专题1 与二次型有关的恒成立与有解问题 解析.docx

专题 1 与二次型有关的恒成立与有解问题一、考情分析我们把形如g (x)= a[f (x)]综上：a > 3 .故选C (二) 一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题 对于二次函数f (x) = ax2 + bx + c > 0(a丰0)有: + bf (x)+ c的函数称为二次型函数，与二次型函数有关的恒成立或有解问题 是高考考查热点与难点,与二次型函数有关的问题一般利用二次函数的性质求解.二、解题秘籍(一)一元二次不等式在R上的恒成立或有解问题对于二次函数f (x) = ax2 + bx + c > 0(a丰0)有：1. f (x) > 0在x G R 上恒成立 o a > 0且A < 0 ；2. f (x) < 0在x g R 上恒成立 o a < 0且A < 0 ；3. f (x) > 0 有解 oa > 0 或a<0A>0特别提醒：对于形如ax2 + bc + c > 0的不等式恒成立问题，不要忽略a = 0的情况.【例1】(2022届山西省长治市高三上学期练考)若不等式ax2 + (a- 1)x + a > 0对任意x gR恒成立，则实数a的取值范围是( )1C. a > —31A. a <-1 或a > 3 B. a > 1【答案】 C【分析】对a分两种情况讨论,结合二次函数的图象和性质求解.【解析】当a = 0时,0 + (0 — l)xx + 0> 0,・：x< 0,不符合题意，所以舍去;1当a丰0时,由题得a > 0且A = (a-1)2 -4a2 < 0,所以a >3.1.当a > 0时，若f (x) > 0在［a, P ］上恒成立o<卩或0若f (x) < 0在［a, P ］上恒成立of (a) < 0. f(P)<0.2•当 a < 0 时，若 f (x) > 0在［a, P ］上恒成立 o j f(；) > °I f (p) > 0若f (x) < 0在［a, P ］上恒成立o 0 Ia<-2a

P f(P)<03. f (x)> 0在 B,卩］上有解oa >0或］：；［：,p］时f (x) > 0.max【例2】设函数f (x) = mx2-mx-1,若对于任意的x e {x 11 < x < 3},f (x)<-m + 4恒成立，则实数m的取值范围为【答案】m < 7分析】由已知可得mx2 -mx + m-5< 0在x e {x 11 < x < 3}上恒成立，即(mx2 -mx + m-5) < 0,再通过讨论m的范围max求出(mx2 - mx + m - 5)，由此可得m的范围.max【解析】若对于任意的x e {x 11 < x < 3},f (x)<-m + 4恒成立,即可知：mx2 - mx + m 一 5 < 0在 x e {x 11 < x < 3}上恒成立,令g (x ) = mx 2 - mx + m - 5当m = 0时5 < 0恒成立,1当m丰0时，对称轴为x =- 当m < 0时，有g (x)开口向下且在11,3 ］上单调递减,在[1,3]上 g (x) = g (1)= m — 5 < 0,得m < 5，故有m < 0.max当m > 0时，有g (x)开口向上且在ll,3]上单调递增，在 \1,3 ］上 g (x) = g(3)= 7m—5 < 0,max综上，实数m的取值范围为m < 7(三)形如a [f (x)]2 + bf (x)+ c > 0的不等式恒成立问题形如a[f (x)]2 + bf (x)+ c > 0的不等式恒成立问题，可设t二f (x),转化为一元二次不等式，但要注意 t二f (x)的范围.【例3】若关于x的不等式cos2x + |sinx| + a < 0恒成立，则实数a的取值范围 ,( 1)【答案】―叫一云I 8丿【分析】把不等式转化为关于sinx的一元二次不等式.【解析】cos 2x + sin x + a = 1 - 2 sin x2 + sin x + a = —2 sin x —— + — + ak 4 丿 8 5当 sin x1 1 ( 1A=~时cos2x + |sin x|+ a取得最小值§ + a，所以实数a的取值范围是—g，— 64 8 k 8 丿(四)分离参数法求解方程有解问题求解含有参数a的一元二次方程有解问题，若能把参数a分离出来,转化为a = g (x)，则g (x)的值域就是a的 范围.【例4】关于x的方程9x + (a-l)3x +1 = 0有解，则a的取值范围 【答案】(—©—1]( 1 A【分析】把问题转化为a = 1 — 3x + —有解I 3x丿【解析】由 9x + (a — 1)3x +1 = 0 可得 a = 1 — 3x + 丄，方程 9x + (a — 1)3x +1 = 0 有解，则 f (x) = 1 — 3x + 丄 的 k 3x丿 k 3x丿值域就是a的范围，因为3x +丄> 2,所以g (x )<-1,故则a的取值范围是(-®-1]. 