ———# ^= (l- X2) -2l -xz2 -1y， =~ ( ^ - x2) 2 .(- 2x)=3 xJ " /》9 .求下列函数的〃阶导数：⑴尸(^ 1 77；⑵ 歹 干 .1 +X____ J_解( l ) y ='01 +x =( l +x )加 ,1J--1 1 1 -1-12 1 1 1 J--3y ——( l +x ) m , yf~ —(---1 ) ( 1 +x )w , yf — —(---1 ) ( --- 2 ) ( 1 4-x ),H , , , , ,m m m mm m* )= J_( J__I) ( _L_2 ) …( 1 - 〃+i ) ( i +x ) » ” .m m m m( 2 ) y =Jf ^ =T +2 ( l +x ) T ,1 +xy =2 ( -l ) ( l +x ) -2,yz=2 ( -l ) ( -2 ) ( l +x ) -3,y//=2 ( -l ) ( -2 ) ( -3 ) ( l +x ) -4, … , W ) =2(-1)(一2)(— 3)…( 一 〃) (1+力- (用).10 .设函数产少(x)由方程e， '+:\y=e所确定， 求_ /'(0).解方程两边求导得e 'Y+y+xy^O, ------ (1)于是丁 =一yx+ey〃 /y =(-y ) ， =- y'(x+ey) -y(l+e) '")x+ey (x+e1)2⑵当m O时，由原方程得兴0)= 1 ,由⑴式得7'(0)=」 ，由(2)式得y"(0)=」 .ee，11 .求下列由参数方程所确定的函数的•阶导数学及二阶导数事:ax dx1,n fx=acos3^y=asin30 ，⑵< x=ln J l+户y=arctan/解 ( ］ 浮 = 如 噌 = _^取 空 纥1 a n。 ，dx 3cos3 )3acos2e( -sin6)d2y _ (-tan^y _ -sec2^ _ 1 „e c4n c„cndx1 (" 返L『223 (cm),7t I L=20即摆长约需加长2.23cm.习题3- 1 1 .验证罗尔定理对函数尸In si n x在区间吟,学］ 上的正确性.6 6解因为尸In si n x在区间《， 冯上连续， 在 空 ) 内 可 导 ， 且兴刍=兴苧) ,6 6 6 6 6 6所以由罗尔定理知， 至少存在一点太 © , 若) ， 使得_ /© =c o t殳0.6 6由 y ( X ) =COt X =0 得 y G 管,系) .因此确有。 = 袅4 ,弱 ， 使y © = c o t关0.2 6 62 .验证拉格朗日中值定理对函数尸4 x 3 - 5 f + x - 2在区间［ 0 , 1 ］上的正确性.解因为尸4 x 3 - 5 1 + x - 2在区间［ 0 , 1 ］上连续， 在( 0 , 1 )内可导，由拉格朗日中值定理知， 至少存在一点生( 0 , 1 ) ,使y c ) = y*— ?°) =o .1 — 0由 y ( x ) =1 2 x2- 1 0 x + l =0 得 x = 5 ：即W ( 0 , 1 ) .因此确有？ = % ^ e ( o , i ) ,使一 型 •121—U3 .对函数7( x ) =s i n x及Qr A x + co s x在区间［ 0 ,岸上验证柯西中值定理的正确性 .解 因 为/ ( x ) =s i n x及F (x )=x + co s x在区间［ 0 ,岸上连续， 在( 0 , 9可导， 且尸( x ) =l - s i n x在( 0 ,乡内不为0 ,所以由柯西中值定理知至少存在一点兵( 0 , 9，使得， 冷T ” 甲 .%)- 尸( 0 )Af(x } / ( y ) - / ( 0 )令 邛2 = _ 2 - - - - - -,即尸( x )尸耻尸( 0 )co s x 21 - s i n x 4一2化 简 得 如 人 正 品 」易证。 〈 港却… 所 以 加 = 后 飙 一 】 在( 0 ,乡内有解，即确实存在兵( 0 , 9，使得 吗 ) - / ( ) ) ©%)- 尸(0) F '©4 .试证明对函数 j f + q x + r应用拉格朗日中值定理时所求得的点J总是位于区间的正中间.证 明 因 为 函 数 尸 在 闭 区 间 口， 切上连续， 在开区间( 见6)内可导，由拉格朗日中值定理，至少存在一点笈3 , 6)，使得歹(6)一 歹0 )= /(？3 -々 ) ，即(pl， +q b+「 ) 一 ( pa 2 +q a +『 ・) = ( 2 p 3 q )(h _a ).化间上式得p(b-a )(b+a )=2 p J (b-a \故八*5 .不用求出函数於) = -1)缶-2) -3)11)的导数， 说明方程/'(x)= 0有几个实根， 并指出它们所在的区间.解由于兀0在［ 1, 2］上连续, 在(1, 2)内可导, 且寅1片 /(2)=0,所以由罗尔定理可知， 存在自e ( l,2 ) ,使 / 咯)= 0 .同 理 存 在(2 ,3 ),使，(% = 0 ;存在自e(3, 4),使，( 约= 0 .显然。 热 台都是方程广( 幻=0的根. 注意到方程/(x)=0是三次方程， 它至多能有三个实根， 现已发现它的三个实根，故它们也就是方程/'(x)=0的全部根.6 . 证明恒等式：arcsinx+arccosx=y (-1 1 4 2 〈 丫 3 <8证明：在( X l , X 3 ) 内至少有一点 使 得 广 © =0 .证明由于人劝在上, 必］ 上连续，在( X ］ , X 2 ) 内可导，且人T 1 ) MX 2 ) , 根据罗尔定理,至少存在一点余( 看, 必) ，使/ '« 1 ) =0 . 同 理 存 在 一 点 会( X 2 , 》 3 ) , 使 广 ⑸ 地又由于广( X ) 在［ 品前上连续，在( 品为内可导，且 / © ) =〃( 约=0 , 根据罗尔定理，至少存在一点七( 自， 6U ( X I, X 3 ) , 使/ 〃« ) 句.9, 设 a >6 >0 , ” >1 , 证明:nb"T (a — b)6 >0 , 证明：& l n詈 增 .a b b证 明 设 / ( x ) =l n x , 则/ ( x ) 在区间也旬上连续，在区间( a a ) 内可导，由拉格朗日中值定理，存在生3,0,使/(a )T(b)=f，(纵a -b), B | J \ na -inb=^ (a -b).因为b 1)=1,寅0求1)<0,所以函数在(0, 1)内至少有一个零点，即x5+x-l= 0至少有一个正根.假如方程至少有两个正根，则由罗尔定理， /'( X)存在零点， 但 广(x)=5f+lM ,矛盾. 这说明方程只能有一个正根.13 .设 网 、g(x)在也切上连续， 在(a, 6)内可导, 证明在(a, 6)内有一点 使g( «)g而(—解设例x )= " “|， 则4x)在［ q, 6］上连续， 在( “ ,6)内可导，由拉格朗日中gW)值定理， 存在表3 6 ) ,使—如 ) = " © (6-项gn / ( «) / 倒 」 / ( " ) f(a) f[ f(a)r / © 图 / ⑷ / ' ◎g诟g司|g荷g J ) [ 直 指g( 可 卜 荷gZ(l)因此 f(a) J/(«) f'&囚此 g(“)gS)『3 %( )g '© ♦14 .证明： 若函数批》 ) 在( -8 ,+ 8 )内满足关系式/ ( 的刁仁) ， 且 <0)=1则｛x)=".