考研数学公式手册随身看(打印版).pdf

目目 录录一、高等数学 ...................................................................................... 1 (一) 函数、极限、连续 ..................................................... 1 (二) 一元函数微分学 ......................................................... 4 (三)一元函数积分学 ......................................................... 11 (四) 向量代数和空间解析几何 ....................................... 16 (五)多元函数微分学 ......................................................... 24 (六)多元函数积分学 ......................................................... 30 (七)无穷级数 ..................................................................... 34 (八)常微分方程 ................................................................. 40 二、线性代数 .................................................................................... 44 (一) 行列式 ....................................................................... 44 (二)矩阵 ............................................................................. 45 (三) 向量 ........................................................................... 48 (四)线性方程组 ................................................................. 50 (五)矩阵的特征值和特征向量 ......................................... 51 (六)二次型 ......................................................................... 53 三、概率论与数理统计 .................................................................... 55 (一)随机事件和概率 ......................................................... 55 (二)随机变量及其概率分布 ............................................. 58 (三)多维随机变量及其分布 ............................................. 60 (四)随机变量的数字特征 ................................................. 63 (五)大数定律和中心极限定理 ......................................... 65 (六)数理统计的基本概念 ................................................. 66 (七)参数估计 ..................................................................... 68 (八)假设检验 ..................................................................... 70 经常用到的初等数学公式 ................................................................ 72 平面几何 ............................................................................ 76 1 一、高等数学一、高等数学(一一) 函数、极限、连续函数、极限、连续 考试内容考试内容 公式、定理、概念公式、定理、概念函数和隐函数函数和隐函数函数：设有两个变量x和y，变量x的定义域为D，如果对于D中的每一个x值，按照一定的法则，变量y有一个确定的值与之对应，则称变量y为变量x的函数，记作：( )yf x= 基本初等函数的性质及其图基本初等函数的性质及其图 形，形， 初等函初等函数，数， 函数关函数关系的建立系的建立：：基本初等函数包括五类函数: 1 幂函数:()yxRµµ=∈; 2 指数函数xya=(0a >且1a ≠); 3 对数函数:logayx=( 0a >且1a ≠); 4 三角函数:如sin ,cos ,tanyx yx yx===等; 5 反三角函数:如 arcsin ,arccos ,arctanyx yx yx===等. 初等函数： 由常数C和基本初等函数经过有限次四则运算与有限此复合步骤所构成，并可用一个数学式子表示的函数，称为初等函数. 数 列 极 限数 列 极 限与 函 数 极与 函 数 极限 的 定 义限 的 定 义及其性质及其性质，，函 数 的 左函 数 的 左极 限 与 右极 限 与 右极限极限1000lim( )()()xxf xAfxfxA−+→=⇔== 2000lim( )()( ),lim ( )0xxxxf xAf xAa xa x→→=⇔=+=其中3(保号定理保号定理) 0lim( ),0(0),0xxf xAAAδ→=><∃>设又或则 一个,000(,),( )0(( )0)xxxxxf xf xδδ∈−+≠><当且时，或无穷小和无穷大的概念及其无穷小和无穷大的概念及其 lim)0,lim( )0xxαβ==设（ 考研数学公式手册随身看(打印版)12 关系，关系， 无穷无穷小 的 性 质小 的 性 质及 无 穷 小及 无 穷 小的比较的比较 ( )(1)lim0,( ))( )xxxxααββ=若则是比（ 高阶的无穷小， αβ记为 (x)=o( (x)). ( )(2)lim,( ))( )xxxxααββ= ∞若则是比（ 低阶的无穷小， ( )(3)lim(0),( ))( )xc cxxxααββ=≠若则与（是同阶无穷小，是同阶无穷小， ( )(4)lim1,( ))( )xxxxααββ=若则与（ 是等价的无穷小， αβ记为 (x)(x) ( )(5)lim(0),0,( ))( )kxc ckxxxααββ=≠>若则是（ 的k阶无穷小 0x →常用的等阶无穷小：当时 sinarcsintan,arctanln(1)e1xxxxxxx+− 2111cos21(1)1nxxxxn−+− 无穷小的性质 （1） 有限个无穷小的代数和为无穷小 （2） 有限个无穷小的乘积为无穷小 （3） 无穷小乘以有界变量为无穷小 Th 在同一变化趋势下， 无穷大的倒数为无穷小； 非零的无穷小的倒数为无穷大 极限的四极限的四则运算则运算 lim( ),lim ( ).f xAg xB==则 (1)lim( ( )( ))f xg xAB±=±； (2)lim( ) ( )f x g xA B=； ( )(3)lim(0)( )f xABg xB=≠ 3 极限存在极限存在的两个准的两个准 则：则： 单调有单调有界 准 则 和界 准 则 和夹逼准则夹逼准则，，两 个 重 要两 个 重 要极限：极限： 1()( )( ),xxf xxϕφ≤≤0夹逼定理）设在 的邻域内，恒有（ 00lim( )lim ( ),xxxxxxAϕφ→→==且0lim( )xxf xA→=则 2 单调有界定理：单调有界的数列必有极限单调有界定理：单调有界的数列必有极限 3 两个重要极限：两个重要极限： 0sin(1)lim1xxx→= 10(2)lim(1)exxx→+= 重要公式：重要公式：0010111011,lim0,,nnnnmmxmmanmba xa xaxanmb xb xbxbnm−−−→∞−=++++=<++++∞>LL 4 几个常用极限特例 lim1,nnn→∞= lim arctan2xxπ→+∞= lim arctan2xxπ→−∞= − lim arccot0,xx→+∞= lim arccotxxπ→−∞= lim e0,xx→−∞= lim e,xx→+∞= ∞ 0lim1,xxx+→+= 函数连续函数连续的概念：的概念： 函函数间断数间断 点的类点的类 型：型： 初等函初等函数 的 连 续数 的 连 续性：性： 闭区间闭区间上 连 续 函上 连 续 函数的性质数的性质 连续函数在闭区间上的性质： (1) (连续函数的有界性)设函数( )f x在[], a b上连续,则( )f x 在[], a b上有界,即∃常数0M >，对任意的[],xa b∈,恒有 ( )f xM≤. (2) (最值定理)设函数( )f x在[], a b上连续,则在[], a b上 ( )f x至少取得最大值与最小值各一次,即,ξ η∃使得: 24 ( )( ){}[]max,,a x bff xa bξξ≤ ≤=∈； ( )( ){}[]min,,a x bff xa bηη≤ ≤=∈. (3) (介值定理)若函数( )f x在[], a b上连续,µ是介于( )f a与 ( )f b(或最大值M与最小值m)之间的任一实数,则在[], a b 上至少∃一个ξ,使得( )().fabξµξ=≤≤ (4) (零点定理或根的存在性定理)设函数( )f x在[], a b上连 续,且( )( )0f af b⋅<,则在(), a b内至少∃一个ξ,使得 ( )()0.fabξξ=<< (二二) 一元函数微分学一元函数微分学 考试内容考试内容 对应公式、定理、概念对应公式、定理、概念 导数和微导数和微分的概念分的概念左右导数左右导数导数的几导数的几何意义和何意义和 物理意义物理意义 1导数定义：：0000()()'()limxf xxf xfxx→+−=（（1）） 或或 0000( )()'()limxxf xf xfxxx→−=− （（2）） 2 函数( )f x在0x处的左、右导数分别定义为： 左导数： 00000000()()( )()()limlim,()xxxf xxf xf xf xfxxxxxxx−−−∆ →→+∆−−′===+∆∆−右导数：0000000()()( )()()limlimxxxf xxf xf xf xfxxxx+++∆ →→+∆−−′==∆− 函数的函数的可可导性与连导性与连续性续性之之间间的关系，的关系， 平平面曲线面曲线的的Th1: 函数( )f x在0x处可微( )f x⇔在0x处可导 Th2: 若函数( )yf x=在点0x处可导， 则( )yf x=在点0x处连续， 反之则不成立.即函数连续不一定可导. Th3: 0()fx′存在00()()fxfx−+′′⇔= 5 切线切线和和 法线法线 00( )( )(,)f xxxf xM xy=0设函数在处可导，则在处的 0000000-'()()1-(),'()0.'()yyfxxxyyxxfxfx=−= −−≠切线方程：法线方程: 导数和微导数和微分的四则分的四则运算，运算， 初等初等函数的导函数的导数，数， 四则运算法则:设函数( )uu x=，( )vv x=在点x可导则 (1) ()uvuv′′′±=± ()d uvdudv±=± (2) ()uvuvvu′′′=+ ()d uvudvvdu=+ (3) 2( )(0)uvuuvvvv′′−′ =≠ 2( )uvduudvdvv−= 基本导数与微分表 (1) yc=（常数） 0y′ = 0dy = (2) yxα=(α为实数) 1yxαα−′ = 1dyxdxαα−= (3) xya= lnxyaa′ = lnxdyaadx= 特例 (e )exx′ = (e )exxddx= (4) 1lnyxa′ = 1lndydxxa= 特例 lnyx= 1(ln )xx′ = 1(ln )dxdxx= (5) sinyx= cosyx′ = (sin )cosdxxdx= (6) cosyx= sinyx′ = − (cos )sindxxdx= − (7) tanyx= 221seccosyxx′ == 2(tan )secdxxdx= (8) cotyx= 221cscsinyxx′ = −= − 2(cot )cscdxxdx= − (9) secyx= sec tanyxx′ = (sec )sec tandxxxdx= (10)cscyx= csc cotyxx′ = − (csc )csc cotdxxxdx= − (11) arcsinyx= 211yx′ =− 21(arcsin )1dxdxx=− (12) arccosyx= 211yx′ = −− 21(arccos )1dxdxx= −− 36 (13) arctanyx= 211yx′ =+ 21(arctan )1dxdxx=+ (14) arccotyx= 211yx′ = −+ 21(arccot )1dxdxx= −+ (15) yshx= ychx′ = ()d shxchxdx= (16) ychx= yshx′ = ()d chxshxdx= 复合复合函数函数，，反反函数，函数， 隐隐函数函数以以及及参参数数方程方程所确所确定的定的函数的微函数的微分分 法法，， 1 反函数的运算法则: 设( )yf x=在点x的某邻域内单调连 续，在点x处可导且( )0fx′≠，则其反函数在点x所对应的 y处可导，并且有1dydxdxdy= 2 复合函数的运算法则:若( )xµϕ=在点x可导,而( )yf µ= 在对应点µ(( )xµϕ=)可导,则复合函数( ( ))yfxϕ=在点x可 导,且( )( )yfxµϕ′′′=⋅ 3 隐函数导数dydx的求法一般有三种方法： (1)方程两边对x求导，要记住y是x的函数，则y的函数是 x的复合函数.例如1y，2y，ln y，ey等均是x的复合函数. 对x求导应按复合函数连锁法则做. (2)公式法.由( , )0F x y =知 ( , )( , )xyF x ydydxF x y′= −′,其中，( , )xF x y′， ( , )yF x y′分别表示( , )F x y对x和y的偏导数 (3)利用微分形式不变性 高阶导数高阶导数，，一 阶 微 分一 阶 微 分形 式 的形 式 的 不不变变性性 常用高阶导数公式 （1）( )( )()ln(0)(e )exnxnxnxaaaa=>= （2）( )(sin)sin()2nnkxkkxnπ=+⋅ （3）( )(cos)cos()2nnkxkkxnπ=+⋅ 7 （4）( )()(1)(1)mnm- nxm m-m- n+x=L （5）( )(1)(1)!