流体力学：第5章势流理论上课件.ppt

流体力学流体力学第第5章章  势流理论势流理论 (Chapter 5. Potential Flow Theory)   本本本本章章章章内内内内容容容容：：：： 研研研研究究究究不不不不可可可可压压压压理理理理想想想想流流流流体体体体无无无无旋旋旋旋运运运运动动动动流流流流场场场场的的的的速度分布、压力分布及作用于物体上的力速度分布、压力分布及作用于物体上的力速度分布、压力分布及作用于物体上的力速度分布、压力分布及作用于物体上的力BackgroundBackground：：：：Aviation, ship & ocean eng.Aviation, ship & ocean eng.water waves.water waves.5.1 势流问题的基本方程和边界条件势流问题的基本方程和边界条件Laplace方程是线性方程要使方程是线性方程要使解唯一，需给出边界条件、初解唯一，需给出边界条件、初始条件5.1.1 基本方程基本方程——Laplace Equition （in fluid） 势流问题的数学描述势流问题的数学描述——Mathematical Model5.1.2 5.1.2 边界条件边界条件边界条件边界条件( (Boundary Condition)Boundary Condition)——速度势在流体域边界面上满足的条件速度势在流体域边界面上满足的条件速度势在流体域边界面上满足的条件速度势在流体域边界面上满足的条件— — 物面运动速度物面运动速度— — 流体质点的速度流体质点的速度— — 物面的单位外法向量物面的单位外法向量 1)1)1)1)物面边界条件物面边界条件物面边界条件物面边界条件：：：：物面不可穿透物面不可穿透物面不可穿透物面不可穿透（on S） S ： 若物面运动：对若物面运动：对 求全（物质）导数求全（物质）导数若物面静止不动：若物面静止不动： ，则物面边界条件简化为，则物面边界条件简化为        （（ on S ）） （（on S）） 5.1.1 基本方程基本方程——Laplace Equition（（（（1 1 1 1）大地坐标系：）大地坐标系：）大地坐标系：）大地坐标系：   2) 2) 无穷远边界条件无穷远边界条件无穷远边界条件无穷远边界条件   5.1.3 5.1.3 初始条件初始条件初始条件初始条件（（（（initial initial condition)condition)     初始时刻初始时刻 速度势速度势 ( (或或 ) )在流体在流体域内或边界上满足的条件。

域内或边界上满足的条件2 2）随体坐标系：）随体坐标系：）随体坐标系：）随体坐标系：若物体以若物体以V V0 0 运动，则问题转化为物体不动，运动，则问题转化为物体不动，而流体从无穷远处以而流体从无穷远处以-V0 流来流来 —— —— 绕流问题绕流问题绕流问题绕流问题例例例例5-15-15-15-1半径为半径为R 的固定大球壳中充满不可压缩理想流体，半径为的固定大球壳中充满不可压缩理想流体，半径为a 的小球以速度的小球以速度V(t) 在其中运动试建立速度势在其中运动试建立速度势定解问题定解问题定解问题定解问题 y x0 z oＶ(t) x解解解解 : : : :     取静坐标系取静坐标系o - xyz（在流体中）（在流体中） 外边界条件：外边界条件：大球面方程为大球面方程为 ，得，得 内边界条件：内边界条件：内边界条件：内边界条件：小球表面方程为小球表面方程为小球表面方程为小球表面方程为5.1.4 5.1.4 势流问题的求解方法势流问题的求解方法解析解：解析解：解析解：解析解：简单边界问题。

