sx1202几何三大难题.pdf

专题 2 几何三大难题一、问题的提出1．希腊人的数学观2．尺规作图公法直尺：1. 经过已知两点作一直线；2. 无限制地延长一直线圆规：以任一点为中心和任一距离为半径作一圆（或弧 ) 这里的直尺是没有刻度的，这是因为当时度量单位不统一，彼此出入很大；更重要的是，希腊几何学着重推理，不需要直尺上有刻度按尺规作图公法，直尺是用来画直线的，也只能用来画直线因此，不能利用直尺上的刻度或任何标记， 甚至不能认为直尺有端点（即不能利用端点） ，也不能把直尺和圆规合起来使用暗含的条件：作图时，只能有限次使用直尺和圆规后来在初等几何作图中，出于连续性的考虑，一般还加上一条：两条已知不平行直线，可以作出它们的交点；已知直线和圆或弧、两已知圆或弧若相交，可以作出它们的交点3．几何三大难题：倍立方体问题；三等分任意角问题；化圆为方问题4．最早试图解这三个问题的数学家阿那克萨哥拉（Anaxagoras ，约 440B.C.) ，属于爱奥尼亚学派，据说他在牢房里还在研究化圆为方问题早期毕达哥拉斯学派开奥斯（Chios ）的希波克拉底（Hippocrates ，公元前 5 世纪 ) ，大约属于毕达哥拉斯（Pythagoras ）派。

他将倍立方体问题简化为求两个比例中项的问题，又在研究化圆为方问题的过程中证明了月形定理希匹亚斯（Hippias ，约 460 B.C. ～?） ，他是智者派的代表人物之一智者派的另一学者安提丰（Antiphon ，公元前 5 世纪）由于研究化圆为方问题发明了割圆术，后来经攸多克色斯（ Eudoxus ）发展为穷竭法二、倍立方体问题：求作一立方体的边，使该立方体的体积为给定立方体的二倍1．问题的起源：倍平方─→倍立方2．希波克拉底：作两给定线段 s 和 2s 的两个比例中项s ：x ＝ x ：y ＝ y ：2s ===> x3＝ 2s3， y3＝ 4s33．阿契塔斯：求一个直圆柱、一个内直径为零的圆环面和一个直圆锥的交点4．梅内克莫斯（Menaechmus ，约 350 B.C. ） ：由三种圆锥截割出三种圆锥曲线圆锥：由一个直角三角形角绕其一直角边旋转而成锐角圆锥─→椭圆；直角圆锥─→抛物线；钝角圆锥─→双曲线（一支） 他把从希波克拉底的比例式得到的两个方程 x2＝ay，y2＝2ax 的解看作是相应的两条抛物线的交点，试图以此求出两倍立方体的棱长,? 但这仍不能仅用直尺和圆规作出。

公元前 3 世纪，阿波罗尼斯（Apollonius，约 262 ～190 B.C. ）重新定义了圆锥，在此基础上重新定义了圆锥曲线，对其进行了全面研究，写成《圆锥曲线论》 （8 篇，收入 400多个命题）5．丢克勒斯蔓叶线丢克勒斯（Diocles ，约 180 B.C. ）在他的光学著作《论取火镜》中用蔓叶线解决了倍立方体问题设 AB⊥DC 均为圆 O 的直径， E、F 分别是四分之一圆周BD 、BC上的点，使弧BE ＝弧 BF 作 EG 、FH均垂直于 DC ，连 CE ，设 P是 CE与 FH的交点─蔓叶线就是这样的点P的轨迹它对应于四分之一圆周BD上的 E及 BC上的 F 这二点的不同位置6．用其他作图工具解决倍立方体问题柏拉图（Plato ）方法：用直角尺求比例中项埃拉托色尼（ Eratosthenes，约 230 B.C.) ：使用两块全等的三角板阿波罗尼斯（Apollonius，约 262 ～ 190 B.C. ）7．1837 年，法国数学家 P.-L.旺策尔（ 1814～1848）证明倍立方体问题不能用欧几里得工具作图能归结为既约三次方程的作图问题都是尺规作图不能问题。