(ln )( 1)nnnnxx−−= − （6）莱布尼兹公式：若( )( )u x ,v x均n阶可导，则 ( )( )()0()nniin- ini=uvc u v=∑，其中(0)u=u，(0)v= v 微分微分中值中值 定理，定理， 必必达达法法则，则， 泰勒泰勒公式公式 Th1(费马定理)若函数( )f x满足条件： (1)函数( )f x在0x的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有 0( )()f xf x≤或0( )()f xf x≥, (2) ( )f x在0x处可导,则有 0()0fx′= Th2 (罗尔定理) 设函数( )f x满足条件： (1)在闭区间[ , ]a b上连续； (2)在( , )a b内可导，则在( , )a b内∃一个ξ，使 ( )0f ξ′= Th3 (拉格朗日中值定理) 设函数( )f x满足条件： (1)在[ , ]a b上连续；(2)在( , )a b内可导；则在( , )a b内∃一个ξ，使( )( )( )f bf afbaξ−′=− Th4 (柯西中值定理) 设函数( )f x，( )g x满足条件： (1)在[ , ]a b上连续； (2)在( , )a b内可导且( )fx′，( )g x′均存在， 且( )0g x′≠则在( , )a b内∃一个ξ，使 ( )( )( )( )( )( )f bf afg bg agξξ′−=′− 洛必达法则： 法则Ⅰ (00型)设函数( )( ),f xg x满足条件： ( )( )00lim0, lim0xxxxf xg x→→==; ( )( ),f xg x在0x的邻域内可导 (在0x处可除外)且( )0gx′≠;( )( )0limxxfxgx→′′存在(或∞).则 ( )( )( )( )00limlim.xxxxf xfxg xgx→→′=′ 48 法则I′ (00型)设函数( )( ),f xg x满足条件： ( )( )lim0,lim0xxf xg x→∞→∞==;∃一个0X >,当xX> 时,( )( ),f xg x可导,且( )0gx′≠;( )( )0limxxfxgx→′′存在(或∞).则 ( )( )( )( )00limlim.xxxxf xfxg xgx→→′=′ 法则Ⅱ(∞∞型) 设函数( )( ),f xg x满足条件： ( )( )00lim, limxxxxf xg x→→= ∞= ∞; ( )( ),f xg x在0x 的邻域内可 导(在0x处可除外)且( )0gx′≠;( )( )0limxxfxgx→′′存在(或∞).则 ( )( )( )( )00limlim.xxxxf xfxg xgx→→′=′同理法则II′(∞∞型)仿法则I′可写出 泰勒公式: 设函数( )f x在点0x处的某邻域内具有1n+阶导 数，则对该邻域内异于0x的任意点x，在0x与x之间至少∃ 一个ξ，使得 2000001( )()()()()()2!fxfxfxxxfxxx′′′=+−+−+L ( )00()()( )!nnnfxxxRxn+−+ 其中 (1)10( )( )()(1)!nnnfRxxxnξ++=−+称为( )f x在点0x处的n阶泰勒余项.令00x =，则n阶泰勒公式 ()21(0)( )(0)(0)(0)( )2!!nnnffxffxfxxRxn′′′=+++++L……(1) 9 其中 (1)1( )( )(1)!nnnfRxxnξ++=+，ξ在 0 与x之间.(1)式称为麦克劳林公式 常用五种函数在00x =处的泰勒公式 1211e12!!(1)!nxnxxxxennξ+= ++++++L 或 2111()2!!nnxxxo xn=+++++L 1311sinsinsin()3!!2(1)!2nnxnxnxxxnnπξπ++=−+++++L 或 31sin()3!!2nnxnxxo xnπ=−+++L 1211cos1coscos()2!!2(1)!2nnxnxnxxnnπξπ++=−+++++L 或 211cos()2!!2nnxnxo xnπ= −+++L 1231111( 1)ln(1)( 1)23(1)(1)nnnnnxxxxxxnnξ+−+−+=−+−+ −+++L 或 23111(1)()23nnnxxxxo xn−=−+−+−+L 2(1)(1)(1)(1)12!!mnm mm mmnxmxxxn−−−++=++++LL 11(1)(1)(1)(1)!nm nm mmnxnξ+− −−−++++L 或 2(1)(1)12!mm mxm xx−+=+++ L (1)(1)()!nnm mmnxo xn−−+++L 函数单调函数单调性的性的判别判别，，函数的极函数的极值值，， 函数的函数的图形的图形的凹凹凸凸性，性， 拐拐点点1 函数单调性的判断： Th1 设函数( )f x在( , )a b区间内可导，如果对( , )xa b∀ ∈，都有'( )0fx >（或'( )0fx <） ，则函数( )f x在( , )a b内是单调增加的（或单调减少） Th2 （取极值的必要条件）设函数( )f x在0x处可导，且在0x处取极值，510 及渐近线及渐近线，，用函数图用函数图形描绘函形描绘函数最大值数最大值和最小值和最小值，，则0'()0fx=. Th3 （取极值的第一充分条件）设函数( )f x在0x的某一邻域内可微，且0'()0fx=（或( )f x在0x处连续，但0'()fx不存在.） (1)若当x经过0x时，'( )fx由“+”变“- ” ，则0()f x为极大值； (2)若当x经过0x时，'( )fx由“- ”变“+” ，则0()f x为极小值； (3)若'( )fx经过0xx=的两侧不变号，则0()f x不是极值. Th4 (取极值的第二充分条件)设( )f x在点0x处有''( )0fx ≠，且0'()0fx=，则 当0''()0fx<时，0()f x为极大值； 当0''()0fx>时，0()f x为极小值. 注：如果0''()0fx ＝，此方法失效. 2 渐近线的求法： (1)水平渐近线 若lim( )xf xb→+∞=，或lim( )xf xb→−∞=，则yb= 称为函数( )yf x=的水平渐近线. (2)铅直渐近线 若0lim( )xxf x−→= ∞，或0lim( )xxf x+→= ∞，则0xx= 称为( )yf x=的铅直渐近线. (3)斜渐近线 若( )lim,lim[ ( )]xxf xabf xaxx→∞→∞==−，则 yaxb=+称为( )yf x=的斜渐近线 3 函数凹凸性的判断： Th1 (凹凸性的判别定理）若在 I 上''( )0fx <（或''( )0fx >） ， 则( )f x在 I 上是凸的（或凹的）. Th2 (拐点的判别定理 1)若在0x处''( )0fx =， （或''( )fx不存 在） ，当x变动经过0x时，''( )fx变号，则00(,())xf x为拐点. 11 Th3 (拐点的判别定理 2)设( )f x在0x点的某邻域内有三阶导数，且''( )0fx =，'''( )0fx ≠，则00(,())xf x为拐点 弧弧微分，微分， 曲曲率率的概念的概念，，曲率半径曲率半径 1.弧微分：21'.dSy dx=+ 2.曲率：曲线( )yf x=在点( , )x y处的曲率322''.(1' )yky=+ 对于参数方程( ),( )xtytϕψ==3222'( )''( )''( )'( ).[ ' ( )' ( )]ttttkttϕψϕψϕψ−=+ 3.曲率半径： 曲线在点M处的曲率(0)k k ≠与曲线在点M处的曲率半径ρ有如下关系：1.kρ = (三三)一元函数一元函数积积分学分学 考试内容考试内容 对应公式、定理、概念对应公式、定理、概念 原原函数和函数和不不定定积积分分的概念，的概念， 不不定定积积分的分的基本性质基本性质 基本性质 1( )( )kf x dxkf x dx=∫∫ （0k ≠为常数） 21212[ ( )( )( )]( )( )( )kkf xfxfx dxf x dxfx dxfx dx±±±=±±±∫∫∫∫LL 3 求导：[( )]'( )f x dxf x=∫ 或微分：( )( )df x dxf x dx=∫ 4'( )( )F x dxF xC=+∫或 ( )( )dF xF xC=+∫（C是任意常数） 基本基本积积分分 公式公式 111kkx dxxCk+=++∫ （1k ≠ −） 211dxCxx= −+∫ 12dxxCx=+∫ 1lndxxCx=+∫ (0,1)eelnxxxxaa dxCaadxCa=+>≠=+∫∫ 612 cossinsincosxdxxCxdxxC=+= −+∫∫ 221sectancosdxxdxxCx==+∫∫ 221csccotsindxxdxxCx== −+∫∫ 1cscln csccotsindxxdxxxCx==−+∫∫ 1secln sectancosdxxdxxxCx==++∫∫ sec tanseccsc cotcscxxdxxCxxdxxC=+= −+∫∫ tanln coscotln sinxdxxCxdxxC= −+=+∫∫ 2221arctanarctan1dxxdxCxCaaaxx=+=+++∫∫ 222arcsinarcsin1dxxdxCxCaaxx=+=+−−∫∫ 222111lnln2211dxaxdxxCCaaxxaxx++=+=+−−−−∫∫ 2222lndxxxaCxa=+±+±∫ 重要公式重要公式 (1)( )[, ]f xl l−设在上连续，则 0( )[( )()]lllfx dxfxfxdx−=+−∫∫00,2(),lfxfx d xfx=∫当 （） 为 奇 函 数当 （） 为 偶 函 数 2f xTa（ ）设（ ）是以为周期的连续函数， 为任意实数，则202( )( )( ).TaTTTafx dxfx dxfx dx+−==∫∫∫ 22201(3)4aax dxaπ−=∫ 13 2200131,22 2(4)sincos1321,23nnnnnnnxdxxdxnnnnnπππ−−−=−−−∫∫LL当 为偶数当 为奇数 20,5sincossincos0,nmnxmxdxnxmxdxnmππππ===≠∫∫-（ ） 20sincossincos0nxmxdxnxmxdxπππ−==∫∫ 20,coscoscoscos00,nmnxmxdxnxmxdxnmππππ−====≠∫∫ 定定积积分的分的概念和基概念和基本性质，本性质， 定定积积分分中值中值定理定理 1．． 定定积积分的基本性质分的基本性质 (1)( )( )( )bbbaaaf x dxf t dtf u du===∫∫∫L定积分只与被积函数和积分限有关，而与积分变量无关，即 (2)( )( )baabf x dxf x dx= −∫∫ (3)badxba=−∫ (4)[ ( )( )]( )( )bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx±=±∫∫∫ (5)( )( )(bbaakf x dxkf x dx k=∫∫为常数） (6)( )( )( )bcbaacf x dxf x dxf x dx=+∫∫∫ (7)( )( ),[ , ],( )( ).bbaaf xg x xa bf x dxg x dx≤∈≤∫∫比较定理：设则 ( )[ , ]( )0;baf xxa bf x dx≥∈≥∫推论：1.当0,时， 2.|( )||( )|bbaaf x dxf x dx≤∫∫ (8)( ),[ , ],,()( )()bamf xM xa bm Mm baf x dxM ba≤≤∈−≤≤−∫估值定理：设其中为常数，则 714 (9)( )[ , ][ , ],( )() ( )baf xa ba bf x dxba fξξ∃=−∫积分中值定理：设在上连续，则在上至少 一个使1( )( )baff x dxbaξ =−−−−−∫平均值公式 积积分上限分上限的函数及的函数及其导数，其导数， 牛牛顿——莱顿——莱布尼兹布尼兹公公式式 Th1[][]( )xaf xabxabF xf t dtx∈=∫设函数（ ）在 ，上连续，， ，则变上限积分（ ）对 可导 '( )( )(( ))( )xaddFxF xf t dtfxdxdx===∫且 有()( )( ),'( )[( )]'( ).xaF xf t dtFxfxxϕϕϕ=∫推论1 设=则 ( )'( )( ))[ ( )] '( )[ ( )]'( )xxxf t dtfxxfxxϕφϕϕφφ=−∫推论2 ( ( )( )''(( ) ( ))( ( )( ))xxxxaaf t g x dtg xf t dtϕϕ=∫∫推论3 ()'( )( )( )[( )]'( )xagxf t dtg x fxxϕϕϕ=+∫ Th2( ),,f xa bxa b∈设在[]上连续，[],则 ( )( )[ , ]xaf x dtf xa b∫是在上的一个原函数 Th3( ),f xa b牛顿-莱布尼茨公式:设在[]上连续， ( )F x ( )f x是的的原原函数，则函数，则( )( ) |( )( )bbaafx dxF xF bF a==−∫ 不不定定积积分分和定和定积积分分的的换换元元积积分分法法与分与分部积部积分分法法 1 不不定定积积分：分： 分分部积部积分分法法：：udvuvvdu=−∫∫选择 u，dv 的原则：积分容易者选作dv，求导简单者选为 u 换换元元积积分分法法：：( )( ),f u duF uC=+∫设 [( )]'( )[( )]( )fxx dxfxdxϕϕϕϕ=∫∫则( )( )( )[ ( )]uxf u duF uCFxCϕϕ==+=+∫设 15 2．． 定定积积分分 换换元元法法:f xa bxtϕ设函数（）在［ ， ］上连续，若 ＝（）满足： '( )0.ttϕαβϕ≠(1) ( )在［ ， ］上连续，且 (2)( )().aabtϕϕ βαβ=⋅=并且 当 在［，］上变化时， tabϕ （ ）的值在［ ， ］上变化，则，则 ( )[( )]'( ).bafx dxftt dtβαϕϕ=∫∫ 分分部积部积分公式分公式 '( ), '( ),u xv xa bu x v x设（）， （）在［ ， ］上具有连续导函数则( ) '( )( ) ( ) |( ) '( )aaabbbu x vx dxu x v xv x ux dx=−∫∫ 3．． 定定积积分分不不等式等式证明中常用证明中常用的的不不等式等式 22(1)2abab+≥ 1(2)0,2aaa>+≥ (3)柯西不等式： () ()222(( ) ( ))( )( ),bbbaaaf x g x dxfx dxgx dxf xg xab≤∫∫∫其中（ ），（ ）在［ ， ］上连续 有理函数有理函数，，三角三角函数函数的有理式的有理式和和简简单无单无理函数的理函数的积积分，分， 广广义义积积分和定分和定积积分的应分的应 用用 1． 三角三角函数函数代换代换 函数( )f x含根式 所作代换 三角形示意图 22ax− sinxat= 22ax+ tanxat= 22xa− secxat= 816 有理函数积分有理函数积分 (1)ln ||AdxAxaCxa=−+−∫ 11(2)(1)()1 ()nnAAdxC nxanxa−= −+≠−−−∫ 2222222424(3)4()()[()]24pxunnq pnadxdxdupq pxpx quax=−= →=←  −+++++∫∫∫令 + 221211(4)()()2(1)()2()nnnx apdxdxaxpx qnxpx qxpx q−+=−+−++−++++∫∫（（240pq−<）） 4．． 广广义义积积分分 （（1）） 无穷限的无穷限的广广义义积积分（无穷分（无穷积积分）分） f x设（ ）连续，则( )lim( )baabf x dxf x dx∞→+∞∫∫+１.=( )lim( )baaf x dxf x dx∞→−∞∫∫b-2.= 3.( )( )( )ccf x dxf x dxf x dx+∞+∞−∞−∞=+∫∫∫ （（2）） 无界函数的无界函数的广广义义积积分（分（瑕积瑕积分）分） 01.( )lim( ),(( ))bbaaf x dxf x dxxbf xεε+−−→=→→ ∞∫∫当时， 02.()lim(),(bbaafx dxfx dxxafxεε+++→=→→ ∞∫∫当时 ， （ ））00.( )lim( )lim( )(bcbaacf x dxf x dxf x dxxcfxεηεη++−+→→=+→→ ∞∫∫∫３当时，（ ）） (四四) 向量代向量代数和数和空空间间解析解析几何几何 考试内容考试内容 对应公式、定理、概念对应公式、定理、概念 向量的概1.