三级火箭发射卫星数学模型稻香书屋.ppt

数学建模数学建模1课件教育第六讲第六讲 运载火箭发射卫星数学模型运载火箭发射卫星数学模型 火火箭箭是是一一个个复复杂杂的的系系统统，，为为了了使使问问题题简简单单明明了了，，我我们们只只从从动动力力系系统统和和整整体体结结构构上上分分析析，，并并且且总总假假设设火火箭箭的的推推动动力力是是足足够够强强大大的 一、为什么不能用一级火箭发一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星射人造卫星 二、理想火箭模型二、理想火箭模型 三、多级火箭系统三、多级火箭系统2课件教育 1)模型假设模型假设 1.1 1.1 卫星轨道是以地球中心为圆心的某个平面上的圆卫星轨道是以地球中心为圆心的某个平面上的圆周，卫星在此轨道上以地球引力作为向心力绕地球作平面周，卫星在此轨道上以地球引力作为向心力绕地球作平面匀速圆周运动；匀速圆周运动； 1.2 1.2 地球是固定于空间中的一个均匀球体，其质量地球是固定于空间中的一个均匀球体，其质量集中于球心；集中于球心； 1.3 1.3 其它星球对卫星的引力忽略不计其它星球对卫星的引力忽略不计。

1. 1.卫星能进入卫星能进入600km600km高空轨道高空轨道, ,火箭必须的最低速度火箭必须的最低速度. . 一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星 3课件教育 设地球半径为设地球半径为R，， 中心中心为为O，质量为，质量为M，曲线，曲线C表示表示地球表面，地球表面， C′表示卫星轨道，表示卫星轨道，C′的半径为的半径为r，卫星的质量为，卫星的质量为mrC′OCR 1. 1.卫星能进入卫星能进入600km600km高空轨道高空轨道, ,火箭必须的最低速度火箭必须的最低速度. . 一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星 4课件教育 如果把卫星放在地球表面，则由（如果把卫星放在地球表面，则由（1 1）式，得）式，得 2 2）建模与求解）建模与求解 根据假设根据假设1.21.2、、1.31.3，卫星只受地球引力，由牛顿万，卫星只受地球引力，由牛顿万有引力定律可知其引力大小为有引力定律可知其引力大小为(1)5课件教育6课件教育 2. 2.火箭推进力及升空速度火箭推进力及升空速度 火箭的简单模型是由一台发动机火箭的简单模型是由一台发动机和一个燃料仓组成。

燃料燃烧产生大和一个燃料仓组成燃料燃烧产生大量气体从火箭末端喷出，给火箭一个量气体从火箭末端喷出，给火箭一个向前的推力火箭飞行要受地球引力、向前的推力火箭飞行要受地球引力、空气阻力、地球自转与公转等的影响，空气阻力、地球自转与公转等的影响，使火箭升空后作曲线运动使火箭升空后作曲线运动 1. 1.卫星能进入卫星能进入600km600km高空轨道高空轨道, ,火箭必须的最低速度火箭必须的最低速度. . 一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星 7课件教育 1 1）模型假设）模型假设 为使问题简化，假设：为使问题简化，假设： 2.1 2.1 火箭在喷气推动下作直线运动，火箭在喷气推动下作直线运动，火箭所受的重力和空气阻力忽略不计；火箭所受的重力和空气阻力忽略不计； 2.2 2.2 在在t t时刻火箭质量为时刻火箭质量为m(t)，速度为，速度为v(t)，且均为时间，且均为时间t t的连续可微函数；的连续可微函数； 2.3 2.3 从火箭末端喷出气体相对火箭本从火箭末端喷出气体相对火箭本身的速度身的速度u为常数为常数, ,即气体相对于地球的速即气体相对于地球的速度为度为v(t)-uuv8课件教育 2 2）建模与分析）建模与分析 由于火箭在运动过程中不断喷出气体，使其质量不由于火箭在运动过程中不断喷出气体，使其质量不断减少，在断减少，在[t, t+△△t ]内的减少量可由微分公式表示为内的减少量可由微分公式表示为即即9课件教育10课件教育 因为喷出气体相对地球的速度为因为喷出气体相对地球的速度为v(t)-u，则由动量守恒，则由动量守恒定律有定律有11课件教育（（1））12课件教育 表表明明火火箭箭所所受受推推力力等等于于燃燃料料消消耗耗速速度度与与喷喷气气速速度度 ( (相相对火箭对火箭) )的乘积。