设原立方体的边长为单位长 1 ，要作的立方体的边长为 x ，则倍立方体问题就变为求解下面的三次方程：x3－2＝0，由于这个三次方程是既约的，所以倍立方体问题不可能仅用圆规直尺作图来实现三、三等分任意角问题：分一个给定的任意角为三个相等的部分1．问题的起源：正九边形作图，60°三等分；线段的任意等分；角的二等分2．希匹亚斯的割圆曲线智者派的代表人物之一、埃利斯城的希匹亚斯（Hippias ，约460 B.C. ～? ）在求解三等分任意角问题时发明了割圆曲线它是这样生成的： 在正方形ABCD 中，AB ⊥BC. AB顺时针方向以匀速绕A旋转到 AD的位置，与此同时BC平行于其自身以匀速下降到 AD. 设 AB旋转到 AD'时， BC平移到 B'C'. 令 E' 为 AD'与 B'C' 的交点—则此 E' 便是割圆曲线 BE'G 上的一个典型点，G是割圆曲线的终点现代形式：y ＝ xtg(πy／ 2a)此曲线是希腊人最早通过运动生成的特殊曲线，不仅可用以解决三等分角问题，还可以化圆为方3．化为斜向问题4．阿基米德螺线：ρ＝aθ5．尼科梅迪斯（Nicomedes）蚌线6．用圆锥曲线三等分角⑴设给定角∠ AOB . 作以 O 为中心，以OA为渐近线的等轴双曲线的一支，交OB于 P。

以 P 为圆心、 2(PO)为半径作一圆，交双曲线于R作 PM平行于 OA ，作 RM垂直于 OA ，相交于M . 于是，∠ AOM ＝（ 1／3）∠ AOB ⑵ 大约在 300 A.D. 左右，帕普斯（ Pappus）采用了如下方法解决三等分角问题：设取∠AOB 为一个圆的圆心角，OC?为∠ AOB的角平分线 . 作离心率为 2 ，以 A 为焦点， OC为对应准线的双曲线的一支；且设这一支交弧AB于 P ，于是，∠ AOP ＝（ 1／3)∠AOB. 7．用其他作图工具三等分角8．1837 年，法国数学家旺策尔（ Wantzel ）证明三等分角问题不能用欧几里得工具作图四、化圆为方问题：作一正方形，使其与一给定的圆面积相等1．问题的起源：圆面积的计算2．希波克拉底（Hippocrates ）的月形设 ABC是一个等腰直角三角形，并设它内接于中心为 O 的半圆 . 设 AEB 是以 AB 为直径的半圆，则有半圆 ABC的面积 AC22 ──────—＝ ──＝ ─- 半圆 AEB 的面积 AB21 因而四分之一圆OADB 的面积等于半圆 AEB 的面积去掉两者的公共部分弓形 ADB，可知月形 ADBE 的面积等于△AOB的面积。

3．割圆术的萌芽：安提丰，布里松据说，智者派的学者安提丰（Antiphon ，约 450 B.C. ）在研究化圆为方问题时提出了这样一个观点：随着一个圆的内接正多边形的边数逐次成倍增加，这个圆与多边形的面积之差最终将被穷竭因为我们能作出与任何给定的多边形面积相等的正方形，所以就能作出与给定圆面积相等的正方形这个论断当时立即受到批驳，其理由是它违背了“量是无限可分的”这一原则，因此，安提丰的程序永远也不能穷竭这个圆的全部面积尽管如此，他的大胆论断确实包含了希腊穷竭法的萌芽此后不久，另一位智者派学者布里松（Bryson ，约 430 B.C.)采用了安提丰的设想，而且不仅作圆内接正多边形，还作圆外切正多边形，从而丰富了安提丰的思想4．穷竭法：攸多克色斯，阿基米德割圆术穷竭法是古希腊数学家处理面积、体积等问题的一种方法，其思想与定积分有某种相通之处萌芽于安提丰的穷竭法（这个名称最早见于1647年）在攸多克色斯（Eudoxus）那里得到补充和完善，并通常以攸多克色斯命名，其思想、方法及应用被欧几里得收入他的《原本》第12 篇，而其基础是第10 篇命题 1. 攸多克色斯原理 （ 《原本》 10-1) ：对于两个不相等的量，若从较大的量减去一个大于其半的量，再从所余量减去一个大于其半的量，并重复执行这一步骤，就能使所余的一个量小于原来那个较小的量。