简单边界问题 奇点叠加法；保角变换法（平面流）奇点叠加法；保角变换法（平面流）数值解数值解数值解数值解：：：：复杂边界问题复杂边界问题       CFD — Computational Fluid Dynamics寻寻求求速速度度势势满满足足边边界界条条件件和和初初始始条条件件的的Laplace 方方程程的解的解 on S）） （（in fluid）） 定解问题：定解问题：定解问题：定解问题： 5.2  复势（复势（complex potential ））1)1)复势复势复势复势函数：函数：解析函数解析函数解析函数解析函数                              平面势流平面势流平面势流平面势流5.2.1 5.2.1 复势与复速度复势与复速度（复平面）（复平面）(C-R 条件条件)平面势流平面势流平面势流平面势流: : : :φ和和ψ都是都是调和函数调和函数，， ，且满足，且满足2)2)复速度（导数）与流体速度的关系：复速度（导数）与流体速度的关系：复速度（导数）与流体速度的关系：复速度（导数）与流体速度的关系： 借助复变函数数学工具解平面势流问题。

借助复变函数数学工具解平面势流问题借助复变函数数学工具解平面势流问题借助复变函数数学工具解平面势流问题4 4)  ) 5.2.1 5.2.1 复势与复速度复势与复速度（复平面）（复平面）3)3)复速度的环路积分与速度环量和流量的关系：复速度的环路积分与速度环量和流量的关系：复速度的环路积分与速度环量和流量的关系：复速度的环路积分与速度环量和流量的关系：解析函数解析函数 的线性组合的线性组合 仍仍然然是是解解析析函函数数，，仍仍然然代代表表某某一一种种流流动动的的复复势势简简单单流动组合成复杂流动流动组合成复杂流动————叠加法叠加法叠加法叠加法 5.2.1   5.2.1   复势的可叠加性复势的可叠加性5.3 平面势流的基本解平面势流的基本解目的：目的：求解最简单的流动，为解决复杂势流奠定基础求解最简单的流动，为解决复杂势流奠定基础内容：内容：均匀流、点源、点涡、偶极均匀流、点源、点涡、偶极方法：方法：利用已知流动的特征，利用已知流动的特征，“凑凑”mM5.3.1  均匀流均匀流 (uniform stream)    ==0 0    时：时：时：时：    ≠≠ 0 0    时：时：时：时： x a 平板 y V0 o5.3.2 平面点源、点汇平面点源、点汇 (source and sink)源强：源强：源强：源强：源点注入流场的体积流量源点注入流场的体积流量 m。

点源，点源， 点汇点源位于点源位于点源位于点源位于（0，0）：：：： x y ψ=const φ=const r点源位于点源位于点源位于点源位于（（x0，，y0））：：：：5.3.2 平面点源、点汇平面点源、点汇 (source and sink)5.3.3 5.3.3 平面偶极平面偶极平面偶极平面偶极   (dipole)(dipole)偶极强度：偶极强度：偶极强度：偶极强度：设强度为设强度为m 的的源源和和汇汇相距相距 这对源汇构成一新的奇点为偶极，方向由汇指向源这对源汇构成一新的奇点为偶极，方向由汇指向源偶极既有大小，又有方向偶极既有大小，又有方向m-m 位于位于位于位于( ( ( (x x0 0，，，，y y0 0）））），沿，沿，沿，沿 -x -x 轴方向：轴方向：轴方向：轴方向：点源点源                ，点汇，点汇 5.3.3 5.3.3 平面偶极平面偶极平面偶极平面偶极   (dipole)(dipole)位于（位于（位于（位于（0 0 0 0，，，，0 0 0 0）偶极：）偶极：）偶极：）偶极： 位于（位于（位于（位于（0 0 0 0，，，，0 0 0 0）偶极：）偶极：）偶极：）偶极： 5.3.4 5.3.4 平面点涡平面点涡平面点涡平面点涡   (vortex)(vortex) ΓΓΓΓ顺时针方向顺时针方向顺时针方向顺时针方向，若逆时针，上式加负号。