向量：既有大小又有方向的量，又称矢量. 17 念， 向量的线性运算，2.向量的模：向量av的大小.记为av. 3.向量的坐标表示：若向量用坐标表示 { , , }axiyjzkx y z=++=vvvv，则222axyz=++v 4 向量的运算法则： Ⅰ加减运算 设有矢量111{ ,,}ax y z=v，222{,,}bxyz=v，则 121212{,,}.abxxyyzz±=±±±vv Ⅱ.数乘运算 数乘运算∆矢量av与一数量λ之积aλv， 000,0,a aaaa aaλλλλλλ>=<uu vvvvvuu vvv即与 同向0=0,即为零矢量-即与 反向 设111{ ,,}ax y z=v，则 111{,,}.axyzλλλλ=v 向量的数量积和向量积， 向量的混合积，1 矢量的数积（点积，内积） ： 矢量av与bv的数量积()cos,.a ba ba b⋅=vvvvvv 设111{ ,,}ax y z=v，222{,,}bxyz=v，则121212.a bx xy yz z⋅=++vv 2 矢量的向量积（叉积，外积） ：设有两个向量av与bv，若∃一个矢量cv，满足如下条件 （1）sin( , )ca ba b=vv vv v； （2）,ca cb⊥⊥vv vv，即cv垂直于av，bv所确定的平面； （3）av，bv，cv成右手系.则称矢量cv为矢量av与bv的矢量积， 记cab=×vvv.设111{ ,,}ax y z=v222{,,}bxyz=v，则 918 111111111222222222.ijkyzx zxya bxyzijkyzxzxyxyz×==−+vvvvvvvv 3 混合积：设有三个矢量, ,a b cv v v，若先作av，bv的叉积a b×vv，再与cv作点积()a bc×⋅vvv，则这样的数积称为矢量av，bv，cv的混合积，记为( , , )a b c，即( , , )().a b ca bc=×⋅vvv 设111{ ,,}ax y z=v，222{,,}bxyz=v，333{,,}cxy z=v， 则111222333( , , )xyza b cxyzxyz= 两两 向 量 垂向 量 垂直直、、 平行平行的的条件条件，， 两两向向量量的夹的夹角角，，向 量向 量 的的 坐坐标 表 达标 表 达 式式及其运算及其运算，，单单位向量位向量，，方 向方 向 数 与数 与方向余弦方向余弦，，1 向量之间的位置关系及结论 设111{ ,,}ax y z=v，222{,,}bxyz=v，333{,,}cxy z=v （1）12121200aba bx xy yz z⊥⇔⋅=⇔++=vvv v； （2）111222//0xyzaba bxyz⇔×=⇔==vvvvv； 其中222,,xy z之中有一个为“0” ，如20x =，应理解为10x =； （3）av，bv不共线⇔ ∃不全为零的数,λ µ使0abλµ+=vvv； （4）矢量av与bv的夹角，可由下式求出 121212222222111222cos()x xy yz za bxyzxyz∧++=++⋅++vv； 19 （5）av，bv，cv共面⇔ ∃不全为零的数, ,vλ µ，使 0abvcλµ++=vvvv或者( , , )0a b c = 2 单位向量：模为 1 的向量. 向量av的单位向量记作0auu v， 0222222222,,.axyzaaxyzxyzxyz==++++++vuu vv 3 向量的方向余弦： 222222222cos,cos,cos,xyzxyzxyzxyzαβγ===++++++其中,,α β γ为向量av与各坐标轴正向的夹角. 4 单位向量的方向余弦：显然0{cos,cos,cos }aαβγ=uu v，且有 222coscoscos1.αβγ++= 曲 面 方 程曲 面 方 程和和 空空 间间 曲曲线 方 程线 方 程 的的概念，概念， 平面平面方程方程，， 直线直线方程方程，， 平面平面与与平面平面、、 平平面面与与直线直线、、直 线直 线 与与 直直线线 的的 以以 及及平行平行、、 垂直垂直的的条件条件，， 点点到 平 面到 平 面 和和点点 到 直 线到 直 线1 平面方程 (1)一般式方程 0AxByCzD+++=，法矢量{ , , }nA B C=r，若方程中某个 坐 标 不 出 现 ， 则 平 面 就 平 行 于 该 坐 标 轴 ， 例 如 平 面0//AxCzDy++=轴 (2)平面的点法式方程 000()()()0A xxB yyC zz−+−+−= 000(,,)M xyz为平面上已知点，{ , , }nA B C=r为法矢量 (3)三点式方程 111212121313131xxyyzzxx yy zzxx yy zz−−−−−−−−− 1111(,,)Mx y z,2222(,,)Mxyz,3333(,,)Mxyz为平面上的三个点 1020 的距离的距离 (4)截距式方程 1xyzabc++=，, ,a b c分别为平面上坐标轴上 的截距，即平面通过三点 ( ,0,0),(0, ,0),(0,0, )abc 2 直线方程 一般式方程(两平面交线)：1111222200A xB yC xDA xB yC xDππ+++=+++=12平面平面 平面π1与平面π2的法矢量分别为1111{,,}nA B C=uu r， 2222{,,}nA B C=uu r ， 直线的方向矢量为12111222ijksnnA B CA B C=×=rrrruu ruu r (2)标准式方程 000xxyyzzlmn−−−== 000(,,)M xyz为直线上已知点， { ,, }sl m n=r为直线的方向矢量 (3)两点式方程 111212121xxyyzzxxyyzz−−−==−−− 其中1111(,,)Mx y z，2222(,,)Mxyz为直线上的两点 (4)参数式方程000xxltyymtzznt=+=+=+ 000(,,)M xyz为直线上已知 点，{ ,, }sl m n=r为直线的方向矢量 3 平面间的关系 设有两个平面：平面π1：11110A xB yC zD+++=平面π2： 22220A xB yC zD+++= (1)平面π1//平面π2111222ABCABC⇔== (2)平面π1⊥平面π21212120A AB BC C⇔++= 21 (3)平面π1与平面π2的夹角θ，由下式确定 121212222222111222cosA AB BC CABCABCθ++=++++ 4 平面与直线间关系 直线000:xxyyzzLlmn−−−== 平面π1：11110A xB yC zD+++= (1)//0LAlBmCnπ ⇔++= (2)ABCLlmnπ⊥⇔== (3)L与π的夹角θ，由下式确定 222222sinAlBmCnABClmnθ++=++++ 5 直线间关系 设有两直线：直线1111111:xxyyzzLlmn−−−== 直线2222222:xxyyzzLlmn−−−== (1)11112222//lmnLLlmn⇔== (2)121 212120LLl lm mn n⊥⇔++= (3)直线1L与2L的夹角θ，由下式确定 1 21212222222111222cosl lm mn nlmnlmnθ++=++++ 6 点到平面的距离：000(,,)M xyz到平面 :0AxByCzDπ+++=的距离为 000222AxByCzDdABC+++=++ 7 点到直线的距离：000(,,)M xyz到直线 1122 1111111:xxyyzzLlmn−−−==距离为 0101011012221ijkxxyyzzlmnM MM PdM Plmn−−−×==++rrruuuuuuruuuuruuuur 球面球面，， 母线母线平行于坐平行于坐标轴标轴的的柱柱面面，， 旋转轴旋转轴为坐标轴为坐标轴的的旋转曲旋转曲面面的的方程方程，， 准线为各种形式的柱面方程的求法 (1) 准线为(),0:0fx yz=Γ=,母线// z轴的柱面方程为 (),0f x y =, 准线为(),0:0x zyϕ=Γ=,母线// y轴的柱面方程为 (),0x zϕ=, 准线为(),0:0y zxψ=Γ=,母线// x轴的柱面方程为 (),0y zψ=. (2) 准线为()(), ,0:, ,0fx y zg x y z=Γ=,母线的方向矢量为{},,l m n的柱面方程的求法 首 先 , 在 准 线 上任 取 一 点(), ,x y z, 则 过 点(), ,x y z的 母 线 方 程 为XxYyZzlmn−−−== 其 中, ,X Y Z为 母 线 上 任 一 点 的 流 动 坐 标 , 消 去 方 程 组23 常用常用的二的二次曲面方次曲面方程程及其图及其图形，形， 空空间间曲曲线线的的参参数数方程方程和一和一般方程般方程，， 空空间间曲线曲线在在坐标面坐标面上上的的投影曲投影曲线方程线方程. ()(), ,0, ,0fx y zg x y zXxYyZzlmn==−−−== 中的, ,x y z便得所求的柱面方程 常见的柱面方程 名称 方程 图形 圆柱面 222xyR+= xyzo 椭圆柱面 22221xyab+= xyz 双曲柱面 22221xyab−= - aoaxyz 抛物柱面 ()22,0xpy p=>zyx 标标准二准二次方程次方程及其图形及其图形 名称 方程 图形 椭球面 2222221xyzabc++= (, ,a b c均为正数) obczyx 1224 单叶双曲面 2222221xyzabc+−= (, ,a b c均为正数) 双叶双曲面 2222221xyzabc−−+=(, ,a b c均为正数) 椭圆的抛物面 22222xypzab+= (, ,a b p为正数) 双曲抛物面 (又名马鞍面) 22222xypzab−= (, ,a b p均为正数) 二次锥面 2222220xyzabc+−= (, ,a b c为正数) oyxz (五五)多多元函数微分学元函数微分学 考试内容考试内容 对应公式、定理、概念对应公式、定理、概念 25 多多元函数元函数的概念，的概念， 二二元函数的元函数的几何意义几何意义，，二元函数二元函数的极限和的极限和连续的概连续的概念，念， 二元函数( , )zf x y=连续，可导（两偏导存在）与可微三者的关系如下： 可导←可微→函数连续“← →”表示可推出 用全微分定义验证一个可导函数的可微性，只需验证： ''( ,)( , )lim0xyzfx yxfx yyρρ→∞∆ −∆ −∆是否为 有界闭区有界闭区域域上上多多元元连续函数连续函数的性质，的性质， 多多元函数元函数偏偏导数和导数和全全微分，微分， 全全微微分存在的分存在的必要必要条件条件和和充充分分条条件件，， 基本基本原原理理 ''''''''1()( , )( , ),( , ),( , )( , )xyyxxyyxThzf x yfx yfx yDfx yfx y==求偏导与次序无关定理设的两个混合偏导数在区域 内连续 则有2()( , )( , ),,,Thzf x yP x yzzzzdzdxdyxyxy=∂∂∂∂=+∂∂∂∂可微与偏导存在的关系定理 若在点处可微 则在该点处必存在 且有3()( ,),( ,)( ,)( ,)( ,)Thzzfx yP x yyP x yzfx yP x y∂∂=∂∂=偏 导 存 在 与 可 微 的 关 系 定 理z若的 两 个 偏 导 数在x上 的 某 领 域 内 存 在 ,且 在连 续 ,则在点 处 可 微 多多 元元 复 合复 合函数、函数、 隐函隐函数 的数 的 求求 导导法法，， 二阶二阶偏偏导数，导数， 方向方向导 数 和导 数 和 梯梯度度，， 1 复合复合函数微分函数微分法法 (1)( , ),( , ),( , ),zf u v ux y vx yϕφ===设则zzuzvxuxvxzzuzvyuyv y∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂ ∂=+∂∂∂∂ ∂ (2)( , ),( ),( ),,zf u v ux vxz duz dvzu dxv dxϕφ===∂∂=+∂∂设dz则称之为 的全导数dx 1326 (3)( , , ),( , ),( , ),0zf x u v ux y vx yzffufvxxuxvxzfufvyuyvyϕφ===∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂设则 注注：：复合函数一定要设中间变量，抽象函数的高阶偏导数，其中间变量用数字 1，2，3……表示更简洁. 2 隐函数微分隐函数微分法法 ' ( , )(1)( , )0,' ( , )xyFx ydyF x ydxFx y== −设则 ' ( , , )' ( , , )(2) ( , , )0,,' ( , , )' ( , , )yxzzFx y zFx y zzzF x y zxFx y zyFx y z∂∂== −= −∂∂则 (3)( ),( ),yy x zz x==F(x,y,z)=0设由方程组确定的隐函数G(x,y,z)=0 ,dy dzdx dx则可通过,dy dzdx dx解关于的线性方程组 '''0:'''0xyzxyzdydzFFFdxdydydzGGGdxdx++=++=''' ,'''yzxyzxdydzFFFdxdxdydzGGGdxdx+= −⇒+= −来求解 方向导数和梯度 Th1 设( , )zf x y=在000(,)Mxy处可微，则( , )f x y在点000(,)Mxy沿任意方向(cos,cos)lαβ= 存在方向导数且000000(,)(,)(,)coscosf xyf xyf xylxyαβ∂∂∂=+∂∂∂ 在平面上l除了用方向角表示外也可用极角表示： (cos ,sin )lθθ=，[0,2 ]lθθπ∈是 的极角，此时相应的方向导 数的计算公式为 000000(,)(,)(,)cossinf xyf xyf xylxyθθ∂∂∂=+∂∂∂ Th2 设三元函数( , , )uf x y z=在0000(,,)Mxyz处可微，则 ( , , )uf x y z=在点0000(,,)Mxyz沿任意方向 (cos,cos,cos )lαβγ=存在方向导数且有 27 000000000(,,)(,,)(,,)coscosf xyzf xyzf xyzlxyαβ∂∂∂=+∂∂∂ 000(,,)cosf xyzzγ∂+∂ 梯度：( , )zf x y=在点0M的方向导数计算公式可改写成 000000(,)(,)(,)(,) (cos,cos)f xyf xyf xylxyαβ∂∂∂=∂∂∂ 000000( (,))(,) cos( (,),grad f xylgradf xygrad f xyl==〈〉 这里向量000000(,)(,)(,)(,)f xyf xygradf xyxy∂∂=∂∂成为 ( , )zf x y=在点0M的梯度(向量) 00(,)f xyll∂∂随 而变化0000( (,)( (,)grad f xylgrad f xy=即沿梯度方向时，方 向导数取最大值00 (,)grad f xy 空空间间曲线曲线的的切线切线和和法平面法平面，， 曲曲面面的的切平切平面面和和法线法线，，1．． 曲线曲线的的切线切线及及法平面方程法平面方程 0000( )(1)( )(,,)( )xx tyy txyzttzz t==↔ ==曲线在 000000'( )'( )'( )xxyyzzx ty tz t−−−==处的切线方程： 000000'( )()'( )()'( )()0x txxy tyyz tzz−+−+−=法平面方程： (2)Γ空间曲线 的一般式方程为, , )0( , , )0F x y zG x y z==（ 000,,)P xyzΓ则在曲线 的（处的 000( ,)( ,)( ,)( , )( , )( , )pppxxyyzzF GF GF Gy zz xx y−−−==∂∂∂∂∂∂切线方程： 法线方程法线方程：： 1428 000( ,)( ,)( ,))()()0( , )( , )( , )pppF GF GF Gxxyyzzy zz xx y∂∂∂−+−+−=∂∂∂（ 2．． 空空间间曲面曲面在其上在其上某某点点处处的的切平面切平面和和法线方程法线方程 000(1)( , ),(,,)zf x yP x y z=∑∑设曲面为显示方程则在上一点处的 000()()()0.ppzzxxyyzzxy∂∂−+−−−=∂∂切平面方程： 0001ppxxyyzzzzxy−−−==∂−∂∂∂法线方程： 000(2), , )0,(,,)F x y zP x y z=∑∑设曲面为隐式方程（则在上一点的000' ()()()0xyzppFxxFyyFzz′′−+−+−=切平面方程： 000' |' |' |xpypzpxxyyzzFFF−−−==法线方程： 二元函数二元函数的二阶的二阶泰泰勒勒公式，公式， 多多元函数的元函数的极极值值和和条条件件极极值值，， 多多元函数的元函数的最最大大值值、、 最最小小值值及其及其简简单应单应用用 1 多多元函数的极元函数的极值值 定义：定义： 00( , )(,)zf x yP x y=设函数在的某邻域内有定义， 若若对对于于该邻该邻域域 内内异异于于00(,)P xy 点的任一( , )Q x y点恒有 0000( , )(,)((,))f x yf xyf xy><或 00(,)( , )f xyf x y则称为的极小值(极大极大值值) 00'0000'001( ,)(,)(,)0(,)( ,)(,)0xyThzfx yP xyfxyP xyzfx yfxy====（取极值的必要条件）设在点的一阶偏导数存在，且是的极值点，则 29 000002( ,)(,)',)0,' (,)0xyThzfx yP xyfxyfxy===0（ 函 数 取 极 值 的 充 分 条 件 ）设在点 的 某 邻 域 内 有连 续 的 二 阶 偏 导 数 ,且( 222000000[" (,)]" (,)" (,)0xyxyfxyfxyfxy−<00(,)( , )P xyzf x y=则是的一个极值点 22000000(1)" (,)0(" (,)0),(,)xyfxyfxyP xy>>若或则为极小值点。