攸多克色斯用穷竭法证明了下列命题（收入欧几里得《原本》，命题排序根据《原本》）及其他一些相关的命题：12- 2 圆与圆之比等于其直径平方之比12-10 任一 [ 正] 圆锥是与其同底等高圆柱的三分之一12-18 球的比等于它们直径的三次比用穷竭法证明数学命题的基本步骤是：⑴ 为确定平面图形 A 的面积 S（或空间图形 A 的体积 S） ，作该图形的递增内接图形序列B1，B2，, ， Bk，, ，其对应的度量（面积或体积) 是 Sk（每个Sk都能确定），且随着 k 的增大， S－ Sk＞ 0 充分小由于此时 S 尚未求出，对（Sk）的要求实际上是根据攸多克色斯原理⑵ 作该图形的递减外切图形序列（Bk' ） ，其对应的度量为 Sk' ，且随着k 的增大， Sk' －Sk＞0 充分小利用 S－Sk＜ Sk' －Sk. 在攸多克色斯的时代，外切图形的使用尚不明显⑶ 一般是借助于别的理论和实际的考虑，确定内接图形序列（Bk）的面积（或体积）的极限 S0. ⑷ 用归谬法证明 S ＝ S0. 穷竭法虽然在计算曲边形的面积和曲面所围的体积方面有所进展，但仍有很大缺陷，主要是：①解决每个问题都需要精心设计一种巧妙的方案，这就给应用带来了严重困难。

②希腊人得到的结果通常只是指出所要求的面积或体积等于某一简单图形的面积或体积，但后者的数值往往也是未知的，而对应用来说需要的恰好是具体的数值5．用割圆曲线化圆为方6．用阿基米德螺线化圆为方7．文艺复兴时期，达·芬奇设计的方法：用一个底与已知圆相等，高为已知圆半径之半的圆柱在平面上滚动一周，所得矩形面积等于已知圆面积，再将矩形化为等积的正方形即可8．1882 年，德国数学家林德曼（F.Lindemann ）证明 π是超越数，从而证明化圆为方问题不可用欧几里得工具作图9．1988 年，匈牙利数学家 Laczkovich（拉茨科维奇）证明，一个圆可以被分解成有限多块，然后再将它们重新拼装成一个面积与之相等的正方形这里的每一块都是不可测的（即没有面积），该分解的实现需要使用选择公理五、关于 π1．π的符号：希腊文περι φερια（圆周）的第一个字母2．π的计算及研究方法① 割补近似：古埃及（约1650) 阿默斯纸草书第48 题： “有一个边长为 9 的正方形，将其每边等分为三份，联结分点，得到一个八边形试求其面积② 割圆术：古希腊（前 5 — 前 3 世纪） ；中国（刘徽， 263) ③ 调日法：中国（何承天， 5 世纪 ) 。

④ 连分数：英国（W.Brouncker ，约 1658) ；日本（关孝和，零约术) ⑤ 无穷乘积：法国（Viete ，1593) ⑥ 无穷级数：德国（Leibniz ，1674) ⑦ 概率：法国（ Buffon ，1777) ⑧ 电子计算机：美国（Maryland ，1949) 3．π的数值古代： π＝ 3. 约 1650 B.C. ，埃及 Ahmes 纸草书， π＝ (16 ／9)2≈3.1605. 公元前 3 世纪， Archimedes 证明 3 ＋10／71 ＜ π ＜ 3 ＋1／7. 2世纪， Ptolemy 取π＝377／120 . 3世纪，刘徽证明 314 ＋64／625 ＜ π ＜ 314 ＋169／625，同时得到 π≈ 3927 ／ 1250 5世纪，祖冲之证明 3.1415926 ＜ π＜3.1415927 ，并给出 π≈22／7, π≈355／113 两个最佳渐近分数1427年， al-Kashi 给出 2 π≈6.283 185 307 179 586 5 . 1596年， Ludolph van Ceulen 求至 20 位小数，又尽其余生求至35 位小数，死后刻在墓碑上。

1630年， Grienbergen 求至 39 位小数，是使用割圆术的最后一个重要尝试1699年， A.Sharp 利用 Gregory公式，取 x ＝√ 3／3 ，求至 71 位小数1706年，梅钦（ J.Machin ）利用 Gregory ?级数和他自己给出的公式π＝4arctg1 ／5－arctg1 ／ 239 求至 1。