几种特殊类型行列式及其计算.doc

1行列式的定义及性质1.1定义[3]n级行列式#a11a12IIIa1na21**a22IIIa2n■■*an1qan2III♦ann等于所有取自不同行不同列的个 n元素的乘积aijla2jj||anjn （1）的代数和,这里 川2川jn是1,2j||,n的一个排列,每一项（1）都按下列规则带有符号：当jij2川jn是偶排列时,⑴带正号，当 jlj2川jn是奇排列时，（1）带有负号•这一定义可写成aiia21■f■fa■ran1a22an2IllIIIa2nann、_1 •心 jnj1 j2“l jnj1 a2j^l I anjn这里 v 表示对所有n级排列求和.j1 j2| II jn1.2性质[4]性质1.2.1行列互换，行列式的值不变.性质1.2.2某行（列）的公因子可以提到行列式的符号外.性质1.2.3如果某行（列）的所有元素都可以写成两项的和,则该行列式可以写成两行列式的和；这两个行列式的这一行（列）的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行（列）与原行 列式相同.性质1.2.4两行（列）对应元素相同,行列式的值为零.性质1.2.5两行（列）对应元素成比例，行列式的值为零.性质1.2.6某行（列）的倍数加到另一行（列）对应的元素上,行列式的值不变.性质1.2.7交换两行（列）的位置,行列式的值变号.2行列式的分类及其计算方法2.1箭形（爪形）行列式这类行列式的特征是除了第1行（列）或第n行（列）及主（次）对角线上元素外的其他元素均 为零，对这类行列式可以直接利用行列式性质将其化为上（下）三角形行列式来计算•即利用对 角元素或次对角元素将一条边消为零.例1计算n阶行列式Dn 二解将第一列减去第二列的a11川1a20III0a3IIIIIIIIIIIIIII100IIIan—倍，第三列的a2—倍•第n列的丄倍，得a3 ana1 1 - IIIa200III032 0 I I \0 33 I I \in hi hi 0 0 inn二.aii =2n31 -二i=2丄3i丿2.2两三角型行列式这类行列式的特征是对角线上方的元素都是 c,对角线下方的元素都是b的行列式，初看, 这一类型似乎并不具普遍性，但很多行列式均是由这类行列式变换而来，对这类行列式，当b二c时可以化为上面列举的爪形来计算，当 b = c时则用拆行例）法⑶来计算.例2计算行列式解当b=c时ai c c 川b a2 c 川Dn = b b a3 川III III III IIIb b b|l|cccHIanDna1 bb a2b bIII IIIb bb川b b川b a3川b 111 III HI b川an将第2行到第行n都减去第1行，则Dn化为以上所述的爪形，即用上述特征1的方法，则有aiab 一 a〔ba? - bb0IIIIIIb06 =b _ a〔0a3 -bIII0IIIIII川IIIb — a〔00IIIan —bn1i =2 ai - b0 IIIb - ai b - aiIIIb - aia2 - b 0 1)10 a3 - b 1)1III HI HI0 0 III000IIIan _ bn n：l 丨 © - b ■ b ia b i_a b-i ia 川 b 〒 ai =i i A当b^c时，用拆行（列）法［9］，则xi a a 川 a为 a a HI a + 0b x2 a 川 ab x2 a III a + 0Dn =b b x3 川 ab b x3 III a + 0川 III HI III IIIlli III III III HIb b b 川 x,b b b 川 b + Xn-bX1aaIIIaXaaIH0bX2aIIIabX2aIH0bbX3川a+bbX3IH0川IIIHIHIIHIHHIHIIIIHIbbb川bbbbINXn - bX1 -a0IHIHab -aX2 —a川IHaIIIIIHIHIa+ (Xn —b)Dn_pb -ab_a 川XnA 一a a00IH0b化简得Dn 二 b 祕一 a 2X 丨 a a x _b 1 D而若一开始将Xn拆为a Xn -a，则得Dn = a iX— b 2X lb J X b n— X a-i D由 1 & -b - 2 XnT，得1 - n n 1Dn =— ,^n(X -b)-bn (Xj -a ).a -b - y jm有一些行列式虽然不是两三角型的行列式，但是可以通过适当变换转化成两三角型行列式进行计算•例3计算行列式dcbXb川 a川baDn =caXIHa5^2)IHIHIIIHcaaIIIX解将第一行b，第一列a，得bca2d bc aaXaaIHIHaaD =——5 211JaaaXHIaIIIIHHIHIinaaaIHX即化为上2 一 1情形，计算得ndDn=d x-a i 亠 i n-1 ad-be x-a而对于一些每行（列）上有公共因子但不能像上面一样在保持行列式不变的基础上提出公共因子的，则用升阶法［8］来简化.例4计算行列式解将行列式升阶，得1+x12X1X2卅X2^1 +%2 mIIIIIIIIIIIIXnXXnX2III1721XX2IIIXn0 1X1X2III X1Xn02X2X1 1 + x2III X2XnIIIinHIIIIHI0XnX1XnX2川 1+Xn2DnDn将第i行减去第一行的人i =2,川,n倍，得Dn 二_X1-X2III一 Xn片10HI0X201HI0IIIIIIIIIIIIIIIX00HI1这就化为了爪形，按上述特征1的方法计算可得Dnn1 亠一 Xii =100III0Xi10III001III0IIIXnIIIIIIIHIII00II1n二 1 二i =12.3两条线型行列式这类行列式的特征是除了主（次）对角线或与其相邻的一条斜线所组成的任两条线加四个顶点中的某个点外，其他元素都为零，这类行列式可直接展开降阶，对两条线中某一条线元素全为0的，自然也直接展开降阶计算例5计算行列式aiIIIa2Dn =川III川HIbnIII解按第一行展开'可得a2b2IIIIHlliIIIa3baIIIIIIDn = aiIIIIIIIIIIIIIIIIII1IIIIIIan /L.IIIIIIHIIIIanIIIIIIIHPIIIIIIIIIIIIIII.IIIan/bn」IIIIHanIllinIHIHa2b2IHIIIIII--m+0(--)HIIIIIHHIHIIIIHIan A.IIIHInHIanVbn_1pa 2川an _1 n 1blb 山bn例6计算行列式anan J■D2n —■+Cn Jcn解方法1直接展开可得anJ-Ibnj 044a- biD2n =anc- dI■i+Cn 4卜d n J0dntn■+a biC\ di■dn1dn0and■bn 44■1a-tbi-七n+ *(--)■c.d-■i+CnX卜d n 4Cn0bndan Jbnd二 And.aiGbidiaiCibididnjdnj= (andn —bnCn JD^n i yD2n N.andn -06 D2 na.dn - 砧 8n jdn J - bn jCn J D2n2 詡I 八 ajdj- bC .方法2 （拉普拉斯定理法⑶）按第一行和第2n行展开得bn」+abi di+dn」-（andn - bnCn ）D2（n4j其余的同法i.2.4 Hessenberg 型行列式这类行列式的特征是除主（次）对角线及与其相邻的斜线，再加上第i或第n行外，其他元 素均为零，这类行列式都用累加消点法，即通常将第一行 （列）元素化简到只有一个非零元素，以便于这一行或列的展开降阶计算•例7计算行列式an JD2nanbidnH2n卅七nIaiCii23HIn —ini-i0。