22000000" (,)0(" (,)0),(,)xyfx yfx yP x y<<(2)若或则为极大值点2 无无条件条件极极值值 解题程序： 0(1)( , ),)zf x yxy=0求出的驻点（； 00(2)2(,)Thxy用判别是否为极值点；是，00(,)f xy则为 ( , )zf x y=的极值 3 条件极值（拉格朗日乘数法） 1( , )x yzf x yϕ=）由条件 ( , )=0,求的极值 解题程序: ( , )( , )F x yf x yx yλϕ令=+( , );00' ( , )' ( , )0' ( , )' ( , )0(,);( , )0xxyyfx yx yfx yx yxyx yλϕλϕϕ+=+==解方程组 求驻点 00(,)( , )f xyf x y即为的极值（存在的话） 1530 0,0,00,002( , , ), , ), , )' ( ,)' ( , , )0' ( , , )' ( , , )0' ( , , )' ( , , )0( , , )0)(,)( , , )xxyyzzuf x y zF x y zx y zfx yzx y zfx y zx y zfx y zx y zx y zx y zf x y zf x y zϕλϕλϕλϕλϕϕ=++=+=+==）由条件 (x,y,z)=0,求的极值。

解题程序：令（（;，解方程组若（为其解即为的极值（若存在的话）1211223, , )0.( , , )0( , , ), , )( , , ), , ), , ) 12x y zx y zuf x y zF x y zf x y zx y zx y zϕϕλϕλ ϕ====++）由条件 （求函数的极值解题程序：令（（（以下仿 ），） (六六)多元函数积分学多元函数积分学 考试内容考试内容 对应公式、定理、概念对应公式、定理、概念 二 重 积 分二 重 积 分与 三 重 积与 三 重 积分的概念分的概念、、性质、性质、 计算计算和应用和应用 1 二重积分：二重积分： { },011iI=( , )lim(),1,2,)maxniiiidi niif x y dfdddinσξ ησσ→≤ ≤=∆=∆=∑∫∫LD=,其中为的直径（ 几何意义：几何意义： ( , )0,( , )I( , )Dzf x yx yDzf x y=≥∈=当时，而二重积分 表示以为曲顶，以 为底的柱体体积 2 三重积分：三重积分： { },,011DiI=( , , )lim(),,1,2,)maxniiiiidi niiF x y z dvfvdddvinξ η τ→≤ ≤==∆=∆=∑∫∫∫L其中为的直径（ 物理意义：物理意义： ( , , )If x y zµ =Ω三重积分 表示体密度为的空间形体 的质量。

3 性质性质(只叙述二重积分的性质，三重积分类似只叙述二重积分的性质，三重积分类似) (1)( , )Dkf xykf x ykσσ∫∫∫∫D（ ， ）d =d , 为常数 31 (2)[ ( , )( , )]( , )( , )DDf x yg x y df x y dg x y dσσσ±=±∫∫∫∫ (3)1( , )( , ),iniiDDf x y df x y dDσσ==∑∫∫∫∫其中为 D的构成子域且任两个子域没有重迭部分1,2,,)im=L（ (4),DdAADσ =∫∫其中 为 的面积 (5)（比较定理）（比较定理） ( , )( , ),( , )( , )DDDf x yg x yf x y dg x y dσσ≤≤∫∫∫∫若在 上恒有则 (6)(,( , )M mf x yD估值定理）设分别为在闭域 上的最大与最小值，AD为 的面积，则( , )DmAf x y dMAσ≤≤∫∫ (7)(( , )( , ))f x yDADDf x y dfAξησξ η∃∫∫D中值定理）若在闭域 上连续， 为 的面积，则在 上至少 一点（ ， ），使= ( , (8)二重积分的对称性原理对称性原理 ( , )( , )xf x yyf x yσ∫∫D1）如果积分域D关于 轴对称，为 的奇偶函数，则二重积分d 10,( ,)( , )2( , ),( ,)( , ),Dfyf xyf x yf x y dff xyf x yσ−= −=−=∫∫关于 为奇函数，即关于y为偶函数，即 DD1为 在上半平面部分 这个性质的几何意义见图(a)、(b) 1632 ( , )yf x yx2）如果积分域D关于 轴对称，为 的奇偶函数， ( , )f x yσ∫∫D则二重积分d 20,(, )( , )2( , ),(, )( , ),Dfxfx yf x yf x y dfxfx yf x yσ−= −=−=∫∫关于 的奇函数，即关于 为偶函数，即 DD2为 在右半平面部分 ( , ),f x yx y3）如果D关于原点对称，同时为的奇偶函数， ( , )f x yσ∫∫D则二重积分d 20,(,)( , )2( , ),(,)( , ),Dffxyf x yf x y dffxyf x yσ−−= −=−−=∫∫关于x,y的奇函数，即关于x，y为偶函数，即 DD1为 在上半平面部分 ( , )( , )yxf x yf x yσσ==∫∫∫∫DD4）如果D关于直线对称，则dd 注：注：注意到二重积分积分域 D 的对称性及被积函数( , )f x y的奇偶性，一方面可减少计算量，另一方面可避免出差错，要特别注意的是仅当积分域 D 的对称性与被积函数( , )f x y的奇偶性两者兼得时才能用性质 8. 两类曲线两类曲线积分的概积分的概念、念、 性质及性质及计算，计算， 两类两类曲线积分曲线积分的关系，的关系， 格格林公式，林公式， 平平1 平面曲线积分与路径无关的四个等价条件平面曲线积分与路径无关的四个等价条件 设函数( , ),( , )P x y Q x y在单连通区域 D 上具有一阶连续偏导数，则LPdxQdy+∫与路径无关 ,( , )QPx yDxy∂∂⇔=∀∈∂∂ 33 面曲线积面曲线积分与分与路路径径无关的无关的条条件件，， 0,LPdxQdyL⇔+=∫ 为一简单分段光滑封闭曲线 ⇔存在函数( , ),( , )u x yx yD∈使( , ),du x yPdxQdy=+且 00( , )(,)( , )x yxyu x yPdxQdy=+∫ 2 格林公式：设平面上的有界闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数( , ),( , )P x y Q x y在有D连续的一阶偏导数，则有 ()LDQPdxdyPdxQdyxy∂∂−=+∂∂∫∫∫  或者()LDQPdxdyPdxQdyxy∂∂+=−∂∂∫∫∫  二元函数二元函数全全微分的微分的原原函数，函数， 两两类类曲面积曲面积分的概念分的概念、、性质及性质及计计算，算， 两类两类曲曲面积面积分的分的关系，关系， 高高斯斯公式，公式， 斯托斯托克斯克斯 公式，公式， 1 高斯(Gauss)公式 设Ω是空间中的有界闭区域，由分块光滑的曲面所S围成，函数( , , ),( , , ),( , , )P x y z Q x y z R x y z在Ω由连续的一阶偏导数，则 ()()coscoscosSSPQRdVPdydzQdzdxRdxdyxyzPQRdVPQRdSxyzαβγΩΩ∂∂∂++=++∂∂∂∂∂∂++=++∂∂∂∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫或（） 这里S是Ω的整个边界的外侧(即取外法向)，cos,cos,cosαβγ是S上点( , , )x y z处的外法向量的方向余弦. 2 斯托克斯公式 设Γ为分段光滑的又向闭曲线，S是以Γ为边界的分块光滑有向曲面，Γ的 正 向 与S的 侧 ( 即 法 向 量 的 指 向 ) 符 合 右 手 法 则 ， 函 数( , , ),( , , ),( , , )P x y z Q x y z R x y z在包含S的一个空间区域内有连续的一阶偏导数，则有 ()()()SRQPRQPdydzdzdxdxdyPdxQdyRdzyzzxxyΓ∂∂∂∂∂∂−+−+−=++∂∂∂∂∂∂∫∫∫()SdydzdzdxdxdyPdxQdyRdzxyzPQRΓ∂∂∂=++∂∂∂∫∫∫或 1734 ()cos()cos()cosSRQPRQPyzzxxyPdxQdyRdzαβγΓ∂∂∂∂∂∂−+−+−∂∂∂∂∂∂=++∫∫∫ 散 度散 度 和和 旋旋度度 的 概 念的 概 念及及计计算，算， 曲曲线 积线 积 分 和分 和曲 面 积曲 面 积 分分的应的应用用 1 散度的计算公式 设( , , )( , , )( , , ) ; ,,AP x y z iQ x y z jR x y z k P Q R=++u vvvv均可导，则Au v在( , , )P x y z点处的散度为PQRdivAxyz∂∂∂=++∂∂∂u v 2 旋度的计算公式 设有矢量场( , , )( , , )( , , )AP x y z iQ x y z jR x y z k=++u vvvv，其中,,P Q R均有连续的一阶偏导数，则旋度rotAuv为： ijkrotAxyzPQR∂∂∂=∂∂∂vvvu v (七七)无穷无穷级级数数 考试内容考试内容 对应公式、定理、概念对应公式、定理、概念 常常 数数 项 级项 级数 的数 的 收 敛收 敛与与 发 散发 散 的的概念，概念， 收敛收敛级级 数 的 和数 的 和的 概 念的 概 念 级级数 的 基 本数 的 基 本性 质 与性 质 与 收收敛敛 的 必 要的 必 要条件条件 1 级级数数1nnu∞=∑的性质：的性质： 11(1)0nnnncucu∞∞==≠∑∑设的 常 数 ， 则与有 相 同 敛 散 性 112nnnnuv∞∞==∑∑（ ） 设 有 两 个 数 级与 111,,().nnnnnnnusvuvsσσ∞∞∞=====±=±∑∑∑若则 111,().nnnnnnnuvuv∞∞∞===±∑∑∑若收 敛 ，发 散 则发 散 35 111,().nnnnnnnuvuv∞∞∞===±∑∑∑若均 发 散则敛 散 性 不 定 注：添加或去消有限项不影响一个级数的敛散性. 设级数1nnu∞=∑收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和 几 何几 何 级级 数数与与 p 级级数数以以 及及 他 们他 们的的收敛收敛性性，，正 项 级正 项 级 数数收 敛收 敛 性 的性 的判别法判别法，， 正项级正项级数数1nnu∞=∑（（0nu ≥）的）的判判敛敛法法 (1)0,nnuv≤≤比较判敛法：设若 11nnnnuv∞∞==∑∑收敛，则收敛 11nnnnuv∞∞==∑∑发散，则发散 (2)11nnnnuv∞∞==∑∑比较法的极限形式：设及均为正项级数 lim(0)nnnnuA vv→∞=≠且 111.0,nnnnAvu∞∞==≤< +∞∑∑若且收敛，则收敛 112.0,nnnnAvu∞∞==<≤ +∞∑∑若且发散，则发散 两个常用的比较级数 11,|| 1)1|| 1nnariarrr∞−=<=−≥∑等比级数发散， 11)pnpii pnp∞=>−=≤∑收敛，1时级数发散，1时 (3)比比值判别法值判别法（达朗贝尔准则） （适用于通项nu中含有 n！或关于 n 的若干连乘积形式） 10,1,2nnnunu∞=≥=∑L设对于来讲 11111lim1nnnnnnnuuuuρρρρ∞=+→∞∞=>==<∑∑时，发散时，方法失效若时，收敛 1836 交错级数交错级数与莱布尼与莱布尼兹定理，兹定理， 任任意项级数意项级数的绝对收的绝对收敛与条件敛与条件收敛，收敛， 1．． 交错级数交错级数 11( 1),(0)nnnnuu∞−=−>∑的判敛法的判敛法 莱布尼兹准则：莱布尼兹准则：11( 1),(0)nnnnuu∞−=−>∑若交错级数满足条件： 1(1),(1,2,);(2)lim0,nnnnuunu+→∞≥==LL 则交错级数收敛，其和1,Su≤其 n 项余和的绝对值1||.nnRu+≤ 函数项级函数项级数的收敛数的收敛域与和函域与和函数的概念数的概念，，幂级数及幂级数及其收敛半其收敛半径，径， 收敛区收敛区间间(指开区指开区间间)和收敛和收敛域，域， 幂级数幂级数的和函数的和函数，，1 幂级数：幂级数：20120nnnnnaa xa xa xa x∞=+++++=∑LL 11lim,.nnnaRaρρ+→∞==收敛半径，若则 2．． 函数函数项级项级数数1( )nnux∞=∑收敛收敛域域的的求求法法步骤步骤：： (1)xρ用比值（或根值）法求（ ），即1|( )|lim( )(lim |( )|( ));|( )|nnnnnnuxxuxxuxρρ+→∞→∞==或 1(2)( )( )( , );nnxuxa bρ∞=<∑解不等式方程1,求出的收敛区间 11(3)( )( )nnnnxaxbuau b∞∞====∑∑考察（或）时，（或）的敛散性 14( )nnux∞=∑（ ）写出的收敛域 幂级幂级数在数在其其收敛收敛区区间内的基间内的基本性质，本性质， 简简单单幂级幂级数数的和函数的和函数的的求求法法，， 初初等等幂级幂级数数展开展开式式 1 幂级数的四则运算性质： 00( ),( ),nnnnnna xf xb xg x∞∞====∑∑设其收敛半径分别为1212,,min(,),R R RR R=(,),xR R∀ ∈ −则对有 (1)000()( )( ),nnnnnnnnnna xb xab xf xg x∞∞∞===±=±=±∑∑∑且在（- R，R） 内绝对收敛 (2)0111 10000()()()nnnnnnnnnnnna xb xa bababa b x∞∞∞−−====++++∑∑∑L 37 ( ) ( )f x g x= (3)00,0bx≠=设则在的足够小邻域内 20101201( )( )nnnnnnaa xa xf xCC xC xC xg xbb xb x++++==+++++++++LLLLLL 利用多项式的长除法可得：01 00 101200,,aa ba bCCbb−==L 2 幂级数的分析性质： 0nnna xRRR∞=−∑设幂级数的收敛半径为 ，则在（， ）内有 (1)0nnna xf x∞=∑的和函数（ ）是连续的。