证 明 令(P(X)= 幺2 ,则在(-8, +8)内有exd ( x)= f '(x)ex - / ( X) e2 _ /(x)e、 一/(x*2,2x2x三0, 所以在（ - 8 , +OO）内奴X ）为常数.因此灰x ） = / O ） = l ,从而火x）=e\15.设函数尸/ （ x ）在x = 0的某邻域内具有〃阶导数， 且/ （ 0 ） =广（0 ） = • • • = f（ " T ） （ 0 ） = 0 ,试用柯西中值定理证明：/ ( X )一/ •( 〃 ) ( & )xn n\( 0 < 6 k l ) .证明根据柯西中值定理华 =四 第 二 第 ©介 于 。 与” 之间） ,xn x - 0 呜 T/ 熊 ） 一八劲- 八 ）崎 T 崎T - 〃. O" T 〃 （ 时1蕨2（ 5介于0与刍之间） ,, 儡 ）〃 （ 〃 一1 ）或 「2/ © 2 ) -广⑼ / ' ” ( 为水 〃— 1 )或- 2一— 0"-22 ) “- 3（5 介于0与42之间） ，依次下去可得〃 ( / 7 — 1 ) …2 £_ ] » ( «- ! ) • • • 2 - ^ „_ 1 - «( «— 1 ) • • - 2 - 0 〃 ！& 介 于0与5 - 1之间） ，所以△立=•/ ” ” 『） .xn n\由于5可以表示为J , = 6 x （ 0（ 欣1 ） ,所 以 华 = 小 等（ 0〈a 1 ） .xn n\习题3 - 21 .用洛必达法则求下列极限:x - >0 x⑵叫” 土 ；D s i n x（ 3 ） l i ms i n x-sina;X T x— a / 八「 sin3x⑷ 螃 E(5) lim 巫吗;1 产2斤(6) lim匕■品；XT4 x — a⑺E l1 -i m—In t—an 7—x ;XT+0 In tan2x⑻呼磊;2ln(l+-)(9) lim ------I — arc cot x(10) lim ln(1+A-2) -x->o secx-cosx(11) limxcot2x;x->0(12)limx2e^2;x->0(13) lim( 2 _ _ L) ;X->1 x — I x —1(14) limQ+旦 尸 ;x->8 X(15) lim xsinx;XT+0(16) lim (-)tanx.XT+0 X1解 ⑴ lim蛆比上 = lim月区 = lim /一二 1.1 0 x x -o 1 x -> o l+ xr(2) lime x—-e；-~-x =l-im -e--x-+--e-~--x =20.x-»o sinx i o COSX小 i； …sinx-sina i- cosx …厂 八(3) lim-----------= hm- -- =cosa.x-^a X-Cl XT4 1x— tan 5x 工 一 万 5 sec2 5x 5 ⑸里昌= 嗯诋费诲= 十 嗯2 2 2-csc2x 18(6) lim区 H = l i m 里 ？ = 如 2 = 2 4 » 〃x-a xn—an %7♦ nxn na" n]⑺ lim 瞥 四 二 . 革XT+ 0 In tan 2x XT+O ]tan 2x•sec2 7x-7•sec2 2x2=1sec22x-2limtan2x=Zlim2 XT+O tan /x 2 i+ o sec lx • 7⑻ lim 瞥=l i m_s e c ^=l M 型 学xr#an3x sec23x-3 3 cos2xj_ . 2cos3x(- sin3x>3 _ _ 闻 cos3x3 XT匹 2cosx(-sinx) 工 一 匹 cosx22=_li m^ 3 s i n 3 x= 3r 押—s in x2(9)ln(l+g 1+工,lim----- - = lim —— -- -X T+ 8 arccotx x->+~ ilim 上 £X T + c o x + X』1+/= lim W - = lim ^=1.x - 1+2x x - 2( 10) l i m J n ^ 3 - = l i m 2 1 3 1 = l i m —x->() secx-COSX XT。 1— C0S2X x-^01— C0S2X= lim - -----~.XTO - 2 cos x(-sin x) x-»o sin x( 注： cosx ln(l+x2)-x2)(11) limxcot2x=lim—=lim——----- = [ .i o tan 2x -v^o sec22x-2 2(12) limx2^2 = lim ^ -= lim —= lim ^- = 4-00X― >0 X— >0 1 t— >+8 t t― >+8 1 （ 注：当xron寸 ，/=» + 8 .X221(14)因为 lim(l+— )A = lim e"""’ ,X->8 X X T 8而ln(l+-)lim x(ln(l+-)= lim ― 产X — > o o X X — >8 IX= lim - a x- = lim f=QXT8X+Q XT81所以 lim(14--)Y = lim /皿匕) =e .X T 8 X X— >8(15)因为 lim xsinx= lim esinxlnv,XT+0 X7+O而 lim sinxlnx= lim ^n x = lim --------------XT+ O XT+OCSCX x7+0 - CSCJTCOtX• 2= _lim @ ^ = 0 ,XT+OXCOSX所以 lim xSinx = lim eSinxinx= e。 = 1 .(16)因为 lim d )ta n x = e -ta n x ln x ,XT+0 Xj_而 lim tanxlnx= lim ^n x = lim —— ^―XT+O x-> -F < ) C0tX x-^+0— CSC2X=_ lim 犯 包 =0,XT+0 X所以 lim d )ta n x = lim e -ta n x ln x = e O = l.x f +0 x XT+0 2 .验证极限l i m在 也 存 在 ， 但不能用洛必达法则得出.1 8 X解l i m正 皿 =iim(1+si nx)=i ,极限血 史血是存在的.X T8 X X->8 X X T8 X但l i m空醇 = l i m笔 注=l i m ( l +c o sx )不存在， 不能用洛必达法则.XTo o ( X) XT8 1 X— >8x2si n—3 .验证极限l i m —^存在， 但不能用洛必达法则得出.x2 si n— 1 x2si n—解 l i m — ；~- = lim^— x si n—= 10 = 0 ,极限l i m — ；— —是存在的.XTO si nx x —o si nx x x — o si nx2xsi n--c o s—-——^ 不存在，不能用洛必达法则.( x2 si n — /但 l i m ———— = l i mo ( si nx ) x — oCOSX4 .讨论函数1 _[( 1 +X) ]eie ~ 2在点D 处的连续性.x < 0_ 1因为解 /( 0) =e ” ， l i m /( x ) = l i m e ” =e ” =/( 0) ,XT-0 XT-01r- 、 [ . 