若逆时针，上式加负号位于（位于（位于（位于（0 0 0 0，，，，0 0 0 0）点涡：）点涡：）点涡：）点涡： 不不难难验验证证，，上上述述基基本本解解满满足足Laplace方方程程和和相相应应的的无无穷穷远远条条件件的的另另外外，，在在源源、、涡涡和和偶偶极极的的位位置置上上存存在在奇奇异异性性（（奇奇点点））可可见见，，点点源源（汇）、偶极以及点涡都是（汇）、偶极以及点涡都是奇点奇点奇点奇点，均匀流是一个特殊的奇点均匀流是一个特殊的奇点  作业作业5-4补充题补充题:已知复势为:试分析以上流动的组成,绘出流线图.1. 1. 由基本解构造复杂流动的解由基本解构造复杂流动的解 —— —— 基本解（奇点）叠加法基本解（奇点）叠加法2. 2. 基本解叠加基本解叠加 代表何种物理流动？代表何种物理流动？5.4 平面势流基本解的叠加平面势流基本解的叠加5.4.1 5.4.1 均匀流和点源的叠加均匀流和点源的叠加均匀流和点源的叠加均匀流和点源的叠加+或或驻点位置驻点位置驻点位置驻点位置5.4.1 5.4.1 均匀流和点源的叠加均匀流和点源的叠加均匀流和点源的叠加均匀流和点源的叠加流体速度：流体速度：流体速度：流体速度：5.4.1 5.4.1 均匀流和点源的叠加均匀流和点源的叠加均匀流和点源的叠加均匀流和点源的叠加过驻点过驻点过驻点过驻点(a, 0)(a, 0)流线方程：流线方程：流线方程：流线方程： 时，时， ，流线，流线ⅠⅠ在无穷远处的半宽为在无穷远处的半宽为 。

均均匀匀流流和和源源叠叠加加可可模模拟拟绕绕弹弹形形物物体体的的流流动动调调整整源源强强m和和速速度度V0，，改变流线的形状改变流线的形状xy5.4.1 5.4.1 均匀流和点源的叠加均匀流和点源的叠加均匀流和点源的叠加均匀流和点源的叠加流场中压力分布流场中压力分布流场中压力分布流场中压力分布压力系数压力系数压力系数压力系数5.4.2 均匀流和一对等强度源汇的叠加均匀流和一对等强度源汇的叠加x方向均匀流方向均匀流 + + 等强度源汇：等强度源汇：源源(-b,0）、汇、汇(b,0）＋＋ ＋＋ 5.4.2 均匀流和一对等强度源汇的叠加均匀流和一对等强度源汇的叠加＋＋ 将流线替换成物面，该解模拟流体绕卵形体的外部流动将流线替换成物面，该解模拟流体绕卵形体的外部流动点源推开流线，点汇收回流线点源推开流线，点汇收回流线驻点位置：驻点位置：驻点位置：驻点位置： 过驻点流线：过驻点流线：过驻点流线：过驻点流线： xyo5.4.3　　沿轴正向均匀流与偶极的叠加沿轴正向均匀流与偶极的叠加偶极位于（偶极位于（0 0，，0 0），方向沿），方向沿 - - 轴：轴： 速度分布速度分布：： 驻点：驻点： 过驻点的流线过驻点的流线由由 、、 的的 x 轴和半径轴和半径 的圆组成。

该解的圆组成该解模拟流体绕圆柱的流动模拟流体绕圆柱的流动 5.4.4  绕圆柱体无环量流动绕圆柱体无环量流动研研究究半半径径为为 a  的的无无限限长长圆圆柱柱体体在在理理想想流流体体中中等等速速直直线线运动的解运动的解r>a)(r=a)(r∞)数学模型数学模型：：取固结于圆柱上的柱坐标系取固结于圆柱上的柱坐标系V0oyxra5.4.4  绕圆柱体无环量流动绕圆柱体无环量流动(1) (1) 速度势速度势速度势速度势—— —— 基本解叠加法（通解）基本解叠加法（通解） ：： 物面条件定解：物面条件定解：  复势：复势： 5.4.4  绕圆柱体无环量流动绕圆柱体无环量流动(2) (2) 速度分布速度分布速度分布速度分布柱面上（柱面上（r=a））：：5.4.4  绕圆柱体无环量流动绕圆柱体无环量流动(3) (3) 压力分布（无穷远处压力分布（无穷远处压力分布（无穷远处压力分布（无穷远处V0V0，，，，p0p0）））） 得全流场压力分布得全流场压力分布柱面上（柱面上（r =a）：）： Pressure coefficient5.4.4  绕圆柱体无环量流动绕圆柱体无环量流动阻力为零阻力为零(Archimedes Paradox) 圆柱体在理想流体中作等速直线运圆柱体在理想流体中作等速直线运动时，受到流体作用的阻力等于零，动时，受到流体作用的阻力等于零，原因：原因：没有考虑流体的粘性。