的乘积 表表明明，，在在一一定定的的条条件件下下，，火火箭箭升升空空速速度度由由喷喷气气速速度度( (相相对对火火箭箭 ) )及及质质量量比比决决定定这这为为提提高高火火箭箭速速度度找找到到了了正正确确途途径径：：尽尽可可能能提提高高火火箭箭燃燃烧烧室室产产生生的的气气体体喷喷出出的的速速度度，，这这需需要要从从燃燃料料上上想想办办法法；；尽尽可可能能减减少少在在时时刻刻火火箭箭的的质质量，这要从结构上想办法量，这要从结构上想办法13课件教育 3. 3. 一级火箭末速度上限一级火箭末速度上限 火火 箭箭 ——卫卫星星系系统统的的质质量量可可分分为为三三部部分分：：净净载载质质量量( (有有效效负负载载，，如如卫卫星星 ) )mp, ，， 燃燃料料质质量量 mF ，，结结构构质质量量 ( (如如 外外壳壳、、燃燃料料容容器器及及推推进进器器 ) ) mS一一级级火火箭箭末末速速度度上上限限主主要是受目前技术条件的限制要是受目前技术条件的限制 1) 1) 模型假设模型假设 3.1 3.1 一般来说，结构质量一般来说，结构质量mS在在mS+ mF中占有一定的中占有一定的比例，在现有技术条件下，要使燃料与发动机的质量和小比例，在现有技术条件下，要使燃料与发动机的质量和小于所载燃料的于所载燃料的1/91/9是很难做到的。

是很难做到的 目前技术条件下不妨设目前技术条件下不妨设相对火箭的喷气速度相对火箭的喷气速度u=3km/s. . 3.2 3.2 初速度初速度v0忽略不计，即忽略不计，即v0 =0. =0.14课件教育 2）建模与求解建模与求解 因因为为升升空空火火箭箭的的最最终终( (燃燃料料已已耗耗尽尽) )质质量量为为mp+ms然然后后将将燃燃料料仓仓和和发发动动机机丢丢弃弃，，只只剩剩下下净净载载体体，，由由式式(1)(1)及及假假设设3.23.2得到其末速度为得到其末速度为 令令 ，，代入上式代入上式，得，得 由此可见，对于给定由此可见，对于给定u值，当有效负荷值，当有效负荷mp=0时，火箭时，火箭末速度达到最大，即火箭末速度上限的数学模型末速度达到最大，即火箭末速度上限的数学模型(2)(3)(3)15课件教育 而卫星能进入而卫星能进入 600km 600km 高空轨道高空轨道, , 火箭末速度最低为火箭末速度最低为 7.67.6km/s. . 即即便便忽忽略略空空气气阻阻力力、、重重力力、、不不携携带带任任何何东东西西的的情情况况下下，，火火箭箭末末速速度度最最大大才才 6 6. .6 6km/s。

因因此此，，用用一一级级火火箭箭发发射射卫卫星星，，在在目目前前技技术术条条件件下下无无法法达达到到在在相相应应高高度度所所需需的的速速度，也就是说度，也就是说单级火箭不能用于发射卫星单级火箭不能用于发射卫星由假设由假设3.13.1，取，取u =3km, =3km, ，便得火箭末速度上限，便得火箭末速度上限(4)(4)16课件教育 这就是单级火箭设计方面的最这就是单级火箭设计方面的最大缺点，因此我们必须反思，有必大缺点，因此我们必须反思，有必要改进火箭的设计要改进火箭的设计 3) 3) 模型分析模型分析 单级火箭一直将将燃料仓和发单级火箭一直将将燃料仓和发动机带到了末端，而未将这些丢弃动机带到了末端，而未将这些丢弃, ,火箭发动机作了许多无用功也就火箭发动机作了许多无用功也就是说发动机必须把整个沉重的火箭是说发动机必须把整个沉重的火箭加速到最后加速到最后, ,但是当燃料耗尽时但是当燃料耗尽时, ,发发动机加速的仅仅是一个空的燃料仓动机加速的仅仅是一个空的燃料仓. .17课件教育 上上面面我我们们对对问问题题分分析析可可以以看看出出：：火火箭箭推推进进力力自自始始至至终终在在加加速速着着整整个个火火箭箭，，然然而而随随着着燃燃料料的的不不断断消消耗耗，，所所出出现现的的无无用用结结构构质质量量也也在在随随之之不不断断加加速速，，作作了了无无用用功功，，效效益益低低，，浪浪费费大大。