「 (1 +X) x J .. — [— ln(l+x)-l]l i m /( x ) = l i m [----- ]x = h m ex x ,X T+O 4 — >-o e % ->-o而l i m -[-l n( l +x ) -l ] = l i mx ->+0 X X XT+OJ__1= l i m上/一 二l i ml n( l +x ) -xx2x T+o 2 x x -» +o 2 ( 1 +x )2 '所以1[ . i /、 r r( 1 4 -X)x r — [— ln(l+x)-l]l i m /( x ) = l i m p---- ]x = l i m ex xx -+o x ->-0 e x —— 0= e -2 =/( 0) .因此｛x )在点x = 0处连续. 习题3 -31 .按( x -4 )的暴展开多项式X4-5X3+X2-3X+4 .解 设 /(X) =X4-5X3+X2-3X+4 . 因为% ) =-56,, / ',( 4 ) =( 4 x3- 1 5X2+2X-3 ) |X=4=2 1 ,/" ( 4 ) =( 1 2 d - 3 0x +2 ) | i =74 ,/〃 ( 4 ) =( 2 4 x -3 0) | i =66,/" ) ( 4 ) =2 4 ,所以/( x ) =/( 4 ) +/' ( 4 ) ( x — 4 ) +号(X— 4 ) 2 +2 ^ 1 (X— 4 ) 3 + / ^ (X— 4尸=-56+2 1 (X-4 ) +3 7(X-4 )2+1 1 (X-4 )3+(X-4 )4.2 .应用麦克劳林公式， 按x基展开函数./) =( /_ 3》 +1 ) 3 .解因为/,(X) =3 (X2-3X+1 )2( 2X-3 ) ,y ^/z( x ) — 6( x 2—3 x +1 ) ( 2 x — 3 ) 2 +6( x **— 3 x +l ) ~ — 3 0( x ^—3 x +l ) ( x 2 — 3 x +2 ) ,/" < x ) =3 0( 2 x -3 ) ( /— 3X+2 ) +3 0( /_ 3X+ 1 ) ( 2 x -3 ) =3 0( 2 x -3 ) ( 2 /_ 6X+3 ) ,,/( 4 )(X) =60( 2X2-6X+3 ) +3 0( 2X-3 ) ( 4X-6) =3 60(X2-3X+2 ) ,/( 5)(X>3 60( 2X-3 ) ,. / -( 6)(X) =72 0;寅 0) =1 ,/' ( 0) =-9 ,/〃( 0) =60,/' 〃( 0) =-2 70,/( 4 )( 0) =72 0,/5)( 0) =-l 080,/⑹( 0) =72 0,所以人) =/(0) +八O ) X+空，+ 守/ + 空x ， +空 外 空K=1 -9X+3 0X3-4 5X3+3 0X4-9X5+X6. 3 .求函数/( x ) =《 按( x -4 )的暴展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒公式.解因为/ ( 4 ) = " = 2 , 4 4 ) =g x 斗x =4 =：， / " ( 4 ) = x ?卜 =4 = 一击,八4)+ 1…&/) ( x ) =4 | x ±所 以 五 = / (4 ) +八4 ) ( 1 ) +华( 1 ) 2 +空( 1 ) 3 +空( 1 ) 4= 2+ * 4)一 如 一 守 +*( …土函 + 髭 町7cD.4 .求函数,/( x ) =l n x按。 -2 )的幕展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式.解因为/ ”) =尸,/' " ) =( 一1 )、 -2 ,/〃”) =( — 1 ) ( — 2 ) x 7， … ,/( " ) ( x ) =( -l ) ( — 2 ) …( _ 〃+1 ) -“ 二( 7) " ； " ) ! ;/■( Q ( 2 ) =( _iy；y_I) !( 6] , 2 , •-， 〃+1 ) ,所以l nx =/( 2 ) +/' ( 2 ) ( x -2 ) +争( x — 2 ) 2 +Z^ l ( x — 2 >+ …+ ^2(x— 2 ) ” +式 ( 万 一2 ) 〃 ]Tn2 +/( x -2 ) - j ^ ( x -2 ) 2 +y ^ y ( x -2 ) 3 --- +- ( x -2 )/;+o [( x -2 )n] .5 .求函数/( x ) =1按( x +1 )的事展开的带有拉格朗日型余项的〃 阶泰勒公式.X解因为於) =XT,/' (X) =( -1 M -2 J 〃( x ) =( _ l ) ( _ 2 ) x -3 ,… ，/( " ) ( x ) =( — l ) ( — 2 ) …( 一 〃 )x -5+D ；xn 1"1)=合 修 —，2 ,… ,〃 ) ，所 以( =/( — 1 ) +八 T ) ( x + l ) + / ^ ( x + l ) 2 + Z ^ ( x + l ) 3 + … = T +( X + l ) +( X + l ) 2 +。 炉 +…+(X+1 ) ' [+[W ： ；F+ 2( X+1 严( 0< a1 ) .6 .求函数/( x ) =tanx的带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林公式.解因为/,( x ) =se c2x ,/,,( x ) =2 se c x -se c x tan x =2 se c2x tan x ,广' ( x ) =4 se c x se c x tan2x +2 se c4x =4 se c2x tan2x +2 se c4x ,/4 )( x ) =8se c2x -tan3x +8se c4x -tan x +g se c ,x tanx u' sm M si ： x +2 )；c o sJx期) =O /( O ) =1 J 〃( O ) =O /〃( O ) =2 ,所以tanx =x +人 +型 邈 霓 誓1/ ( 0< a1 ) .3 3 008^ ( 6^ )7 .求函数加) =x e '的带有佩亚诺型余项的〃阶麦克劳林公式.解因为f/(x)=ex+xex,f//(x)=ex+ex+xex=2ex+xex,广" ) =2 /+炉 +" =3 ， +证\ … ，f(f1\x)=nex+xex;小) =左( 仁1 ,2 ,… ,〃 ) ，所以 .=/( 0) +八 0 ) x + ^ ^ x 2 + .…+ /0" ( ％" +o ( x " )=x+x2 + 鼻3 + … 1 x 〃+o ( x /) .2 ! ( 〃 - 1 ) !8 .验证当时， 按公式。 ' =1 + X + 4 +《 计算，的近似值时， 所产生的误2 2 6差小于0.01 ,并求人的近似值， 使误差小于0.0L2 3解因为公式" 句+》 +匚+斗右端为/的三阶麦克劳林公式， 其余项为2 6 尺 3( » = 和，所以当0 ) 岛 •( 嘲 U” 4]得 嗡 -27 =.34=磊= 1.88n0-5.(2 )已知sinx=x-1x3+^^x4(J介于 0 与 x 之间) ，所以 sin 18° =sin—«—- - ( —)3«0.3090,10 10 3!v107 其误差为西 借 旧 苧 ( 自 * 学 ( 缶)4 = 2 . 0 3 x 1 0 -4 .1 0 .