没有考虑流体的粘性 No liftNo drag(4) 圆柱受力圆柱受力5.4.5 绕圆柱有环量流动绕圆柱有环量流动 半径为半径为 a 的圆柱以的圆柱以 V0 作等速直线运动，作等速直线运动，转动角速度转动角速度  (r>a)(r=a)(r∞)数学模型数学模型V0Goyxra5.4.5 绕圆柱有环量流动绕圆柱有环量流动 V0Goyxra(1) (1) 速度势速度势速度势速度势：：：： 5.4.5 绕圆柱有环量流动绕圆柱有环量流动 (2) (2) (2) (2) 速度分布速度分布速度分布速度分布柱面上（柱面上（r=a）：）： 5.4.5 绕圆柱有环量流动绕圆柱有环量流动 若若 ＜＜1，柱面上有两个驻点，柱面上有两个驻点: 和和 ；；若若 =1，柱面上只有一个驻点，柱面上只有一个驻点: ；；若若 ＞＞1，柱面上无驻点，柱面上无驻点: 环量对流场的影响：环量对流场的影响：5.4.5 绕圆柱有环量流动绕圆柱有环量流动 (4) 圆柱受力圆柱受力 柱面上（柱面上（r=a）：）： Pressure coefficient(3) (3) 压力分布压力分布5.4.5 绕圆柱有环量流动绕圆柱有环量流动 阻力：阻力：升力：升力：升力的升力的升力的升力的大小大小大小大小：：：：等于密度等于密度 、流速、流速V0、、环量环量Γ0、、和柱体长度的乘积。

和柱体长度的乘积升力的升力的升力的升力的方向方向方向方向：：：：沿沿v0方向逆速度环量旋转方向逆速度环量旋转90°所对应的方向所对应的方向 V0 Г0 L图5.4.7 L 的方向 o圆柱：圆柱：圆柱：圆柱：绕圆柱上下表面流动不对称、环量（旋转）、粘性绕圆柱上下表面流动不对称、环量（旋转）、粘性机翼：机翼：机翼：机翼：机翼周围流场不对称、环量（机翼几何形状、攻角）、粘性机翼周围流场不对称、环量（机翼几何形状、攻角）、粘性升力产生的原因（Magnus effect）：作业作业5-15-25-35-5基基基基本本本本思思思思想想想想：：：：将将物物理理平平面面上上边边界界形形状状复复杂杂的的流流动动变变换换到到辅辅助助平平面面上上边边界界形形状状简简单单的的流流动动，，求求得得辅辅助助平平面面内内的的流流动动后后，，再返回到物理平面再返回到物理平面z 平面平面: ζ平面：平面：(1:1)5.5 平面势流的保角变换法平面势流的保角变换法（复变函数方法）（复变函数方法）5.5.1 5.5.1 5.5.1 5.5.1 保保保保角角角角变变变变换换换换的的的的概概概概念念念念及流动关系及流动关系及流动关系及流动关系如果如果ζ=f (z) 在定义域内单叶解析、导数在定义域内单叶解析、导数f ‘(z)≠0，则该变换是保角变换。