(2)'00)'nnnxnnna xfa x∞∞==∑∑可逐项微分，且=( 100()'nnnnnna xna x∞∞−====∑∑ (3)00)xnnnnnna xf tta tdt∞∞==∑∑∫∫x00可逐项积分，且（ ）d =( 1000()1xnnnnnnaa t dtxn∞∞+====+∑∑∫ 3 函数的幂级数展开 泰勒级数 0f xxx=设（ ）在的某一邻域内具有任意阶导数， ( )200000000( )"( )()( )'( )()()!2!nnnfxfxxxf xf xxxxxn∞=−=+−+−+∑L级数：( )00()()!nnfxxxn+−+L 0f xxx=称为（ ）在处的泰勒级数 1938 ( )200(0)"(0)0(0)'(0)!2!nnnffxxffxxn∞===+++∑L当时，级数化为( )(0)!nnfxn++L 称为麦克劳林级数 0( )00(1)1000( )()()!( )lim( )0,1R ( )[()](),01.(1)!nnnnnnnThf xxxfxxxnf xRxxfxxxxxnθθ∞→∞++=−==+−−<<+∑n=0设在某领域内具有任意阶导数，则泰勒级数收敛于的充分条件其中 4 常见的幂级数展开式： (1)2011,( 1,1)1nnnuuuuu∞== +++++=−−∑LL (2)2011( 1)( 1),( 1,1)1nnnnnuuuuu∞== −+−+ −+=−−+∑LL (3)201,(,)2!!!nnunuuueunn∞== +++++=−∞ +∞∑LL (4)321210sin( 1)( 1),(,)3!(21)!(21)!nnnnnuuuuunn++∞==−++ −+=−−∞ +∞++∑LL (5)24220cos1( 1)( 1),(,)2!4!(2 )!(2 )!nnnnnuuuuunn∞== −+−+ −+=−−∞ +∞∑LL (6)23110ln(1)( 1)( 1),( 1,1)2311nnnnnuuuuuunn++∞=+=−+−+ −+−−++∑LL (7)2(1)(1)(1)(1)12!!ana aa aanuauuun−−−++= ++++LLL (随a的不同而不同，但在(- 1，1)总有意义) 39 函 数 的函 数 的 傅傅立立 叶叶 系 数系 数与与 傅傅 立立 叶叶级级数，数， 狄利狄利克雷克雷定理定理，，函数在函数在[, ]l l−上的上的傅傅 立立 叶 级叶 级数数 1( )2[-][0 2 ]f xππππ设是以为周期的函数，且在，或 ， 上可积，则 2011( )cos( )cos,(0,1,2,)naf xnxdxf xnxdx nπππππ−==∫∫L= 2011( )sin( )sin,(1,2,)nbf xnxdxf xnxdx nπππππ−===∫∫L ( )f x称为的傅立叶系数 2011( )(cossin)2nnnf xaanx bnx∞=++∑的傅立叶系数为系数的三角级数 011( )( )(cossin)2nnnf xf xaanxbnx∞=++∑称为的傅立叶级数，记为 3( )2[-, ]f xll l设是以 为周期的函数，且在上可积，则以 n1a( )cos,(0,1,2)llnf xxdx nllπ−==∫L1( )sin,(0,1,2)lnlnbf xxdx nllπ−==∫L011(cossin)2nnnnnaaxbxllππ∞=++∑为系数的三角级数011( )( )(cossin).2nnnnnf xf xaaxbxllππ∞=++∑称为的傅立叶级数，记为f(x) [-, ](1)( )f xπ πππ3狄里赫莱收敛定理：设函数在上满足条件：除有限个第一类间断点外都连续。

2)只有有限个极值点，则的傅立叶级数在[- ， ]上收敛，且有 000010( ),( )1( cossin )[ (0)(0)],221[ (0)(0)],.2nnnf x x f xaax bnxf xf xxf xffxπππ∞=++=− ++− + ++=±∑为的 连 续 点 ；为 （） 的 第 一 类 间 断 点 ； 2040 函数在函数在[0, ] l上 的上 的正 弦 级 数正 弦 级 数与 余 弦 级与 余 弦 级数数. 1( )f x为[0, ] l上的非周期函数，令： ( ),0( )(),0f xxlF xfxlx≤≤=−− ≤<则01( ) ~cos2nnanf xaxlπ∞=+∑（余弦级数） ，其中：02( )coslnnaf xxdxllπ=∫（n=0，1，2，……） 2( )f x为[0, ] l上的非周期函数，令： ( ),0( )(),0f xxlF xfxlx≤≤=−−− ≤<则( )F x除 x=0 外在区间[, ]π π−上 为奇函数则1( ) ~sinnnnf xbxlπ∞=∑（正弦级数） ，其中： 02( )sinlnnbfxxdxllπ=∫（n=1，2，……） (八八)常常微分微分方程方程 考试内容考试内容 对应公式、定理、概念对应公式、定理、概念 常常微分微分方方程程的基本的基本概念，概念， 变量变量可可分分离离的的微分微分方程方程 1 常微分方程 含有自变量、未知函数及未知函数的某些导数的方程式称微分方程，而当未知函数是一元函数时称为常微分方程. 2 可分离变量方程1122( )( )( )( )0f x gy dxfx gy dy+= 解 法 ： 两 边 同 除12( )( )0gy fx ≠， 得1221( )( )0( )( )f xgydxdyfxgy+=1221( )( )( )( )f xgydxdyCfxgy+=∫∫ 奇奇次次微分微分方程方程，， 一阶一阶线线性微分性微分1 齐次方程'( )yyfx= 41 方程方程，， 伯努伯努利利方程方程，， 全全微分微分方程方程，，解法：令yux=，则yux=，'duyuxdx=+于是， 原方程 ⇒( )ln( )( )dududxduuxf uxCdxf uuxf uu+=⇒=⇒=+−−∫ 2 可化为齐次型的方程 111222a xb ycdyfdxa xb yc++=++ 解法：(1)当120cc==时 11112222( )yaba xb ydyyxffgydxa xb yxabx++===++属于(2) (2)．11220,abab=即1122ababλ==则 22122222()()a xb ycdyfg a xb ydxa xb ycλ++==+++ 令22a xb yu+=，则22( )duab f udx=+属于（1） (3)．1112220,,abc cab≠不全为 0 解方程组11122200a xb yca xb yc++=++=求交点( ,)α β令,,xXyYαβ=+=+则原方程()dyXdXYϕ⇒=属于（2） 3 一阶线性方程'( )( )yp x yq x+= 解法：用常数变易法求 (1)求对应齐次方程'( )0yp x y+=的通解( )p x dxyCe−∫= (2)令原方程的解为( )( )p x dxyC x e−∫= (3)代入原方程整理得 2142 ( )( )'( )( )( )( )p x dxp x dxC x eq xC xq x edxC−∫∫=⇒=+∫% (4)原方程通解 ( )( )[( )]p x dxp x dxyq x edxC e−∫∫=+∫% 4 贝努里方程'( )( )nyp x yq x y+=，其中0,1n ≠ 解 法 ： 令1 nZy−=， 则 方 程⇒1( )( )1dzp x zq xn dx+=−，(1) ( )(1) ( )dzn p x zn q xdx+−=−属于 3 5 全微分方程( , )( , )0M x y dxN x y dy+=为全微分方程 ⇔MNyx∂∂=∂∂.通解为000( ,)( , )xyxyM x y dxN x y dyC+=∫∫ 可用简可用简单单的的变量代变量代换换求求解解的的某些某些微分微分方程方程，， 可可降降阶的高阶阶的高阶微分微分方程方程，，线线性微分性微分方程解方程解的的性质及性质及解解的的结构结构定定理理 注：这里只限于讨论二阶线性方程，其结论可推广到更高阶的方程，二阶线性方程的一般形式为 ( )( )( )yp x yq x yf x′′′++= (8.1)其中( ), ( ),( )p x q xf x均为连续函数， 当右端项( )0f x ≡时，称为二阶线性齐次方程，否则称为非齐次方程. 解的性质与结构(以下性质可推广到任意高阶的线性方程)分以下几种：1 若12( ),( )y xyx为齐次方程( )( )0yp x yq x y′′′++= (8.2)的两个特解，则其线性组合1122( )( )C y xC yx+仍为(8.2)的解，特别地，若12( ),( )y xyx线性无关12( )(())( )y xyxλ≠即常数，则(8.2)的通解为1122( )( )( )y xC y xC yx=+ 2 设12( ),( )y xyx为非线性方程(8.1)的两个特解，则其差 12( )( )y xyx−为相应齐次方程(8.2)的特解 3 设( )yx∗为非齐次方程(8.1)的一个特解，( )y x为齐次方程(8.2)的任意特解，则其和( )( )yxy x∗+为(8.1)的解，特别地，若12( ),( )y xyx为(8.2)两个线性无关的特解，则(8.1)的通解为 1122( )( )( )( )y xyxC y xC yx∗=++，其中12,C C为任意常数. 二阶二阶常常系系 1 二阶常系数线性齐次方程'''0ypyqy++= (1) 其中, p q均为常数 43 数数奇奇次线次线性微分性微分方方程程，， 高高于于二二阶的阶的某些某些常常系数系数奇奇次线次线性微性微分分方程方程 解法：特征方程：20pqλλ++= （I）当12,λ λ为相异的特征根时，方程(1)通解为 1212( )xxy xC eC eλλ=+ （II）当12λλ=时，通解为112( )()xy xCC x eλ=+ （III）当iλαβ=±（复根）时，通解为 12( )(cossin)xy xeCxCxαββ=+ 2 n阶常系数齐次线性方程 此种方程的一般形式为 ( )(1)(2)120nnnnyp yp yp y−−++++=L(＊)，其中 (1,2,, )ip in=L为常数，相应的特征方程为 (1)(2)120nnnnpppλλλ−−++++=L 特征根与通解的关系同二阶方程的情形相类似，具体结果为： (1)若12,,,nλ λλL是个n相异实根，则方程(＊)的通解为 1212( )nxxxny xC eC eC eλλλ=+++L (2)若0λλ=为特征方程的()k kn≤重实根，则(＊)的通解中含有：0112()xkkCC xC xeλ−+++L (3)若iαβ+为特征方程的(2)kkn≤重共轭复根，则(＊)的通解中含有：111212[()cos()sin]xkkkkeCC xC xxDD xD xxαββ−−+++++++LL由于我们不能求出一般的三次以上代数方程的根， 也就是说对于三次以上的特征方程一般不能得到齐特征根， 自然也就不能求出三阶以上常系数齐次线性微分方程的通解，能够求出的只是某些特殊情形 简简 单 的 二单 的 二阶阶 常常 系 数系 数1 二阶常系数线性非齐次方程'''( )ypyqyf x++= (2)其中, p q均为常数 2244 非 奇 次 线非 奇 次 线性 微 分 方性 微 分 方程，程， 欧拉方欧拉方程，程， 微分方微分方程 简 单 应程 简 单 应用用 解法：通解的求法程序 (1)．求对应齐次方程的通解( )Y x (2)．求出(2)的特解*( )yx (3)．方程(2)的通解( )*( )yY xyx=+ 方程(2)特解*( )yx的求法有三种：微分算子法、常数变易法、 待定系数法. 2 形如( )1(1)110nnnnnnx ya xyaxya y−−−′++++=L的方程成为欧拉方程. 二、线性代数二、线性代数 (一一) 行列式行列式 考试内容考试内容 对应公式、定理、概念对应公式、定理、概念 行 列 式 的行 列 式 的概 念 和 基概 念 和 基本性质、本性质、 行行列 式 按 行列 式 按 行（列）（列） 展开展开定理定理 行列式按行（列）展开定理 (1)1122,(),0,ijn nijijinjnA ijAaa Aa Aa Aij×==+++=≠L设则 或1122,0,ijijninjA ija Aa Aa Aij=+++=≠L 即 **,AAA AA E==其中 112111222212*()()nTnjiijnnnnAAAAAAAAAAAA===LLLLLLL (2)设,A B为n阶方阵，则ABA BB ABA=== 45 但ABAB±=±不一定成立 (3)||||,nkAkAAn=为 阶方阵 (4)111| ||;|| || (| *| ||2TnA nAAAAAAAn−−−===≥设 为阶方阵，则|若 可逆）（） 5||||,AOACAOABA BOBOBCB===（ ），为方阵， 但1||||.m mmnn nOAABBO××= −（） (6)范德蒙行列式12111112111()nnijj i nnnnnxxxDxxxxx≤ < ≤−−−==∏−LLLL L LL 设 A 是 n 阶方阵，(1,2, )iinλ=L是 A 的 n 个特征值，则 1||niiAλ==∏ (二二)矩阵矩阵 考试内容考试内容 对应公式、定理、概念对应公式、定理、概念 矩 阵矩 阵 的 概的 概念，念， 矩阵矩阵的的线线性运算性运算，，矩 阵矩 阵 的的 乘乘法法，， 矩阵：ijmnamn× 个数排成 行 列的表格111212122212nnmmmnaaaaaaaaaLLLLLLLL称为矩阵，简记为,().ijm nAamn×=或若，则称A是n阶矩阵或n阶方阵. 