3x三、跟踪检测1.若命题“存在xeR,使x2 + 2x + m < 0”是假命题,则实数m的取值范围是( )A.(-8,1】 B. (-8,1)C. (1,+8) D.〔1,+8)【答案】C【解析】T命题“存在xeR,使x2 + 2x + m < 0”是假命题，则其否定“任意x e R, x2 + 2x + m > 0”为真命题，A = 22 一4m < 0，所以m> 1 .2. 关于x的不等式x2 -2ax + a > 0对x e R恒成立的一个必要不充分条件是( )A. 0 < a < 1 B. 0 < a < 1C. a < 0 或a > 1 D. a < 0 或a > 1【答案】 A【解析】关于x的不等式x2 - 2ax + a > 0对x e R恒成立，则A = 4a2 -4a < 0 n 0 < a < 1，根据题意知，选项能推 出题干，题干推不出选项，故题干的范围是选项范围的子集，只有A选项符合题意•故选A.3. 关于x的不等式ax2-| x I +2a > 0的解集是(-8, +8),则实数a的取值范围为( )A.「逅 1 ,+8B.f 歼-8, C.r应运:D.8,U「逅 1 ,+8L4 Jl 4 J4，41 4 JL4丿答案】 A【解析】不等式ax2- I x I +2a > 0的解集是(-8, +8)，即对于Vx e R ,ax2- I x I +2a > 0恒成立,x即 a > ，当 x = 0 时,a > 0,x 2 + 2、kl 1> 当 a 丰 0 时，x 2 + 2 |x| + 2 ,■2因为|x|lxl4 ,所以a >亘,4综上所述a e ,+8L4丿.故选 A.4.已知命题 P : 3x e[-1,l], x2 - 3x — 3 — a > 0 ; q: Vx e R, x2 - 3x + a 丰 0,若 P 为假命题,q为假命题，贝V实数 a的取值范围为( )A. 3,5 B. [0, —2] C. 11,2]_ 2 _【答案】DD.3【解析】由p为假命题，令f （x） = x2 — 3x — 3 — a，对称轴x =-且开口向上,A = 21 + 4a > 0 f (—1) = 1 — a < 0，解得a >1,由 q为假命题，则A = 9-4a'0,可得a <|.综上,P、q为假命题：a的取值范围为1冷•故选D1,45.（2022届宁夏银川高三上学期月考）若关于x的不等式x2 — 4x — 2 — a > 0在{xl1 —2} C. {a|a > —6} D. {a|a < —6}答案】 A【解析】不等式x2 — 4x — 2 — a > 0在{xl1 0对一切x e 0,-恒成立，则a的取值范围是( )V 2 _A. a > 0 B. a < —2 C. a > — D. a < —32【答案】 C(1 ] 一【解析】若不等式x2 + ax +1 > 0对一切x e 0,2恒成立，V 2 -(1)则a >— x + —，即V x丿(1)]1 1)在r 1 ]x + —1 , y =—x + —0max单调递增, ymax所以a >— 故选C7•已知关于x的一元二次不等式ax2+bx +少0在实数集上恒成立，且a < b，则T = a + b + c的最小值为 b — a答案】 3【解析】• 一元二次不等式ax2+bx +少0对一切实数x都成立，当a = 0时，不能保证恒成立,不符合题意；当a主0时,y = ax2 + bx + c要满足a > 0 fa > 0…［廉0 '由此［b2-4acW0，•・・b > a > 0,.・.b — a > 0,b冬4ac 得：c ,4ab贝 0 t = a + b + c〉a+ 十4门=（2 a + b）2 = ［3a + （b - a ）］2〉4（b - a） x 3a = 3 ,b 一 a b 一 a 4a （b 一 a） 4a （b 一 a） 4a （b 一 a）当且仅当3a = b - a且c =匹即c = b = 4a时,取等号，故答案为3・4a8. （2022届四川省雅安市高三质量监测）已知关于x的方程x3【答案】a < 2乙【解析】令t = 2x > 0，则12 — 2at + 2 > 0在（0, +只）上恒成立，若f （t） = t2 — 2at + 2，开口向上且对称轴t = 2a—1 > 0 3•: A = 22a — 8<0,解得a < . +bx+c = 0（b,c & R）在［-1,1］上有实数根，且满足0<3b + c<3,则b的最大值是 .【答案】 2【解析】由 x2 +bx + c = 0 可得 c = -x2- bx ,0 < 3b + c < 10.已知不等式xy < ax2 + 2y2，若对任意x e 11,2］及y e ［2,3］，该不等式恒成立,则实数a的范围是 , 【答案】［—1, +Q y （ y A 2 【解析】由题意可知：不等式xy < ax2 + 2y2对于x e ［1,2］,。