利用泰勒公式求下列极限：(1 ) l i m (V x3+3 x2-^ / x4-2 x3);X T+<»♦(2 ) l i m ^c osx-e 2,. v ^ ox2[ x +l n (l -x )]l +. /- J l +》2(3 ) l i m --------j ------(cosx -e ^ )si n x2解(1 ) l i m (V x3+3 x2 ->/ x4-2 x3)= l i m,r—»4-ooX T —=［ 加 正 品 幼 三一 ■K) tx因为析+3 / = l +/ +o« ),机一2 r , 所以. i------ . . . . . [ 1 +/ +&/ )] -[ 1 -] / +。 0 )] q o(t\ ql i m (V x3+3 x2 -V x4-2 x3) = l i m ----------- —— ------ =l i m [ -1 -+-y ^ ] = —.cosx -e 2(2 ) l i m i^ ->0 x2[ x +l n (l -x )]+l x4+o(x4)] -[ l -1 x2 + (对]= l i m ---------------------- ——-----------X — >o - Lx3[ l +l n (l -x )' ][丫 । ①)= l i m 五 可=3=0. so 1 1 +e-1l +l n (I )xl +^ -x2-V l +x2 l +^ -x2-[ l +^ -x2-^ -x4+o(x4) ](3 ) l i m --------j ------= l i m ---- - -----, ---------------- - ------------fc o s x) s inx2 [ (l -| x2 + | x4 +o(x4))-(l +x2 + ^ x4 +o(x4))] x21 -x4+o(x4)= l i m — ~ = y - ：-----------X千 _ 聂 龙6 + ”。 (/ )3 ,0(x4) 3- I ----- -= l i m -----—— —----33 UY2 ,O(X4) -3 1 22 2 4 %2 2 习题3 -41 .判定函数. / (x )= a r cta n x -x单调性.解 因 为 八 折 卷-1 = -—^<0,且仅当x = 0时等号成立， 所以/ (x )在(-巴+8 )内单调减少.2 .判定函数4x )= x +cosx (OW E 2 m的单调性.解 因为/' (x )= l -si n仑0 ,所以加)= x +cosx在［ 0 , 2加上单调增加.3 .确定下列函数的单调区间：(1 ) J V= 2 %3 — 6 x ? -1 8 x ~7 ;(T)y-2 x +— (x >0 );( 3 )-V=4X3-9X2+6X；(4 ) y= l n (x +V l +x2);⑸产(XT )(X+1 )3 ;(6 ) y = #(2 x -a )(a -x )2 (a > 0 );(7)y=xne ~x (z ? >0 , x >0 );(8 )y = x +| si n 2 x | .解(1 )y = 6 x2-l 2 x -l 8 = 6 (x -3 )(x +1 )= 0 ,令y'=0 得驻点阳二- 1 ,伤=3 .列表得X(~ ° 0, -1 )-1 (-1 , 3 )3 (3 , +° 0 )/y+0—0+y//可 见 函 数 在-1 ］和［ 3 , +oo)内单调增加， 在［ - 1 , 3 ］内单调减少.(2 ) / = 2-鸟 =2 0 - 2 ) '+ 2 )= 0， 令 y=0 得驻点修=2 ,汹= -2 (舍去).因为当x >2时,y >0 ;当0 < r < 2时 /' < 0 ,所以函数在(0 , 2 ］内单调减少， 在［ 2 , +-)内单调增加. 列表得(3 )/ =渭 ：；君 ：2 )，令V = 0得 驻 点 不 可 导 点 为x = o.X(-8, 0)0(0, 1)12( 1 ， 1)1(1 , + ° ° )/y—不存在—0+0—y0/可见函数在(-8 , 0 ), (O, ： ］ , ",一 )内单调减少， 在上单调增加.(4 )因为 _ / = ---) — . (1 H----.) = J ~ ~>0 ,所以函数在(-8 , 4 -0 0 )内单调增x +V l +x2 2 V 1 +X2 y/1+x2加 .(5) y = (x +l )\-3 (x — l )(x +l )~ = 4 (x — 3 )(x +l )2 .因为当 ■ 时 ，y ' < 0 ；当 x >^■ 时 ,y > o ,所以函数在(-℃ , J内单调减少， 在核, +河 内单调增加.— (X — — )(6 )/ = ―/ 3 , 驻点为修= 学> 不可导点为》2 =目， 兀3 =。 3 ^ /(2 x -a )2(a -x ) 3 2列表得号， 争 ,3+8 )内单调增加， 在停,a )内单调减少.X(-8 , 9a2出现)(2, 3 )2 a~ T苧)a(a , -Kx>)，y+不存在4 -0—不存在十y///可 见 函 数 在 (― ° ° ,9 ,(7)y=e ~ V~ '(n-x ),驻点为 x =n.因为当 0 ) + / ( 朔 " ( 空 ) ，即 (亨 )(2) 设/(/) = 或则/(/) = e'J〃(/) = e'.因为/〃⑺〉 0, 所以曲线/(/) = e'在(―9 + 8 ) 内是凹的.由定义，对任意的x,y e(-8 ,+ 8 ) ,巧 有和(x) + /U) ］ > /(亨)，r V x+y即 衿 丝 〉 eT" (x" ) . (3)设加) = /h w,则/'⑺= h w+ l , / “ (/) = 1因为当/> 0时,./( 〉0,所以函数向) = /l nr的图形在 00)内是凹的.由定义,对任意的x> 0, y > 0, x ^ y有J/(x) + /V) ] > /(空 )，BP xl nx+ y l ny > (x+ N ) l n^ ^ .10.试证明曲线产早有三个拐点位于同一直线上.X +1证 明./_ ~X2+2A-+1 、 ： ，， _ 2* 3 -6 / -6 x+ 2 _ 2(x+ 1 心 -(2一向][ x- (2+向]J - 一(%2+ i )2，、 — (x2+i)3 — (/+ 厂 •令,〃= 0,得 X| = -1,芍=2-石 ，X3=2+A/3 .例表得X( - 8.-1)-1(-1,2-7 3)2-V3(2-V3,2+ V3)2+ 5 /3(2+ V3,+ o o )/y—0+0—0+yn-1u1—A/34(2-1)n1 + 64(2+两u可见拐点为(一1 , 一1) , (2 -y/3 , , (2 + 6 , 7；^^)) . 因为1~A/3 / i \ 1+ V3 / i x4(2-7 3) =1 4(2+ 7 3) =12— V3 — (― 1) 4 2+ -\/3 - (—1) 4所以这三个拐点在一条直线上.11 .问。 、6为何值时， 点(1,3)为曲线产皿3+ ^ 2的拐点？y-3 a x2+2 bx , y"-6a x +2 b.要使(1, 3)成为曲线 y=a x2+bx2 的拐点，必须y (l ) = 3 且y " (l ) = 0,即 +6 = 3 且 6 26 = 0,解此方程组得“ 二-方，b=\ .12 .试决定曲线尸a x'+ b xUcx+ d中的a、b、c、d,使得x= -2处曲线有水平切线,(1,-10)为拐点,且点(-2, 44)在曲线上. 解 y,=3 a x2+2 bx +c , y"=6a x +2 b .