矩阵的线性运算 1 矩阵的加法 设(),()ijijAaBb==是两个mn×矩阵，则mn× 矩阵()ijijijCcab==+称为矩阵A 与B的和，记为ABC+= 2346 2 矩阵的数乘 设()ijAa=是mn×矩阵，k是一个常数， 则mn×矩阵()ijka称为数k与矩阵A的数乘，记为kA. 3 矩阵的乘法 设()ijAa=是mn×矩阵，()ijBb=是ns×矩阵，那么ms×矩阵()ijCc=，其中 1 1221nijijijinnjikkjkca ba ba ba b==+++=∑L称为AB与 的乘积的乘 积，记为CAB= 方阵的幂方阵的幂，，方阵乘积方阵乘积的行列式的行列式，，矩阵的转矩阵的转置，置， 逆矩阵逆矩阵的概念和的概念和性质，性质， 矩阵矩阵可逆的充可逆的充要条件，要条件， 伴伴随矩阵，随矩阵， 11*TAAA−、、三者之间的关系三者之间的关系 1)(),(),(),()TTTTTTTTTTAA ABB AkAkAABAB===±=± 111111112)(),(),(),AA ABB AkAAk−−−−−−−===但 111()ABAB−−−±=±不一定成立， 23)( *)* ||(3)nAAA n−=≥，()** *,ABBA= 1()**(2).nkAkAn−=≥但()***ABAB±=±不一定成立 11114)()() ,()*( *) ,( *)()*TTTTAAAAAA−−−−=== 2 有关有关 A*的的结论结论 1)**||AAA AA E== 1122)|*| ||(2),()**,( *)* ||(3)nnnAAnkAkAAAA n−−−=≥==≥ 3)若A可逆，则11* ||,( *)*||AA AAAA−== 4)若A为n阶方阵，则,( )( *)1,( )10,( )1nr Anr Ar Anr An===−<− 47 3 有关有关1A−的的结论结论 ;|| 0;( );0AABEAr AnAAAx⇔=⇔≠⇔=⇔⇔⇔=可逆可以表示为初等矩阵的乘积；无零特征值；只有零解 矩阵矩阵的初的初等等变换变换，， 初初等等矩阵矩阵，， 矩矩阵阵的的秩秩，， 矩矩阵阵等等价价，， 分分块矩阵块矩阵及及其运算其运算 1 有关有关矩阵秩矩阵秩的的结论结论 1）秩 r（A）=行秩=列秩； 2）()min( , );m nr Am n×≤ 3）0( )1Ar A≠⇒≥； 4）()( )( );r ABr Ar B±≤+ 5）初等变换不改变矩阵的秩 6）( )( )()min( ( ), ( )),r Ar Bnr ABr A r B+−≤≤特别若ABO= 则( )( )r Ar Bn+≤ 7）若1A−存在()( );r ABr B⇒= 若1B−存在 ()( );r ABr A⇒= 若()()( );m nr Anr ABr B×=⇒= 若()()( );m sr Anr ABr A×=⇒= 8）()0m sr AnAx×=⇔=只有零解 2 分分块求逆块求逆公式公式 111AOAOOBOB−−−=；； 11111ACAA CBOBOB−−−−−−=；； 11111AOAOCBB CAB−−−−−=−；； 111OAOBBOAO−−−= 这里 A，B 均为可逆方阵 2448 (三三) 向量向量 考试内容考试内容 对应公式、定理、概念对应公式、定理、概念 向量的概向量的概念，念， 向量的向量的线性组合线性组合和线性表和线性表示，示， 向量的向量的线性相关线性相关与线性无与线性无关关 1 有关向量组的线性表示有关向量组的线性表示 (1)12,,,sα ααL线性相关⇔至少有一个向量可以用其余向量线性表示. (2)12,,,sα ααL若线性无关，12,,,sα ααL，β线性相关⇔β可以由12,,,sα ααL惟一线性表示. (3)β可以由12,,,sα ααL线性表示 ⇔1212,,,)(,,,,ssrα ααα ααβ=LLr(） 2 有关向量组的线性相关性有关向量组的线性相关性 (1)部分相关，整体相关；整体无关，部分无关. (2) ① n 个 n 维向量 122,]| 0nnα ααααα⇔≠LL1线性无关|[，， ，， n 个 n 维向量12,nα ααL线性相关 2,,,]| 0nα αα⇔=L1|[， ② n+1 个 n 维向量线性相关. ③若12,Sα ααL线性无关，则添加分量后仍线性无关； 或一组向量线性相关，去掉某些分量后仍线性相关 向量组的向量组的极大线性极大线性无关组，无关组， 等等价向量组价向量组，，向量组的向量组的秩秩 1 有关向量组的线性表示有关向量组的线性表示 (1)12,,,sα ααL线性相关⇔至少有一个向量可以用其余向量线性表示. (2)12,,,sα ααL若线性无关，12,,,sα ααL，β线性相关⇔ β 可以由12,,,sα ααL惟一线性表示. (3)β可以由12,,,sα ααL线性表示 ⇔1212,,,)(,,,,)ssrrα ααα ααβ=LL( 49 向量组的向量组的秩与矩阵秩与矩阵的秩之间的秩之间的关系，的关系， 向向量空间及量空间及相关概念相关概念 1 设()m nr Ar×=，则A的秩( )r A与A的行列向量组的线性相关性关系为： (1)若()m nr Arm×==，则A的行向量组线性无关. (2)若()m nr Arm×=<，则A的行向量组线性相关. (3)若()m nr Arn×==，则A的列向量组线性无关. (4)若()m nr Arn×=<，则A的列向量组线性相关 n 维向量空维向量空间的基变间的基变换和坐标换和坐标变换，变换， 过渡过渡矩阵矩阵 1 基变换公式及过渡矩阵 若12,,,nα ααL与12,,,nβ ββL是向量空间V的两组基，则基变换公式为 111212122212121212(,,,)(,,,)(,,,)nnnnnnnnnccccccCcccβ ββα ααα αα==LLLLLLLLLLL 其中C是可逆矩阵，称为由基12,,,nα ααL到基12,,,nβ ββL的过渡矩阵 2 坐标变换公式 若向量γ在基12,,,nα ααL与基12,,,nβ ββL的坐标分别是 12(,,,)TnXx xx=L，12(,,,)TnYy yy=L即 11221122nnnnxxxyyyγαααβββ=+++=+++LL，则向量坐标 变换公式为1XCYYCX−==或 其中C是从基12,,,nα ααL到基12,,,nβ ββL的过渡矩阵 2550 向 量 的 内向 量 的 内积，积， 线性无线性无关 向 量 组关 向 量 组的 正 交 规的 正 交 规范化方法范化方法 内积：1 122( ,)TTnna ba ba bα βα ββ α=+++==L Schmidt 正交化 若12,,,sα ααL线性无关，则可构造12,,,sβ ββL使其两两正 交，且iβ仅是12,,,iα ααL的线性组合(1,2,, )in=L，再把iβ 单位化，记iiiβγβ=，则12,,,iγ γγL是规范正交向量组.其中 11βα=， 2122111(,)(,)αββαββ β=− 313233121122(,)(,)(,)(,)αβαββαβββ βββ=−− ………………………………… 121121112211(,)(,)(,)(,)(,)(,)sssssssssαβαβαββαββββ βββββ−−−−=−−−−L 规 范 正 交规 范 正 交基，基， 正交矩正交矩阵阵 及 其 性及 其 性质质 1 正交基及规范正交基 向量空间一组基中的向量如果两两正交，就称为正交基；若正交基中每个向量都是单位向量，就称其为规范正交基 (四四)线线性性方程方程组组 考试内容考试内容 对应公式、定理、概念对应公式、定理、概念 线线性性方程方程组组的的克克莱莱姆姆法法则，则， 奇奇次线次线性性方方程程组组有有非非零零解解的的充充分必要分必要条条1 克莱姆法则 线性方程组11 11221121 1222221 122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb+++=+++=+++=LLLLLLLLLLLL，如果系数行列式0DA=≠，则方程组有唯一解 51 件件 1212,,,nnDDDxxxDDD===L， 其中jD是把D中第j列元素换成方程组右端的常数列所得的行列式. 2 n 阶矩阵A可逆0Ax⇔=只有零解., b Axb⇔ ∀=总有唯一解，一般地， ()0m nr AnAx×=⇔=只有零解. 非奇非奇次线次线性性方程方程组组有有解解的的充充分必要分必要条条件件，， 线线性性方方程程组组解解的的性质和性质和解解的的结构结构 1 设 A 为mn×矩 阵 ， 若()m nr Am×=， 则 对Axb=而 言 必 有( )(),r Ar A bm==M从而Axb=有解. 2 设12,,sx xxL为Axb=的解，则1 122ssk xk xk x+++L当121skkk+++=L时仍为Axb=的解；但当120skkk+++=L时，则为0Ax=的解.特别122xx+为Axb=的解；3122()xxx−+为0Ax =的解. 3 非齐次线性方程组Axb=无解( )1( )r Ar Ab⇔+ =⇔不能由A的列向量12,,,nα ααL线性表示. 奇奇次线次线性性方程方程组组的的基基础础解解系系和和通通解解，， 解解空空间，间， 非奇非奇次线次线性性方方程程组组的的通通解解. 1 齐次方程组0Ax =恒有解(必有零解).当有非零解时，由于解向量的任意线性组合仍是该齐次方程组的解向量， 因此0Ax =的全体解向量构成一个向量空间，称为该方程组的解空间，解空间的维数是( )nr A−，解空间的一组基称为齐次方程组的基础解系. 2 12,,,tη ηηL是0Ax =的基础解系，即 (1) 12,,,tη ηηL是0Ax =的解； (2) 12,,,tη ηηL线性无关； (3) 0Ax =的任一解都可以由12,,,tη ηηL线性表出. 1 122ttkkkηηη+++L是0Ax =的通解，其中12,,,tk kkL是任意常数. (五五)矩阵矩阵的的特征特征值值和和特征特征向量向量 考试内容考试内容 对应公式、定理、概念对应公式、定理、概念 矩阵矩阵的的特特征征值值和和特特征征向量向量的的1 设设λ是A的一个特征值，则 21,,,,( ),,,*mTkA aAbE AAf A AAA−+有一个特征值分别为 2652 概念及性概念及性质，质， 21||,,,,( ), ,,,mAkabfλλλλλ λ λλ−+且对应特征向量相同（TA 例外）. 2 若12,,,nλ λλL为A的 n 个特征值，则111,||nnniiiiiiiaAλλ=====∑∑∏ 从而|| 0AA≠⇔没有特征值. 3 设12,,,sλ λλL为A的 s 个特征值，对应特征向量为 12,,,sα ααL，若 1122,sskkkαααα=+++L则 11221 11222nnnnnnnsssssAk Ak Ak Akkkααααλ αλ αλ α=+++=++LL 相似相似变换变换、、相似矩阵相似矩阵的概念及的概念及性质，性质， 1 若AB，则 (1)11,, **.TTABABAB−− (2)11|| ||,, ( )( )nniiiiiiABAb r Ar B=====∑∑ (3)|| ||,EAEBλλ−=−对λ∀成立 矩阵矩阵可可相相似似对对角角化化的的充充分必分必要要条件条件及及相似相似对对角角矩阵矩阵，， 1 设A为 n 阶方阵，则A可对角化⇔对每个ik重根特征值iλ，有()iinrEAkλ−−= 2 设A可对角化，则由1,P AP−= Λ有1AP P−=Λ，从而1nnAPP−=Λ 3 重要结论 (1)若,AB CD，则AOBOOCOD. (2)若AB， 则( )( ),( )( )f Af Bf Af B， 其中( )f A为关于n阶方阵A的多项式. (3)若A为可对角化矩阵，则其非零特征值的个数(重根重复计算)＝秩(A) 实实对对称矩称矩阵阵的的特征特征值值、、 特征特征向向量量及及相似相似对对角角阵阵 1 相似矩阵：设,A B为两个n阶方阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得1BP AP−=成立，则称矩阵AB与相似，记为AB. 2 相似矩阵的性质 如果AB则有 53 (1)TTAB (2)11AB−−()AB若 ， 均可逆 (3)()kkABk为正整数 (4),,EAEBA Bλλ−=−从而有相同的特征值 (5),,ABA B=从而同时可逆或同时不可逆 (6))( ),ABEAEB ABλλ=−=−秩(秩,、 不一定相似 (六六)二二次次型型 考试内容考试内容 对应公式、定理、概念对应公式、定理、概念 二二次次型及型及其其矩阵矩阵表表示示，， 合合同同变变换换与与合合同同矩阵矩阵，， 二二次次型的型的秩秩 1n个变量12,,,nx xxL的二次齐次函数 1211(,,,)nnnijijijf x xxa x y===∑∑L，其中( ,1,2,, )ijjiaai jn==L，称为n元二次型，简称二次型. 若令 11121122122212,,nnnnnnnaaaxxaaaxAxaaa==LLMLLLLLL这二次型f可改写成矩阵 向量形式Tfx Ax=.其中A称为二次型矩阵， 因为( ,1,2,, )ijjiaai jn==L，所以二次型矩阵均为对称矩阵，且二次型与对称矩阵一一对应，并把矩阵A的秩称为二次型的秩. 惯惯性定性定 理，二理，二次次 型的型的标标准准 形 和形 和 规 范规 范形形 1 惯性定理 对于任一二次型，不论选取怎样的合同变换使它化为仅含平方项的标准型，其正负惯性指数与所选变换无关，这就是所谓的惯性定理.2 标准形 二 次 型12(,,,)Tnfx xxx Ax==L经 过 合 同 变 换xCy=化 为2754 21rTTTiiifx Axy C ACyd y====∑称为 f ()rn≤的标准形.在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，与所作的合同变换有关， 但系数不为零的平方项的个数由()r A的秩唯一确定. 3 规范形 任 一 实 二 次 型f都 可 经 过 合 同 变 换 化 为 规 范 形22222121pprfzzzzz+=+++−−−LL，其中rA为的秩，p为正惯性指数，rp−为负惯性指数，且规范型唯一. 用正交变用正交变换和配方换和配方法化二次法化二次型为标准型为标准形，形， 二次型二次型及其矩阵及其矩阵的正定的正定 性性 1 设A正定⇒1(0),,,*TkA kAAA−>正定；|| 0,A >A 可逆；0iia >，且|| 0iiA > 2 A，B 正定⇒A+B 正定，但 AB，BA 不一定正定 3 A 正定( )0,0Tf xx Axx⇔=>∀ ≠ ⇔A 的各阶顺序主子式全大于零 ⇔A 的所有特征值大于零 ⇔A 的正惯性指数为 n ⇔ ∃可逆阵 P 使TAP P= ⇔存在正交矩阵 Q，使11,TnQ A AQλλ−==O 其中0,1,2,, .iinλ >=L正定⇒1(0),,,*TkA kAAA−>正定； || 0,A >A可逆；0iia >，且|| 0iiA > 55 三、概率论与数理统计三、概率论与数理统计 (一一)随机事件和概率随机事件和概率 考试内容考试内容 对应概念、定理、公式对应概念、定理、公式 随机事件随机事件与样本空与样本空间，间， 事件的事件的关系与运关系与运算，算， 完全事完全事件组件组 1 事件的关系与运算 (1)子事件：AB⊂，若 A 发生，则 B 发生. (2)相等事件：A=B，即AB⊂，且BA⊂. (3)和事件：ABU（或 A+B） ，A 与 B 中至少有一个发生. (4)差事件：A- B，A 发生但 B 不发生. (5)积事件：ABI（或 AB） ，A 与 B 同时发生. (6)互斥事件（互不相容） ：ABI=∅. (7)互逆事件（对立事件） ： ,,ABABABBA= ∅= Ω==IU且记或 2 运算律： (1)交换律：ABBAABBA==UUII， (2)结合律：ABCABC=UUUU（）（）； ABCABC=IIII（）（） (3)分配律：ABCACBC=UIIUI（）（）（） 3 德摩根律：ABAB ABAB==UIUU， 4 完全事件组: 12nAAAL，， ，两两互斥，且和事件为必然事 件，即ijAA = ∅≠= ΩIUni=1，ij， 。