则该变换是保角变换如如果果ζ=f (z) 在在边边界界上上连连续续，，域域内内处处处处解解析析，，该该变变换换将将平平面面上上的的一一个个区区域域变换为变换为ζ平面上的一个区域，而且保持边界上对应点的顺序不变平面上的一个区域，而且保持边界上对应点的顺序不变1 1）））） 保角变换保角变换保角变换保角变换  保角变换将保角变换将z 平面上物体边界变为平面上物体边界变为ζ平面上边平面上边界的同时，对应点上的流动也界的同时，对应点上的流动也 (1: 1) 对应2 2 2 2）两平面内对应的）两平面内对应的）两平面内对应的）两平面内对应的流动流动关系关系关系关系①①①① 对应的对应的复势：复势： 两平面对应点上的复势相等等势线两平面对应点上的复势相等等势线变换成等势线，流线变换成流线：变换成等势线，流线变换成流线： 无穷远处：无穷远处： ②②②② 对应的速度关系：对应的速度关系：对应的速度关系：对应的速度关系： 若若m∞为实常数，为实常数，ζ上远方速度较上远方速度较 z 上放大上放大m∞倍，方向不变；若倍，方向不变；若m∞为复常数，远方速度大小、为复常数，远方速度大小、方向都改变。

方向都改变   ③③③③   对应的速度环量和体积流量（对应的速度环量和体积流量（对应的速度环量和体积流量（对应的速度环量和体积流量（保持不变保持不变保持不变保持不变）））） 设设z 平面上闭曲线平面上闭曲线C 变换为变换为ζ平面上的闭曲线平面上的闭曲线C‘，，沿对应封闭曲线沿对应封闭曲线C 和和C’ 的积分的积分 ②② 对应的速度：对应的速度： z x o y R 4 3 2 1ζ ξ o η R 4 3 2 1 b1 b2图5.5.1 平移变换z平面的图形变换到平面的图形变换到ζ平面时，形状不变，位置平移了距离平面时，形状不变，位置平移了距离b 5.5.2 5.5.2 常用的几种保角变换常用的几种保角变换常用的几种保角变换常用的几种保角变换关系关系关系关系（（（（1 1）））） 平移变换：平移变换：平移变换：平移变换：（（μ为实常数为实常数 ） z x o y R 4 3 2 1ζ ξ oη R 4 3 2 1 μ图图5.5.2 旋转变换旋转变换z 平面上的图形变到平面上的图形变到ζ上时，形状不变，但绕原点旋转了上时，形状不变，但绕原点旋转了μ度 （（（（2 2）旋转变换：）旋转变换：）旋转变换：）旋转变换：（（A 为实常数为实常数 ） ②②②② 圆变换为椭圆圆变换为椭圆圆变换为椭圆圆变换为椭圆 z 上圆上圆 r≠A ζ上椭圆上椭圆 ：：（（（（3 3）儒可夫斯基变换：）儒可夫斯基变换：）儒可夫斯基变换：）儒可夫斯基变换：        ①①①①   圆变换为直线圆变换为直线圆变换为直线圆变换为直线z 上圆上圆 r=A ζ上上直线直线ζ＝＝±A ：： z x o y A 4 3 2 1 A 4 3 2 1 ζ ξ η （（A 为实常数为实常数 ） ③③③③ 圆变换为翼型圆变换为翼型圆变换为翼型圆变换为翼型 z 上位于上位于（x0, y0) 的圆的圆 r≠A ζ上翼型上翼型 JoukowskiJoukowski 变换：变换：变换：变换： 利用利用JoukowskiJoukowski变换可讨论理想流变换可讨论理想流体绕平板和翼型的流动。