依条件有X-2) = 44MD=TO" 2 ) = 0 '/(l ) = 0— 8 a + 46 -2c+ (7 = 44a + /7 + c+ d= — 1012Q-4/?+C=06a +2 b=0解之得 a =\ , b=— 3 , c= — 24, d=l6.13 .试决定产网7 -3) 2中左的值，使曲线的拐点处的法线通过原点.解 y = 4A x3-l 2A x, y"-12左(x-1 ) (x+ 1) .令 y^ -O ,得 xi = -1, X 2 -1 .因为在xi = -1的两侧/是异号的， 又当4 - 1时尸必， 所以点(-1,4@是拐点.因为/(T) =瓯 所以过拐点(-1,的的法线方程为尸软= -/(x+ l ) .要使法线O K过原点， 则(0,0)应满足法线方程，即 -必 = -[ ,k=土 零 .ok o同理，因为在R = 1的两侧/ 是异号的， 又当m l时产以， 所以点(1,4左) 也是拐点 .因为_ /(1) = -8匕所以过拐点(-1, 4%)的法线方程为y-必= 2(x-l ) .要使法线过原点，则。 0)应满足法线方程，即-4上 = -人k=±， .8k 8因此当左= ±， 时，该曲线的拐点处的法线通过原点.O14 .设 右 声 ) 在x= xo的某邻域内具有三阶连续导数，如 果f "(x o ) = O ,而厂” ( xo ) M ,试问( 觉, 危o ) )是否为拐点？为什么？解不妨设/ ' 〃 (xo ) > O .由/ 〃 ' (x)的连续性， 存在祀的某一邻域( xo - a xo +片在此邻域内有了' 〃 (x) > 0 .由拉格朗日中值定理， 有/ " ㈤ 丁 小 片 / ' © 』 )( 4介于X 0与X之间) ，即 广( X )寸 〃©(x- X 0 ) .因为当 X o - & V< X o 时， /( x) < 0 ;当 x( ) < x< ¥ ( ) + < y 时 , /( x) > 0 ,所以( xo , . / ( x( ) ) )是拐点.习题3-5 1 . 求函数的极值：(1) y=2x3-6x2—\ 8x4-7;(2)y=x-ln(l+x);(3) y=-x4+2x2;(4)尸 x + J l r ；l+3x( 5) 尸 I 2 ；V4+5x2⑹歹=3X2+4X+4x2+x+\(7) y=ex cos x ;(8)产"；(9)片 3-2(工+ 加；(10)尸x+tan x .解 ( 1)函数的定义为( 一，一) ，y^6x2- 12x-1 8-6(X2-2X-3)=6(X-3 )(X+ 1 ),驻 点 为 修= - 1,X2=3.列表可见函数在户- 1 处取得极大值1 7 ,在 x=3处取得极小值-47.X(-OO, -1)-1(-1, 3)3(3,+°0)y+0—0+y/17极大值-4 7 极小值/(2)函数的定义为(-1, 2 ) , y'= l- — —, 驻点为x= 0.因为当-l< r< 0时, ，<0；当x>0时, " > 0 ,所以函数在户0 处取得极小值，极小值为y(0)=0・(3)函数的定义为( - 8 , 一) ,y=-4x3+4x=-4x(x2— 1), y"— —\ 2x2+4,令 _ / 句，得 Xl=0, X2=-1,X3=1.因为<(0)=4>0,y〃 (- 1)=-8<0,"'(1)=-8<0,所以火0)=0是函数的极小值, 夕( 一1)=1和夕⑴=1是函数的极大值.(4)函数的定义域为(-8, 1],v — 1 271不 - 1 3-4x" 2-J^x 2Vr^(2>/1^7+l) ,T .令y j ‘ 得驻点户屋 因为当W时, 户 。 ；当M〈 时 广 ， 所以刈二为函数的极大值.⑸ 函 数 的 定 义 为 ( ― ，金产， 驻 点 为 再' 4 4 + 5 x2 ) 3 5因为当x< ］ 时， " ) ；当 x专 时 ， _ / < 0 , 所以函数在x =(处取得极大值，极大值为店 ) = 叵 .5 10( 6 ) 函数的定义为( - = o , + o o ) , / = :/+2 )驻点为勺= 0 , 必= - 2." ( x2+ x+ l )2列表X( - 8 , - 2)- 2( - 2, 0 )0( 0 , + - )/y—0+0—y号极小值3/4 极大值可见函数在户- 2 处 取 得 极 小 值 在 x= 0 处取得极大值4 .3( 7 ) 函数的定义域为( - 8 , + O O ) .y=e ” ( c o s x- s i n x ) , y ' = - e ' s i n x .令 y ' = 0 , 得驻点 x= & + 2% % , x =-+2 (k+l)^ , ( A = 0 , ± 1, ± 2, • • - ) .4 4万 + 2K r B因为/ ' ( 乙+ 2所) < 0 , 所以M色+ 2氏) = e / " " • — 是函数的极大值.4 4 2■jrjr— + 2( A : + I) ^因为F + 2 —小。 ，所 以 叼 + 9 +1 闭 … 方是函数的极小值.\_( 8 ) 函数产" 的定义域为( 0 , + 8 ) ,- 1y =xx -- ( 1- l n x) .令y = 0 , 得驻点x =e .因 为 当 时 , j / > 0 ; 当x >e时, 广0 , 所以为函数, 危) 的极大值. 7 1( 9) 函数的定义域为( - o o , + o o ) , y ' = - 4 —,因为y ' < 0 , 所以函数在( V , + 8 ) 是单调3 ( x+ 1 产减少的， 无极值.( 10 ) 函数尸x+ t g x的定义域为Q 且+ 版■( 七0 , ±1, ±2, … ) .因为y ' = l + s e c 2x> 0 , 所以函数< x) 无极值.2 . 试证明：如果函数严a f + b x2+ c x+ d 满足条件/ 一3改< 0 , 那么这函数没有极值.证明_ / = 3°》 2+ 26 x+ c . 山 〃- 3a c < 0 , 知际0 . 于是配方得到. - 2_, - / 2 2b c _ . , 2 b 、 2 3 a c -b2y =3 a x +2 h x +c =3 a (x + — x+ —)=3 a (x +— ) +-------,3 a 3 a 3 a 3 a因 3a c - 7 ? 2> 0 , 所以当a >0吐 y > 0 ; 当a <0时, y ' < 0 . 因此广加 + 庆 + ⑪+ d是单调函数， 没有极值.3 . 试问。 为何值时，函数/ a ) = " s i n x+ g s i n 3x在 x = q 处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值.解 /，( x) = ( 7 c o s x+ c o s 3x, /, z( x) = - 4 7 s i n x- 3 s i n x .要使函数； ( x) 在 x = 9 处取得极值，必有广q ) = 0 , 即k2.当 m2 时，/ " ( ? ) = - 2•乎 < 0 . 因 此 当 的2 时，函数/ ( x) 在x = q 处取得极值， 而且取得极大值，极大值为〃 ¥ ) = 方 .4 . 求下列函数的最大值、最小值：( l ) ^ = 2x3- 3x2, - l < . r < 4 ;(2 ) y=x4-8x2+2 , - 1 ，所以X =意 为 极 小 值 点 ,同时也是最小值煤因此底宽为x =1匹时所用的材料最省.、4+不11.设有重量为5kg的物体，置于水平面上，受力F的作用而开始移动( 如图) . 