概概率率的概的概念，念， 概概率率的的基本性质基本性质，，古典古典概概率率，，几何型概几何型概率率 1 概率：事件发生的可能性大小的度量，其严格定义如下： 概率P （）为定义在事件集合上的满足下面 3 个条件的函数： (1)对任何事件 A，P≥（A） 0； (2)对必然事件Ω，1P Ω =（ ） ； (3)对1211,,(),()( ).nijiiiAAAA AijPAP A∞∞=== ∅≠=∑LLU， ， ，若则 2 概率的基本性质 2856 (1)( )1( );P AP A= − (2)()( )();P ABP AP AB−=− (3)()( )( )();P ABP AP BP AB=+−U特别， 当BA⊂时，()( )( )P ABP AP B−=−且( )( )P BP A≤； ()( )( )( )()()P A B CP APBPCP ABPBC=++−−U U ()();P ACP ABC−+ (4)若12,,,nA AAL两两互斥，则11()( ().nniiiiPAP A===∑U 3 古典型概率: 实验的所有结果只有有限个， 且每个结果发生的可能性相同，其概率计算公式： ( )AP A =事件 发生的基本事件数基本事件总数 4 几何型概率: 样本空间Ω为欧氏空间中的一个区域， 且每个样本点的出现具有等可能性，其概率计算公式： ( )AP A =Ω的度量（长度、面积、体积）的度量（长度、面积、体积） 概概 率率 的 基的 基本公式，本公式， 事事件件 的的 独独 立立性，性， 独独立重立重复复试试验验 1 概率的基本公式: (1)条件概率: |P ABP B AABP A=（）（），表示 发生的条件下， 发生的概率（ ） (2)全概率公式： 11(|) (),,,.nniiijiiiP AP A B P BB BijB==== ∅≠= Ω∑U（ ） 57 (3) Bayes 公式：1(|) ()(|),1,2,,(|) ()jjjniiiP A B P BP BAjnP A B P B===∑L 注：上述公式中事件iB的个数可为可列个. (4)乘法公式： 12121212()() (|)() (|)P A AP A P AAP A P AA== 12121312121()() (|) (|)(|)nnnP A AAP A P AA P AA AP AA AA−=LLL 2 事件的独立性 (1)A 与 B 相互独立()( ) ( )P ABP A P B⇔= (2)A，B，C 两两独立 ()( ) ( );P ABP A P B⇔=()( ) ( );P BCP B P C= ()( ) ( );P ACP A P C= (3)A，B，C 相互独立 ()( ) ( );P ABP A P B⇔= ()( ) ( );P BCP B P C= ()( ) ( );P ACP A P C= ()( ) ( ) ( ).P ABCP A P B P C= 3 独立重复试验: 将某试验独立重复 n 次，若每次实验中事 件 A 发生的概率为 p，则 n 次试验中 A 发生 k 次的概率为： ()(1).kkn knP XkC pp−==− 4 重要公式与重要公式与结论结论 (1) ( )1( )P AP A= − (2) ()( )( )()P ABP AP BP AB=+−U ()( )( )( )()()P ABCP AP BP CP ABP BC=++−−UU ()()P ACP ABC−+ (3) ()( )()P ABP AP AB−=− (4) ()( )(),( )()(),P ABP AP AB P AP ABP AB=−=+ ()( )()()()()P ABP AP ABP ABP ABP AB=+=++U (5)条件概率( |)PB满足概率的所有性质， 2958 例如：. 11(|)1(|)P ABP AB= − 121212(|)(|)(|)(|)P AABP ABP ABP A AB=+−U 12121(|)(|) (|)P A ABP AB P AAB= (6)若12,,,nA AAL相互独立，则11()(),nniiiiPAP A===∏I 11()(1())nniiiiPAP A===−∏U (7)互斥、互逆与独立性之间的关系： A 与 B 互逆⇒A 与 B 互斥，但反之不成立，A 与 B 互 斥（或互逆）且均非零概率事件⇒A 与 B 不独立. (8)若1212,,,,,,,mnA AAB BBLL相互独立，则12(,,,)mf A AAL与 12(,,,)ng B BBL也相互独立， 其中( ), ( )fg分别表示对相应事件做任意事件运算后所得的事件，另外，概率为 1（或 0）的事件与任何事件相互独立. (二二)随机随机变量变量及其概及其概率率分分布布 考试内容考试内容 对应公式、概念、定理对应公式、概念、定理 随机随机变量变量，，随机随机变量变量的分的分部部函函数的概念数的概念及其性质及其性质 1 随机变量及概率分布: 取值带有随机性的变量，严格地说是定义在样本空间上，取值于实数的函数称为随机变量， 概率分布通常指分布函数或分布律 2 分布函数的概念与性质 定义：( )(),F xP Xxx=≤−∞ << +∞ 性质：(1)0( )1F x≤≤ (2)( )F x单调不减 (3)右连续(0)( )F xF x+= (4)()0,()1FF−∞ =+∞ = 离离散散型型随随机机变量变量的的概概率率分分布布，，连续型连续型随随机机变量变量的的概概率率密密度度1 离散型随机变量的概率分布 1(),1,2,, ,0,1iiiiiP Xxp inpp∞====≥=∑LL 2 连续型随机变量的概率密度 概率密度( );f x非负可积，且 59 性质性质 (1)( )0,f x ≥ (2)( )1f x dx+∞−∞=∫ (3)( )( )'( )( )( )xxf xf xF xF xf t dt−∞==∫为的连续点，则分布函数 常常见见随机随机变量变量的概的概率率分分布布，， 随随机机变量变量函函数的概数的概率率分分布布 1 常常见见分分布布 (1) 0- 1 分布：1()(1),0,1kkP Xkppk−==−= (2) 二项分布( , )B n p： ()(1),0,1,,kkn knP XkC ppkn−==−=L (3) Poisson 分布( )p λ： (),0,0,1,2!kP Xkekkλλλ−==>=L (4) 均匀分布 U（a，b） ：1,( )0,axbf xba<<=−其他 (5) 正态分布2( ,):N µ σ 22()21( ),0,2xxexµσϕσπσ−−=>−∞ << +∞ (6)指数分布( ):E λ,0,0( )0,xexf xλλλ−>>=其他 (7)几何分布1( ):()(1),01,1,2,.kG pP Xkpppk−==−<<=L (8)超几何分布 (,, ):H N M n(),kn kMNMnNC CP XkC−−==0,1,,min( ,)kn M=L 2 随机变量函数的概率分布 (1)离散型：1(),()iP Xxp Yg X===则 ()()()iijig xyP YyP Xx====∑ 3060 (2)连续型：~( ),( )XXfx Yg x=则 ( )( )()( ())( )yxg xyFyP YyP g Xyfx dx≤=≤=≤=∫， ( )' ( )YYfyFy= 3 重要公式与结论重要公式与结论 11(1)~(0,1)(0),(0),22XNϕπ⇒=Φ= ()()1( )aP XaaΦ −=≤ −= −Φ 2(2)~( ,)~(0,1)()()XaXNNP Xaµµµ σσσ−−⇒≤= Φ且 (3)~( )(|)()XEP Xst XsP Xtλ ⇒>+>=> (4)~( )(|)()XG pP Xmk XmP Xk⇒=+>== (5)离散型随机变量的分布函数为阶梯间断函数；连续型随机变量的分布函数为连续函数，但不一定为处处可导函数. (6)存在既非离散也非连续型随机变量. (三三)多多维随机维随机变量变量及其分及其分布布 考试内容考试内容 对应公式、概念、定理对应公式、概念、定理 多多维随机维随机变量变量及其及其分分布布，， 二二维维离离散散型型随随机机变量变量的的概概率率分分布布、、边缘边缘分分布布和和条件条件分分布布 1 二维随机变量及其联合分布 由两个随机变量构成的随机向量（X，Y） ， 联合分布为( , )(,)F x yP Xx Yy=≤≤ 2 二维离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布、条件分 布(1)联合概率分布律 {,}; ,1,2,ijijP Xx Yypi j====L (2) 边缘分布律 1,1,2,iijjppi∞⋅===∑L ,1,2,jijippj∞⋅==∑L (3) 条件分布律 {|}ijijjpP XxYyp⋅=== 61 {|}ijjiipP YyXxp⋅=== 二二维维连续连续性性随机随机变变量量的概的概率率密密度度、、 边缘边缘概概率率密密度度和和条件条件密密度度 1 联合概率密度( , ):f x y (1)( , )0f x y ≥ (2)( , )1f x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫ ∫ 2 分布函数：( , )( , )xyF x yf u v dudv−∞−∞=∫ ∫ 3 边缘概率密度： ( )( , )Xfxf x y dy+∞−∞=∫ ( )( , )Yfyf x y dx+∞−∞=∫ 4 条件概率密度：|( , )( | )( )X YYf x yfx yfy= |( , )( | )( )Y XXf x yfy xfx= 随机随机变量变量的的独独立性立性和和不不相相关关性，性， 常用常用二二维随机维随机变变量量的分的分布布 1 常见二维随机变量的联合分布 (1)二维均匀分布：( , )()x yU D ,,( , )()( , )0,x yDS Df x y∈=1其他 (2)二维正态分布：221212~XYN µµσσρ（ ， ）（ ，，，， ） 2121( , )21f x yπσ σρ=− 2211222221212()()()()1exp[2]2(1)xxyyµµµµρσ σρσσ−−−−−−+− 2 随机变量的独立性和相关性 X 和 Y 的相互独立( , )( )( )XYF x yFx Fy⇔=， (ijijppp⋅⋅⇔=⋅离散型）( , )( )( )(XYf x yfx fy⇔=连续型） X 和 Y 的相关性：相关系数0XYρ=时，称 X 和 Y 不相关， 否则称 X 和 Y 相关 两个及两两个及两个个以以上上随随1 两个随机变量简单函数的概率分布 3162 机变量简机变量简单函数的单函数的分布分布 (1)离散型： (,),(, )iiijP Xx YypZg X Y====则 {}(,))(, )(,)iikkkijg x yzP ZzP g X YzP Xx Yy=======∑（ (2)连续型： ( , )( , ),( , )X Yf x y Zg X Y=则 {}( , )( )(, )( , )zg x yzF zP g X Yzf x y dxdy≤=≤=∫∫，( )' ( )zzfzFz= 2 重要公式与结论重要公式与结论 (1) 边缘密度公式： ( )( , ),Xfxf x y dy+∞−∞=∫ ( )( , ).Yfyf x y dx+∞−∞=∫ (2){}(, )( , )DPX YDf x y dxdy∈=∫∫ (3)若（X，Y）服从二维正态分布221212(,,,,)N µ µ σσρ则有 ①221122~(,),~(,).XNYNµ σµ σ ②X 与 Y 相互独立0ρ⇔=，即 X 与 Y 不相关. ③222212112211221212~(,2).C XC YN CCCCC Cµµσσσ σ ρ++++ ④X 关于 Y=y 的条件分布为： 2211212((),(1)).Nyσµρµσρσ+−− ⑤Y 关于 X=x 的条件分布为： 2222121((),(1)).Nxσµρµσρσ+−− (4)若 X 与 Y 独立，且分别服从211(,),N µ σ212(,),N µ σ 则221212(, ) ~(,,,,0),X YN µ µ σσ 63 22221211221122~(,).C XC YN CCCCµµσσ+++ (5)若 X 与 Y 相互独立，( )( )f xg x和为连续函数， 则()( )f Xg Y与也相互独立. (四四)随机随机变量变量的数的数字字特征特征 考试内容考试内容 对应概念、定义、定理、公式对应概念、定义、定理、公式 随 机随 机 变 量变 量的 数 学的 数 学 期期望望 （（均均值值） 、） 、方方 差差 和和 标标准准 差差 及 其及 其性质性质 1 数学期望 离散型：{},()iiiiiP Xxp E Xx p===∑；连续型： ~( ),()( )Xf x E Xxf x dx+∞−∞=∫ 性质： (1)( ), [ ()]()E CC E E XE X== (2)1212()()( )E C XC YC E XC E Y+=+ (3)若 X 和 Y 独立，则()() ( )E XYE X E Y= (4)[]222()() ()E XYE XE Y≤ 2 方差：[][]222()()()()D XE XE XE XE X=−=− 3 标准差：()D X， 4 离散型：[]2()()iiiD XxE Xp=−∑ 5 连续型：[]2()()( )D XxE Xf x dx+∞−∞=−∫ 性质： (1)( )0,[ ()]0,[()]0D CD E XD D X=== (2)X 与 Y 相互独立，则()()( )D XYD XD Y±=+ (3)2121()()D C XCC D X+= 3264 (4)一般有 ()( )( ) 2( , )( )( ) 2( )( )D X YD XDYCov X YD XDYD XDYρ±=+±=+± (5)2()() ,()D XE XCCE X<−≠ (6){}()01D XP XC=⇔== 随 机随 机 变 量变 量函 数 的 数函 数 的 数学学 期 望期 望 ，，矩矩 、、 协协 方方差差，， 相相关系关系数 的 数数 的 数 字字特征特征 1 随机变量函数的数学期望 (1)对于函数( )Yg x= X为 离 散 型 ：{},( )( )iiiiiP Xxp E Yg x p===∑；X为 连 续 型 ：~( ),( )( ) ( )Xf x E Yg x f x dx+∞−∞=∫ (2) (, )Zg X Y=;(, ) ~{,}ijijX YP Xx Yyp===; ( )( ,)ijijijE Zg x yp=∑∑ (, ) ~( , )X Yf x y;( )( , ) ( , )E Zg x y f x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫ ∫ 2 协方差 [](, )(()(( ))Cov X YEXE X YE Y=−− 3 相关系数 (, )()( )XYCov X YD XD Yρ=,k 阶原点矩 ()kE X; k 阶中心矩 {}[()]kEXE X− 性质： (1)(, )( ,)Cov X YCov Y X= (2)(,)( ,)Cov aX bYabCov Y X= (3)1212(, )(, )(, )Cov XXYCov X YCov XY+=+ (4)(, )1X Yρ≤ (5)(, )1()1,0X YP YaXbaρ=⇔=+=>其中 65 (, )1()1,0X YP YaXbaρ= − ⇔=+=<其中 4 重要公式与重要公式与结论结论 （1）22()()()D XE XEX=− （2）(, )()() ( )Cov X YE XYE X E Y=− （3）(, )1,X Yρ≤且 (, )1()1,0X YP YaXbaρ=⇔=+=>其中 (, )1()1,0X YP YaXbaρ= − ⇔=+=<其中 （4）下面 5 个条件互为充要条件： (, )0X Yρ= (, )0Cov X Y⇔= (, )() ( )E X YE X E Y⇔= ()()( )D XYD XD Y⇔+=+ ()()( )D XYD XD Y⇔−=+ 注：X 与 Y 独立为上述 5 个条件中任何一个成立的充分条件，但非必要条件. (五五)大数定大数定律律和和中中心心极限定理极限定理 考试内容考试内容 对应概念、定理、重要公式对应概念、定理、重要公式 切切比比雪夫雪夫（（Chebyshev））不不等等式，式， 切切比比雪雪夫夫大数定大数定律律 1 切比雪夫不等式：{}2()|()|D XPXE Xεε−≥≤或 {}2()|()|1D XPXE Xεε−<≥ − 2 切比雪夫大数定律：设12,,,nXXXLL相互独立，且 2(),()(1,2,),iiE XD Xiµσ===L则对于任意正数ε，有 11lim1niniPXnµε→∞=−<=∑ 3366 伯努利大伯努利大数定律，数定律， 辛辛钦钦（（Khinchine）） 大数定大数定律律 1 伯努利大数定律 设12,,,nXXXLL相互独立，同 0- 1 分布(1, )Bp，则对任意正数ε，有11lim1niniPXpnε→∞=−<=∑ 2 辛钦大数定律 设12,,,nXXXLL相互独立同分布，,1,2,iEXiµ==则对于任 意正数ε，有11lim1niniPXnµε→∞=−<=∑ 隶莫弗－隶莫弗－拉拉普普拉斯拉斯（（De Movire- Laplace）定）定理， 列理， 列维维－－林林德德伯格伯格（（Levy- Undbe））定理定理1 棣莫弗- - - 拉普斯定理 设~( , ),nB n pη（即12,,,nXXXL相互独立且同服从 0- 1 分布 1nniiXη==∑）则有 221lim(1)2txnnnpPxedtnppηπ−−∞→∞−≤=−∫ 2 列维- - - 