所所谓谓 理理想想火火箭箭，，就就是是能能够够随随着着燃燃料料的的燃烧不断抛弃火箭的无用结构燃烧不断抛弃火箭的无用结构二、理想火箭模型二、理想火箭模型 一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星 18课件教育在在t 时刻动量为时刻动量为m(t) v(t) ，而在，而在t+Δt 时刻的动量时刻的动量为为2 2）建模与分析）建模与分析 1 1）模型假设）模型假设 在在[t, t+Δt] 时段丢弃的结构质量与烧掉的燃料质量以时段丢弃的结构质量与烧掉的燃料质量以ββ与与1-β 的比例同时进行的比例同时进行在在[t, t+Δt ]时段丢弃的结构质量时段丢弃的结构质量为为烧掉的燃料质量烧掉的燃料质量19课件教育根据动量守恒定律，有根据动量守恒定律，有20课件教育21课件教育22课件教育 由上式可知，当燃料耗尽，结构质量抛完全弃时，便由上式可知，当燃料耗尽，结构质量抛完全弃时，便只剩下卫星质量只剩下卫星质量mp，从而最终速度的数学模型为，从而最终速度的数学模型为 当当m0足足够够大大，，便便可可使使卫卫星星达达到到我我们们所所希希望望它它具具有有的的任任意意速速度度。

例例如如，，考考虑虑到到空空气气阻阻力力和和重重力力等等因因素素，，估估计计要要使使v=10.5km/s才才 行行 , ,如如 果果 取取 u=3km/s, β=0.1, ,则则可可推推出出 m0/mp =50，即发射，即发射1 1吨重的卫星大约需吨重的卫星大约需5050吨重的理想火箭吨重的理想火箭23课件教育 理理想想火火箭箭设设想想就就是是把把无无用用的的结结构构质质量量连连续续抛抛弃弃以以达达到到最最佳佳的的升升空空速速度度 , ,虽虽然然在在目目前前的的技技术术条条件件下下难难以以办办到到 , ,但但 它它确确为为发发展展火火箭箭技技术术指指明明了了奋奋斗斗目目标标目目前前已已商商业业化化的的多多级级火火箭箭卫卫星星系系统统便便是是朝朝着着这这种种目目标标迈迈出出的的第第一一步步多多级级火火箭箭是是从从末末级级开开始始，，逐逐级级燃燃烧烧 , ,当当 第第 i级级燃燃料料烧烧尽尽时时 , ,第第i+ +1 1级级火箭立即自动点火火箭立即自动点火, ,并抛弃已经无用的第并抛弃已经无用的第i 级三、多级火箭卫星系统三、多级火箭卫星系统二、理想火箭模型二、理想火箭模型 一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星 24课件教育 1 1）模型假设）模型假设 为了简单起见，先作如下假设：为了简单起见，先作如下假设： (1)(1)mi 用表示第用表示第i级火箭质量，级火箭质量，mp表示有效负载。