设摩擦系数内).25,问力厂与水平线的交角a为多少时，才可使力尸的大小为最小？解 由 Feos a =(m -F s in a )/j 得F = ---- 理------ (0 为极大值点，同时这也是最大值点.当3 = 5 4 °时，〃= 1 5 si n e -3 ta n / -；= 7 . 5 m.所以把此屋最高能水平地吊至7 . 5m 高， 现只要求水平地吊到6m 处，当然能吊上去.1 5 . 一房地产公司有5 0 套公寓要出租. 当月租金定为1 0 0 0 元时，公寓会全部租出去. 当月租金每增加5 0 元时， 就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费1 0 0 元的维修费. 试问房租定为多少可获最大收入？解房租定为x 元，纯收入为R元 .当 X 4 1 0 0 0 时， 火 = 5 0 x-5 0 xl 0 0 = 5 0 x-5 0 0 0 ,且当 4 1 0 0 0 时，得最大纯收入 4 5 0 0 0 元 .当 JC>1000 时 ,1 1 1 ,/ ? = [ 5 0 -y( x-1 0 0 0 )] . x-[ 5 0 --( x-1 0 0 0 )] 1 0 0 = --X2+72X-7000,R'=」X+72 .2 5令 £ = 0 得( 1 0 0 0 ,+ 8 )内唯一驻点户1 8 0 0 . 因为所 以 1 8 0 0 为极大值点，同时也是最大值点. 最大值为R = 5 7 8 0 0 .因此，房租定为1 8 0 0 元可获最大收入.习题3-6描绘下列函数的图形：1. j=^-(x4-6x2+8x+7); 解 ⑴定义域为( - 8, +8) ；⑵ 户 刎 - ⑵+ 8 )+ + 2 ) ( 1 ) 2 ,/ = 1 ( 3 x2 -3 )= y( x+ l )( x-l ),令y' = 0 ,得 4-2 ,令y〃= 0 ,得4 - 1 , 4 1 .( 3 )列表X( 一O O , -2 )-2( -2 , T )— 1( T ， 1 )1(1, +°°)/y—0+++0+〃y+++0——0+y=Rx)_ 1 75极小值人_ 6-5拐点/ c2拐点( 4 )作图:解⑴定义域为(-8, +8) ；⑵奇函数，图形关于原点对称，故可选讨论x2 0时函数的图形.一 ( 二 一 1 )( 心+ 1 )(- ( 1 + 32 '2 x( x-扬 ( x+ 扬( 1 + X2)3〃y =当 时，令 y' = 0 ,得 x= l ;令 _ / ' = 0 ,得 x= 0 , x= 6( 4 )列表X0( 0 ,1 )1( 1 ,右)石( 7 3 , + 8)/y++0————〃y0——————0+y=f^)0拐点/ c; 极大值\ n734拐点( 5 )有水平渐近线y= 0 ;( 6 )作图：3 .尸e g / ；解 ⑴定义域为( -8 , + 8 )；⑵ y '= - 2 ( x - l) e g)2 y"= 4 e -e i)2 [x -(i +*)][x—(Y)],令y= o ,得41；令 『二o ,得1 +孝 ，日一日.( 3 )列表X(-8 , 1 -, 61--------2(1-冬1)1(1,1+今1+立2( 1 + *，+8)/y+++0——————〃+0—————0+ 0 )5。 , + ° ° ) ;G , , 1 2X3-1 ,, . 2 2(X3+1)⑷ y= 2 x- -r= — — , y =2+==- - ,X X X X令 六0 ,得x哈; 令 y〃= 0 ,得 x= T .( 3 )列表X( - ° ° , -i )— 1 ( -1 ,0 )0,虚)正1 点+8 )/y————无—0+〃y+0—无+++y=f^)0拐点\n无痂2极小值 ( 4 )有铅直渐近线x= 0 ;( 5 )作图：3c. C O S Xy= --------,cos2x解 ⑴ 定 义 域 为 " 长 4 5 = 0 ,±1 ,±2 ,. ： -)( 2 )是偶函数，周期为2 . . 可先作［ 0, ］ 上的图形，再根据对称性作出［ -， 0 )内的图形， 最后根据周期性作出［ -,］ 以外的图形；八、,_ sinx(3-2sin2 x) „_ cosx(3+12sin2 x-4sin4 x)y ~ 2 ^ ，, — 3 ^ ，cos 2x cos 2x在［ 0, ］ 上， 令 y' = 0 ,得 x = 0 , x = ; 令 _ / ' = 0 ,得( 4 )列表X0(0,今4717会 )~兀2( 十T34 (/3二44, 万)、/y0+无+++无+0〃y++无——0+无————产心)1极小值人无/c0拐点无/n— 1极大值( 5 )有铅直渐近线可及x4;( 6 )作图： 习题3-71 .求椭圆4x2+y2=4在点(0, 2)处的曲率.解 两 边 对 x 求导数得。 _ n ' 4 x " 4y-4砂'Sx+2yy =0, y =----- , y -- -------- ----- .y y-1(0, 2)=0, y ” |(0, 2)=-2.所求曲率为〜g _ IT(1 + /2)3/2 (1 + ()2 严-2 .求曲线尸Insec x 在点(x j)处的曲率及曲率半径.解 yr= !—・ secx-tanx=tanx, yz/=sec2 x ."secx所求曲率为一（ 1+避 严|sec2 x\(1+tan2 x)3 2=|cosx|,曲率半径为1 1p=— =-------= secx .K |cosx| 3 . 求抛物线1 2 毋 + 3 在其顶点处的曲率及曲率半径.解 y=2x-4,yz=2.令y 力， 得顶点的横坐标为4 2 .yi.v=2=o, y/iv=2=2.所求曲率为-(1 + /2)3 / 2 -(1+02)3 / 2 -'曲率半径为4 . 求曲线.e7 cos'f,尸 7 s in )在 /=e处的曲率.解 y， = ^ ^ = _t a n / , 『 =L a n ; )；1( 6tcos3 x)z (czcos3 x)z 3<7sin/ cos4 /所求曲率为〃 I-----------------1K二 炉1 二 Sasin-cosT =। 1 匕 2(1 + /2)3/2 (1+tan2/)3/2 3asin/cos3/ 3|asin2/|'K| = 2 .'z=/o 3|(7sin2/0|5 .对数曲线尸Inx上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径.解 y, = , y〃 =7 .X XI_ _ LiI /Z| _ ' X2' _ X一 ( " 2 严一 (1 + 4严" 2 严，3 - 35 ( 1 + 3 2 .2 川 - 。 + 3 2 _户(2 4 1 )令d = 0 ,得 X=~y.因为当0 + ~ ) 内， 令 /' ( x) R ,得唯一驻点户e.因为/” ( x) < 0 ,所以曲线/' ( x) = ln x-土+ % 在( 0 , y o)内是凸的， 且 驻 点 一 定 是 最 大 值 点 ,e最大值为 与 x之间.当X - » 8 时， J - » 8 , 于是l i m ［ /( x + a) - /( x ) ］ = l i m f，(^ \ a =a lm f\ ^ )=a k .A— > o o X— > < » jToo5 . 证明多项式/尸/一3 x + q在［ o , i ］ 上不可能有两个零点.