体绕平板和翼型的流动 5.5.3 5.5.3 理想流体理想流体理想流体理想流体绕平绕平板的流动板的流动板的流动板的流动 工程应用：工程应用：工程应用：工程应用：近似估计近似估计近似估计近似估计船用舵、风向标、对称机翼船用舵、风向标、对称机翼船用舵、风向标、对称机翼船用舵、风向标、对称机翼等流动物理物理 平面平面 辅助平面辅助平面 辅助平面辅助平面 物理平面物理平面ζ上平板绕流复杂，复势上平板绕流复杂，复势W (ζ) = ？？求求求求解解解解思思思思路路路路：：：：物物理理平平面面ζ上上平平板板变变换换为为辅辅助助平平面面z1上上的的圆圆，，相相应应地地平平板板绕绕流变换为圆柱绕流流变换为圆柱绕流.流速流速V0、板宽 2a ，，流向与平板夹角流向与平板夹角α• •复势复势复势复势：：• •变换函数变换函数变换函数变换函数 ( (Joukowski mapping) ) ：：：：来流速度：来流速度：来流速度：来流速度：• •平板平板平板平板( ( ( (无环量无环量无环量无环量) ) ) )绕流复速度：绕流复速度：绕流复速度：绕流复速度：理理论论上上平平板板端端点点ζ=±a 处处绕绕流流速速度度趋趋于于无无限限大大。

事事事事实实实实上上上上，，，，流流流流体体体体在在在在平平平平板后缘平滑流出，速度为有限值板后缘平滑流出，速度为有限值板后缘平滑流出，速度为有限值板后缘平滑流出，速度为有限值• • 库库库库塔塔塔塔——儒儒儒儒可可可可夫夫夫夫斯斯斯斯基基基基条条条条件件件件: : 绕绕具具有有尖尖锐锐后后缘缘物物体体流流动动中中, 上上下下流动在后缘会合，且后缘处速度为有限值流动在后缘会合，且后缘处速度为有限值将上表面驻点推后相当于原点加个点涡，点涡强度由将上表面驻点推后相当于原点加个点涡，点涡强度由K-J 条件确定条件确定• •平板（有环量）绕流的复势平板（有环量）绕流的复势平板（有环量）绕流的复势平板（有环量）绕流的复势 ：：：：   K-J条条件件仍仍未未解解决决平平板板前前缘缘速速度度无无限限大大问问题题，，这这引引起起前前前前缘缘缘缘吸吸吸吸力力力力实实际机翼前缘为圆弧形，可有效避免无限大速度的产生际机翼前缘为圆弧形，可有效避免无限大速度的产生 复速度：复速度：复速度：复速度： Kutta condition板面上板面上板面上板面上压力分布：压力分布：压力分布：压力分布： α<< 1：合力：合力：合力：合力： 升力系数升力系数升力系数升力系数：：：：A=2a小攻角升力（升力（升力（升力（application)application)：：：：O2π5.75.7平面定常绕流物体的受力平面定常绕流物体的受力——一般公式一般公式一般公式一般公式 Blasius合力矩公式：合力矩公式：Blasius合力公式：合力公式： o pxyndlc给出用复势表达的受力公式给出用复势表达的受力公式5.7.1 5.7.1 卜拉休斯合力公式合力公式物体受力物体受力记合力记合力共轭合力共轭合力和流场复势和流场复势若若已知已知物体边界线物体边界线5.7.2 5.7.2 5.7.2 5.7.2 Kutta-JoukowskiKutta-JoukowskiKutta-JoukowskiKutta-Joukowski定理定理定理定理  于是于是域中展开为罗朗级数域中展开为罗朗级数将解析函数将解析函数 在在 x Г0 y o当当 沿沿 x 方向、环量为方向、环量为     时时BlasiusBlasius公式的具体形式公式的具体形式公式的具体形式公式的具体形式由由例例5-4  用用Blasius合力公式求有环量（顺时针）圆柱绕流的作用力。

合力公式求有环量（顺时针）圆柱绕流的作用力解：解：流场的复势及其导数流场的复势及其导数受力受力留数定理留数定理与前面的结果完全相同与前面的结果完全相同。