表示有效负载 (2)(2)设各级火箭具有相同的设各级火箭具有相同的 ，，  mi表示第表示第i级结构质量级结构质量, , (1-  ) mi表示第表示第i级的燃料质量级的燃料质量 (3)(3)喷气相对火箭的速度喷气相对火箭的速度u 相同1. 1. 多级火箭的速度多级火箭的速度25课件教育火箭的初始质量为火箭的初始质量为第一级火箭燃料消耗完毕时，火箭的质量第一级火箭燃料消耗完毕时，火箭的质量为为2 2）模型建立与求解）模型建立与求解此时第一级火箭的速度为此时第一级火箭的速度为 将第一级火箭的结构抛去，点燃第二级火箭，此时火将第一级火箭的结构抛去，点燃第二级火箭，此时火箭的质量为箭的质量为26课件教育并且具有初速度并且具有初速度v1 . 类似可求得第二级火箭燃料消耗完毕类似可求得第二级火箭燃料消耗完毕时，火箭的速度为时，火箭的速度为那么第那么第n级火箭燃料消耗完毕时，火箭的末速度为级火箭燃料消耗完毕时，火箭的末速度为n级火箭的速度级火箭的速度27课件教育2. 2. 各级火箭质量的分配各级火箭质量的分配 1) 1) 问题背景问题背景 如何分配各级火箭质量，使得火箭的有效负荷最大？如何分配各级火箭质量，使得火箭的有效负荷最大？这也就是说，如果知道火箭达到的末速度为这也就是说，如果知道火箭达到的末速度为v，，气体喷射气体喷射的速度为的速度为u，，结构比为结构比为  ；；对于给定的初始质量对于给定的初始质量如何选择如何选择质量质量m1，，m2，，…，，mn，，使得有效负荷使得有效负荷mp 最大最大。

2) 2) 模型假设模型假设同前所述同前所述28课件教育2) 2) 模型建立模型建立 根据我们的分析，可以建立一个单目标，非线性约束根据我们的分析，可以建立一个单目标，非线性约束的优化问题的优化问题29课件教育3) 3) 模型求解模型求解令令 ai 表示第表示第i 级火箭点燃之前火箭系统的质量与该级火箭被级火箭点燃之前火箭系统的质量与该级火箭被抛弃火箭系统质量之比抛弃火箭系统质量之比那末将问题可以转化为另一个优化问题那末将问题可以转化为另一个优化问题30课件教育再令再令 ，那么，那么显然显然再将问题转化为下面的优化问题再将问题转化为下面的优化问题31课件教育32课件教育令令根据根据Lagrange乘数法，令乘数法，令33课件教育34课件教育当当 时时，，取到极大值取到极大值 .最优质量比最优质量比35课件教育从图中我们可以看到：多级火箭的最优质量比随着火箭从图中我们可以看到：多级火箭的最优质量比随着火箭级数级数n的增加而减少的增加而减少. .即以理想火箭的质量比即以理想火箭的质量比为极限为极限. .并且并且36课件教育3) 3) 三级火箭的最优性三级火箭的最优性对于对于v=10.5km/s，，u=3km/s, β=0.1，，利用公式利用公式计算多级火箭的最优质量比计算多级火箭的最优质量比n n1 12 23 34 45 5……+∞+∞mm0 0/m/mp p/ /148.83148.8377.1677.1665.0965.0960.1960.19……48.56648.56637课件教育 从上表中我们看到：三级火箭的从上表中我们看到：三级火箭的最优质量比几乎是二级火箭最优质最优质量比几乎是二级火箭最优质量比量比2 2倍，也就是与二级火箭相比，倍，也就是与二级火箭相比，在达到相同效果的情况下，三级火在达到相同效果的情况下，三级火箭几乎节省了一半。

箭几乎节省了一半 如果用更多级的火箭来代替三级火箭，虽然可以降低如果用更多级的火箭来代替三级火箭，虽然可以降低最优质量比，但降幅已经不大，而且制造更多级的火箭，最优质量比，但降幅已经不大，而且制造更多级的火箭，除了技术上的困难以外，增加的火箭发动机和燃料舱会大除了技术上的困难以外，增加的火箭发动机和燃料舱会大大提高火箭的成本从这个意义上说，用三级火箭发射人大提高火箭的成本从这个意义上说，用三级火箭发射人造卫星是最优的方案此时，造卫星是最优的方案此时， 若想将若想将1 1吨重的卫星送入轨吨重的卫星送入轨道，运载火箭发射时的总重量为道，运载火箭发射时的总重量为7777吨38课件教育39课件教育。