证明./' ' ( 》 ) = 3 J一 3 = 3 * - 1 ) , 因为当x e ( 0, 1 ) 时， ./' 口/ ， 所以/( x ) 在［ 0, 1 ］ 上单调减少.因此, /( x ) 在［ 0, 1 ］ 上至多有一个零点.6 .设 ( ) + " + …+ 且 - = 0, 证明多项式段) = °( ) + 叩+ … + 即r " 在( 0, 1 ) 内至少有一个零点.2 〃 + 1证 明 设 F ( x ) = & x + 合 一 + …+ 且 ^ 川 ，则尸( x ) 在［ 0, 1 ］ 上连续， 在( 0, 1 ) 内可导， 且2 〃 + 1尸 ( 0) = 尸 ( 1 ) = 0.由罗尔定理， 在( 0, 1 ) 内至少有一个点使尸( J) T ) .而尸" ) = 兆) ， 所以共丫) 在( 0,1 ) 内至少有一个零点.7 . 设./( x ) 在［ 0, 0 上连续， 在( 0, 0内可导，且次。 ) = 0, 证明存在一点生( 0, 0, 使旗 + 3 ' © = 0.证 明 设尸( x ) = ^ x ) , 则 F ( x ) 在［ 0, a ］ 上连续， 在 a) 内可导，且内( 0上/伍) = 0.由罗尔定理,在( 0, a) 内至少有一个点短使F ( j) = 0.而尸( x ) R ( x ) + x r ( x ) , 所以/( 9 + 亨” ( , = 0.8 . 设0 0, g ( x ) 是单调增加的，当x > a时 ,g (x )>g (a ).因为/( X) 、 g ( x ) 都是可导函数， 所以/( 1 ) 、 g ( x ) 在口, 幻上连续， 在3 , X) 内可导， 根据柯西中值定理，至少存在一点生Q x ) , 使“X匕> @ )=坐2 .g ( x ) - g ( a) g C)因此,1/(刈- /( 。 )1g (x )-g (a )1 / ^)1 1 0.求下列极限:( l ) l i m；,;r - » l 1 — x + l n x( 2 ) l i m [ —i o l n ( l + x ) x2( 3 ) l i m ( —ar ct an x )x.X —> + 8JI_L _L 1( 4 ) + a$ +…+4) /川" ( 其中 a{, a2, ■ ■ ■ , a„> 0) .XT 8解 ( 1 ) ( xA)z= ( eA 1 n * \ =ev 1 n v ( In x +1 ) = xv ( In 1 ) .r x -xx 「 ( x - x " ) ' [ . l - xv( l n x + l ) [ . x - xv + 1( l n x + l )l i m - - - - - - - - = l i m - - - - - - - - -； = h m - - - - - - - - - - -= h m - - - - - - - - - - - - - -1 — x + l n x v - > i ( 1 — x + l n x ) x - > i 1 x - > i 1 — x-n—X\ -xx +' ( l n x + l + - ) ( l n x + l ) - xx= l i m - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - = 2 .X- > 1 - 1, 1 _ _ L⑵ l i m [ — ! ——，] = l i m = l i m [ 1 " 1 +件- - - - - l ±x _X TO l n ( l + x ) x i o x l n ( l + x ) D [ x l n ( l + x ) ] 皿 1 + 》 ) + 」—1 + x= l i m - - - - - - - - - - - - - -= l i m - - - - - - - - - - -= —v - » o ( l + x ) l n ( l + x ) + x Dl n ( l + x ) + l + l 22 A,(lnarclanx+ln—)( 3 ) l i m ( —ar ct an x )x = l i m e 冗XT -兀 X— >+<»J L ! _!_ 1 1 1( 4 ) 令 » = [ ( 夕 ] H- - -1 " 4 / ) /〃] * • 贝 !J l n y = 〃x [ l n ( qj + Q $ H- - - h o j 因为 1 £... . . 〃 口n(a :+ •••+ 若) - l n 〃 ]l i m In 片 l i m - - - - -!- - - -二 ---------------------------A— > «*> X— > 8 1X〃 •一i- - - j - - - - - - - -门n % + 叩1 1。 2 +…+ 若 l n a“ > (一 ) '. . 好 + 以 + …+ 若=l i m - - -!- - - - - - - - - - - - - -X— > 8占X= l n 々i + l n 勿+ …+ l n an=ln(a \ -a2- - • 〃 ) .即 l i m In y = l n ( a] Q … a" ) ，从而 l i m [ ( 〃J+ 4 $4 - - -F a^ ) /w ]/x x = l i m y = aI a2 - a„ .X—> 8X—» 8X T 81 1 .证明下列不等式：( 1 )当 0<巧 < 1 2 <工时，t a n X ? > — ；2 t an Xj/小垓 、 八 H i / 1 、ar ct an x⑵: 当 x > 0 时，l n ( l + x ) > - - - - - - - .证 明 ⑴ 令 /( 外 = 王 ，疣( 0, g ) .x 22□J4 ” /、 x se c x - t an x x - t an x因为 f ( x ) = - - - - - -3 ----- >——X X> 0,所以在( 0, 1 )内/( x )为单调增加的.因此当0＜起＜々＜工时有］i ai i 人 ] 人 2 N人2%] x2 ' t an x j xx( 2 )要证( l + x ) l n ( l + x ) > ar ct an x ,即证( l + x ) l n ( l + x ) - ar ct an x > 0.设 /( x ) = ( l + x ) l n ( l + x ) - ar ct an x,则 /( x )在[ 0, ― )上连续,/“ ( x ) = l n ( l + x ) - - -二 .1 + x因为当40吐l n ( l + x ) > 0, 1二> 0 ,所以广( x ) > 0， Xx )在[ 0, + o o )上单调增力口.\ +x因此，当 x > 0 时， A )次0) ,而< 0) = 0,从而/( x ) > 0, B P ( 1 - h r ) l n ( 1 - F x ) - ar ct an x > 0 .t > 01 2 .设/( x ) = x x > u ,求危) 的极值x +2 x <0解x = 0是函数的间断点.当 x ＜0 时, /' ( x ) = l ;当 x ＞0 时， /( x ) = 2 x ， In x + 1 ) .令 /' ( x ) = 0,得函数的驻点x=L 列表:Xy, 0)0( 0, - )eeA 、( 一 ， + 8 )e, m+不存在—0+fix ')/2极大值_ 2e e 极小值/i ----函数的极大值为/( 0) = 2 , 极小值为/( — ) = £e1 3 . 