林德伯格定理 设12,,,nXXXLL相互独立分布， 2(),()(0)1,2,,iiE XD Xiµσσ==≠=L 则2121lim2ntixinXnPxedtnµσπ−=−∞→∞−≤=∑∫ (六六)数理数理统计统计的基本概念的基本概念 考试内容考试内容 对应公式、概念、定理对应公式、概念、定理 总体总体，个，个体体，， 简简单单随随机机样样本，本， 统统计计量量，， 样样本本总体：研究对象的全体，它是一个随机变量，用 X 表示 个体：组成总体的每个基本元素 简单随机样本：来自总体 X 的 n 个相互独立且与总体同分布的随机变67 均均值值，， 样样本本方方差差和和样样本本矩矩 量12,,,nXXXL称为容量为 n 的简单随机样本，简称样本 统计量：设12,,,nXXXL是来自总体 X 的一个样本，12(,,)ng XXXL）是样本的连续函数，且( )g 中不含任何未知参数，则称12(,,)ng XXXL为统计量 样本均值：11niiXXn==∑ 样本方差：2211()1niiSXXn==−−∑ 样本矩：样本 k 阶原点矩：11,1,2,nkkiiAXkn===∑L 样本 k 阶中心矩：11() ,1,2,nkkiiBXXkn==−=∑L 2χ分分布布，，t分分布布，，F 分分布布，， 分分位位数数2χ分布：2222212~( )nXXXnχχ=+++L，其中12,,,nXXXL相互独立，且同服从(0,1)N t 分布：~ ( )/XTt nY n= 其中2~(0,1),~( ),XNYnχ且 X，Y 相互独立 F 分布：1122/~(,)/X nFF n nY n=，其中2212~(),~(),XnYnχχ且 X，Y 相互独立 分位数：若(),P Xxαα≤=则称xα为X的α分位数 正正态总体态总体的的常用常用样样本分本分布布 1 设12,,nXXXL为来自正态总体2( ,)N µ σ的样本， 221111,() ,1nniiiiXX SXXnn====−−∑∑则 (1)2~( ,)~(0,1)/XXNNnnσµµσ−或 (2)222221(1)1() ~(1)niinSXXnχσσ=−=−−∑ 3468 (3)22211() ~( )niiXnµχσ=−∑ (4)~ (1)Xt nSnµ−− 重要公式与重要公式与结论结论 （1）对于22~( )nχχ，有22(( )),(( ))2 ;Enn Dnnχχ== （2）对于~ ( )Tt n，有( )0,( )(2)2nE TD Tnn==>−； （3）对于~( , )FF m n，有 /21/211~( ,),( , );( ,)aaF n m Fm nFFn m−= （4）对于任意总体X，有 2()()(),()(),()D XE XE XE SD XD Xn=== (七七)参参数数估估计计 考试考试内容内容 对应公式、概念、定理对应公式、概念、定理 点点估估计计的的概念概念，，估估计计量量与与估估计计值值，， 矩矩估估计计法法，， 最最大大似似然估然估计计法法 1ˆθ为θ的矩估计，g（x）为连续函数，则 g（ˆθ）为 g（θ）的 矩估计. 2ˆθ为θ的极大似数估计，g（x）为单调函数，则ˆ( )g θ为( )g θ的 极大似然估计 32()(),()(),E XE XE SD X==即X，2S分别为总体 (),E X()D X的无偏估计量. 4 由大数定律易知X，2S也分别是(),E X()D X的一致估量. 5 若ˆˆ( ),( )0()EDnθθθ=→→ ∞则ˆθ为θ的一致估计. 69 估估计计量量的的评选评选标标准准区间区间估估计计的概的概念念 1 估计量的选取标准：无偏性、有效性、相合性 212ˆ(,)θ θ)为θ的置信度是1 α−的置信区间，g（x）为单调增加（或单调减少）函数，则1221ˆˆˆˆ( (), ()()()ggggθθθθ或，）为θg( )的置信度 是1 α−的置信区间 单个单个正正态态总体总体的的均均值值和和方方差差的区的区间间估估计计，， 两两个个正正态总态总体体的的均均值值差差和和方方差差比的比的区间区间估估计计 正态总体均值与方差的置信区间 待估参数 抽样分布 双侧置信区间 µ 2σ 已知 (0,1)XUNnµσ−=⋅ 222(,){}XXPαααµµµµα−+≥= 2σ 未知 (1)XTt nSnµ−=− 222(,){}SSXtXtnnP Ttαααα−⋅+⋅≥= 2σ µ 已知 ( )'22121()niiWXnµσχ==−∑ 221122122'22'212()()(,)( )( ){( )}{( )}2nniiiiXXnnPWnPWnααααµµχχχαχ==−−−−≥=≤=∑∑ µ 未知 ()()22211nSWnχσ−=⋅− ()()()()222212211,11nSnSnnααχχ−−−−− 3570 12µµ− 2212,σσ已知 1212221212()()(0,1)XXUnnNµµσσ−−−=+ 2222212121222121212(),(){}XXnnXXnnP Uααασσµσσµµα−−+−++≥= 221222,σσσσ已 知＝＝但未 知 12121212222112212() ()(2)1 1(1 )(1 )2X XTtn nSn nnSnSSn nµ µ−−−=+ −+−+−=+ − 12121221212122211()(2),11()(2){}X Xt n nSnnXXt n nSnnPT tαααα−−+ − ⋅+−++ − ⋅+≥= 2122σσ 2122122122(1,1)SFF nnSσσ=⋅−− 212122221212221222121,(1,1)(1,1){(1,1)}21{(1,1)}2SF nnSSF nnSP FF nnPF nnFαααααα⋅−−−− ⋅≥−−=≥−−= (八八)假假设设检验检验 考试考试内容内容 对应公式、概念、定理对应公式、概念、定理 显著显著性性检检验验，， 假假设设检检验验的的两类两类错错误误 1 假设检验的一般步骤 (1)确定所要检验的基本假设0H； (2)选择检验的统计量，并要求知道其在一定条件下的分布； (3)对确定的显著性水平α， 查相应的概率分布， 得临界值， 从而确定否定域；(4)由样本计算统计量，并判断其是否落入否定域，从而对假设0H作出拒绝还是接受的判断 71 2 假设检验的两类错误 统计推断是由样本推断总体，所作的结论不能保证绝对不犯错误，而只能以较大概率来保证其可靠性. 第一类错误是否定了真实的假设，即假设本来成立，但被错误地否认了，成为“弃真” ，检验水平α就是犯第一类错误的概率的最大允许值. 第二类错误是把本来不成立的假设错误地接受了，称为“存伪”.犯这类错误的大小一般用β表示，它的大小要视具体 情况而定. 单个单个及两及两个个正正态总态总体体的的均均值值和和方方差差的的假假设设检验检验 原假设 0H 0H下的检验统计量及分布 0H的拒绝域 一个正态 总体 02(µµσ=已知） 0/~(0,1)XUnNµσ−= 02||/axuunµσ−=≥ 02(µµσ=未知） 0/~ (1)XTSnt nµ−=− 02| |(1)/xttnSnαµ−=≥− 220σσ= (µ已知已知) 2102~( )niiXWnµσχ=−=∑ 22102( )niaixwnµχσ=−=≥∑或212( )awnχ−≤ 220σσ= (µ未知未知) 2202(1)~(1)nSWnσχ−=− 22202(1)(1)anSwnχσ−=≥−或212(1)awnχ−≤− 两个正12µµδ−=2212(,σσ 已知） 12221212~(0,1)XXUnnNδσσ−−=+ 122221212||XXuunnαδσσ−−=≥+ 3672 态 总体 1222122212(,)µµδσσσσ−==未知但 12121211~ (2)WXXTSnnt nnδ−−=++−222112212(1)(1)2WnSnSSn n−+−=+− 1212122| |11(2)WaXXtSnntnnδ−−=+≥+− 2212σσ= （（1µ，2µ未知） 212212~(1,1)SFSF nn=−− 2112222(1,1)aSfFnnS=≥−−或1212(1,1)afFnn−≤−− 经经常用到常用到的初等数学公式的初等数学公式 初等初等代代数数 1．．乘乘法法公式与公式与因因式分式分解解 222(1)()2a baab b±=±+ 2222(2)()222a b cabcabacbc+ +=+++++ 22(3)()()aba b a b−=−+ 33223(4)()33abaa babb±=±+± 3322(5)()()ababaabb±=±+m 123221(6)()()nnnnnnnababaabababb−−−−−−=−+++++…… 2．．比比例例()acbd= (1)abcdbd++=合比定理 73 (2)abcdbd−−=分比定理 (3)abcdabcd++=−−合分比定理 (4),.aceaceaceacetbdfbdfbdfbdf++========++若则令于是(5)yxykx k=若 与 成正比，则（ 为比例系数） (6)kyxykx=若 与 成反比，则（ 为比例系数） 3．不．不等式等式 10,0nnabnab>>>>（）设，则 0,nnabnab>>>（2）设为正整 数，则 (3),acaaccbdbbdd+<<<+设则 312312(4),2,3nnnabababcabcaaaaa aan+≥++≥+++≥非负数的算术平均值不小于其几何平均值，即………… (5)绝对值不等式 1 || ||||abab+≤+） || ||||abab−≤+2） || ||||abab−≥−3） ||||aaa−≤≤4） 4．．二二次方程次方程 20axbxc++= 221244(1):,22bbacbbacxxaa−+−−−−==根 3774 1212(2),bcxxx xaa+= −=韦达定理： 20,(3)400,bac>∆ =−=<方程有两不等实根判别式，方程有两相等实根方程有两共轭虚根 5．．一元一元三次方程三次方程的的韦韦达达定理定理: 321231231223311230,,xpxqxrx xxxxxpxxxxxxqxxxr+++=++= −⋅+⋅+⋅=⋅⋅= −若的三个根分别为，则 6. 指指数数 (1)mnm naaa+⋅= (2)mnm naaa−÷= (3)()mnmnaa= (4)()nnnaba b= (5)( )mmmaabb= 1(6)mmaa−= 7．．对数对数 log,(0,1,0)aNaaN>≠> logln(1),aNNNaNe==对数恒等式更常用 (2)log ()loglogaaaMNMN=+ (3)log ()loglogaaaMMNN=− (4)log ()lognaaMnM= 75 1(5)loglognaaMMn= log(6)loglogbabMMa=换底公式 (7)log 10a= (8)log1aa = 8．．数列数列 （（1）等）等差差数列数列 设 1a- - - - 首项， na- - - - 通项 d- - - - 公差， nS- - - - 前 n 项和 11)(1)naand=+− 11(1)2)22nnaan nSnnad+−==+ 13), ,,()2a b cbac=+设成等差数列 则等差中项 （（2）等比数列）等比数列 设1a- - - - 首项， q- - - - 公比， na- - - - 通项， 则 111)nnaa q−=通项 11(1)2)11nnnaa qaqnS−−==−−前 项和 （（3））常用常用的几的几种种数列的和数列的和 11)123(1)2nn n++ ++=+L 222212)123(1)(21)6nn nn++++=++L 3876 3333213)123[(1)]2nn n++++=+L 14)1 22 3(1)(1)(2)3n nn nn× + × +++=++L 14)1 2 32 3 4(1)(2)(1)(2)(3)4n nnn nnn× × + × × ++++=+++L 9．．排排列、列、组组合合与二与二项项式定理式定理 （（1））排排列列 (1)(2)[(1)]mnPn nnnm=−−−−L （（2））全全排排列列 (1)3 2 1!nnPn nn=−× × =L （（3））组组合合 (1)(1)!!!()!mnn nnmnCmm nm−−+==−L 组组合合的性质：的性质： 1)mn mnnCC−= 1112)mmmnnnCCC−−−=+ （（4）二）二项项式定理式定理 12 2(1)(1)[(1)]()2!!nnnnn kknn nn nnka bana bababbk−−−−−−−+=++++++LLL 平面平面几何几何 1、、 图形图形面积面积 （（1）） 任任意意三角三角形形 111sin()()(),()222SbhabCs sa sb scsabc===−−−=++其中 平行平行四四边边形形 sinSbhabϕ== （（2）） 梯梯形形 S=中位线中位线×高高 （（3）） 扇扇形形 21122Srlr θ== 77 2、、 旋转旋转体体 （（1）） 圆拄圆拄 设 R- - - - 底圆半径，H- - - - 拄高，则 1）侧面积 2SRHπ=侧， 2）全面积 2()SR HRπ=+全 3）体积 2VR Hπ= （（2））圆锥圆锥 （（22lRH=+母线）） 1））侧面积 SRlπ=侧 2）全面积 ()SR lRπ=+全 3）体积 213VR Hπ= （（3））球球 设 R- - - - 半径， d- - - - 直径，则 1）全面积 24SRπ=全 2）体积 343VRπ= （（4）） 球球缺缺（（球球被被一个一个平面所平面所截而得截而得到到的的部部分）分） 1） 面积 2()SRhπ=不包括底面 2） 体积 2()3hVhRπ=− 3．．棱拄棱拄及及棱锥棱锥 设 S- - - - 底面积，H- - - - 高： （1）棱拄体积 VSH= （2）棱锥体积 13VSH= （3）正棱锥侧面积 12A=××母线 底周长 3978 三、平面三角三、平面三角 1．三角函数间的关系．三角函数间的关系 （1）sincsc1αα = （2）cossec1αα = （3）tancot1αα = （4）22sincos1αα+= （5）221tansecαα+= （6）221 cotcscαα+= （7）sintancosααα= （8）coscotsinααα= 2 倍倍角三角角三角函数函数 (1)sin22sincosααα= 2222(2)cos2cossin12sin2cos1ααααα=−= −=− 22tan(3)tan21tanααα=− 21 cot(4)cot22cotααα−= 21 cos2(5)sin2αα−= 21 cos2(6)cos2αα+= 3．三角．三角函数的和函数的和差差化化积积与与积积化化和和差差公式公式 (1)sinsin2sincos22αβαβαβ+−+= (2)sinsin2 cossin22αβαβαβ+−−= (3)coscos2coscos22αβαβαβ+−+= (4)coscos2sinsin22αβαβαβ+−−= − 1(5)sincos[sin()sin()]2αβαβαβ=++− 1(6)coscos[cos()cos()]2αβαβαβ=++− 1(7)cossin[sin()sin()]2αβαβαβ=+−− 79 1(8)sinsin[cos()cos()]2αβαβαβ=+−− 4．．边边角角关系关系 （（1））正正弦弦定理定理 2sinsinsinabcRABC===，， R 为外接圆半径 （（2）） 余弦余弦定理定理 2222cosabcbcA=+− 2222cosbcacaB=+− 2222coscababC=+− 5．反三角．反三角函数函数 恒恒等式等式 22(1)arcsinarcsinarcsin(11)xyxyyx±=+±− 22(2)arccosarccosarccos((1)(1))xyxyxy±=−−m (3)arctanarctanarctan()1xyxyxy±±=m (4)arcsinarccos2xxπ+= (5)arctanarc cot2xxπ+= 40。