求椭圆工2 _ k " 2 = 3 上纵坐标最大和最小的点.解 2 x -y-x yf+2 yy=0, .当 x= 'y 时, y '= 0 .x -2 y 2将 代 入 椭 圆 方 程 ，得5 y 2 - g y 2 + 〉 2 = 3 , y = ±2 .于是得驻点x =-\y x =\ .因为椭圆上纵坐标最大和最小的点一定存在， 且在驻点处取得，又当x =T 时, y = - 2 , 当x= l 时， 产2 , 所以纵坐标最大和最小的点分别为( 1 , 2 )和( - 1 , - 2 ).1 4 . 求数列｛ 折 ｝ 的最大项.解 令 / ( x)= V ^ = x；( x＞0 ), 则l n / ( x)= - l n x,X]7w/ ( x ) = 4 - - y l n x= ^ T- ( l - l n x)X X Xf\ x )=xx ( 1 - l n x).令 ( ( x)= 0 , 得唯一驻点x =e .因为当0 a v e 时, / '( x)>。 ；当x>e 时, / '3 )< 0 , 所以唯一- 驻点4e为最大值点.因此所求最大项为m ax｛ 后 , 正 ｝ =".1 5 . 曲线弧产s in x( 0 < x< m 上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径.解 _ / = c os x , y " = - s in x ,_ ( l+/2)3 / 2_ ( l+c os2x)3 Z2\y"\ s in x( 0 ＜ 了 ＜ 切 ,3+ c os2 x)2 ( - 2 c os xs in x)- s in x- ( l + c os2 x )2 c os xP '=s in2 x _ - ( l + c os2 x)2 c os x( 3 s in2 x+ c os2 x+ 1 )一 ；~ 7 •s in x在( 0 , 用内， 令/ = 0 , 得驻点x= 2 .因为当0 < x < 2 时， / < 0 ; 当〈 万时， p'>0 , 所以x = q 是p的极小值点，同时也是0 的最( l + c os2- )3 / 2小值点， 最小值为p - - - - - - £ ——= 1 .s in —21 6 . 证明方程d - 5 x- 2 T)只有一个正根. 并求此正根的近似值， 使精确到本世纪末KT?.解设 〃X)=X3 - 5X-2,则/,(X)= 3X2- 5 , 7, ,(X)= 6X .当x>0 吐 / '" )>0 , 所以在( 0 , 一 )内曲线是凹的，又｛0 )= - 2 , l im ( x3 - x- 2 )= R, 所以在X T—( 0 , + oo)内方程/ _ 5 》 - 2 = 0 只能有一个根.( 求根的近似值略)1 7 . 设 / “ ( X 。 )存在， 证明 l im + 〃 )+ / ( ? 一 〃 ) -2 /0 ) = / , , (ATO证 明 H m / ( / + 力)+ / 区一力)- 2 / ( 々)fm八 々 + 3/' & 一 力 )h2 AT O 2 h_ 1 , . 八/ + 力)- - ( 々- 〃)=u r n - - - - - - - - - - - - - - - - - -2 % T O h—_—inr m -u-x- -x-.-+- -/-/-)---/-u- -)-]-+-[-/- -(-x-0-)---r- -(-x-0---h-)-]2 力 T O h= ；.[/ '( x h丁( X ) + "X)- ； '( x - %= ；[ 广 岛 )+ / 、 〃 ( x0 )] =fX xQ).1 8, 设/ ⑷( X o)存在,且f(x o)=f'(x o)=… y ( xo)= O , 证明人X)=O[ (XT O)" ] ( x f o ) .证 明 因为. . f(x ) f\ x )l im - = l im —、X TX ( x- X )“ X TX 。 w( x— X0)W-f\ x ) f(n-'\ x )=hm- - - - - —— — = • • • = l im - - - - -X TX O H ( n - l )( x- x0)n-2 X TX H! (X-X0) 3.心上四=92x 0) = ,〃 ！x—xo X-XQ n\所以. / U)= o[ ( X f 0 )" ] ( X TX o).1 9 .设/ ( x)在3 b )内二阶可导，且/ ' 〃 (x)N O .证明对于Q b )内任意两点X ] ,必及0 4出1 ,有/ [ ( 1 - / X 1 + 比 2 1 W( 1 T) / ( 修)+ 如2 )-证 明 设( 1 - 为+ 及2 =工0 .在X = X o点的一阶泰勒公式为/ ( x)= / ( x( )) + / ( % )( x- X o)+, 『( x- X o)2 ( 其中 J介于 X 与 X o 之间).因为/” ( x)2 0 ,所以府 )决C o)tT( X o)( X - X o).因此. / ( X 1 )2 y ( xo)V '( X o)( X i- X o),左2 )次XOW 'GOXQ-XO).于是有( 1 - Z)/ ( X 1 )+ / / ( X 2 )>( l - / )[ , AxO )+ f 1 -工0 )] +伏 “ )4 / '3 ))(才2 -人0 )]=( 1 ~ f )f[x o)+t f[x (y+f\ x o)[ ( 1 - ?)x 1 +t X 2 ] - /Z( X o)[ ( 1 -t)x (^ t X o]^ X oj+fix ojx o-fyx ojx o= X ^ o),即 / ( xo)< ( l - O / ( x1)+ ( / ( x2) ,所以 X ( 1 - ^ |+ ^ 2 ] ^ ( I - Wi)+ ^ 2 )( 0 < r < 1 ).2 0 .试确定常数a和 瓦使兀r )= x- ( a+ 6 c os x)s in x为当X TO时关于x的5阶无穷小.解 兀0是有任意阶导数的， 它的5阶麦克劳公式为/ ( # / ( 。 ) + 八 ) 尤 + 加 ，+Z 22)X3 + 小 / + 1 2 1 2 2 x5 + g 5 ),\ \ / 2 ! 3 ! 4 ! 5 !a +4b 3 - " 1 6b=(l-a — h )x +- - - - - x + - - - - - - -3 !5 !X、+ 0 ( / ).要使心)二汗- ( +6 c os x)s in x为当x 7 0时关于x的5阶无穷小， 就是要使极限../ ( x) . . r\ -a -b a +4b -a -\ 6b o( x5)nXTO X5 XTO X4 3!X2 5 ! x5存在且不为0 .为此令1 — 4 — 6 = 0a+ 4 b = 0解 之 得 咛 t因为当4 = 3 , b = - 1时 ,3 3l imA— >0回3士 ,x55 ! 4 1所以当4 = ],人= -3时,/(x)=x-(4+b cosx)sinx为当x-»0时关于x的5阶无穷小. 。xQX—>XQ存在是. 危) 在X0的某一去心邻域内有界的 条件. ( 3 )人x )在x0的某一去心邻 域 内 无 界 是l i m / ( x ) =8的_ _ _ _ _ _ _ _ 条件.l x。
