韦达定理在中学数学中的应用毕业论文.doc

标题】韦达定理在中学数学中的应用 【作者】袁 孟 俊 【关键词】韦达定理  方程  代数  三角问题  解析几何  【指导老师】秦 小 二 【专业】数学教育 【正文】1引言 韦达(Viete，Francois，seigneurdeLa Bigotiere) 是法国十六世纪最有影响的数学家之一.韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃.人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”.他最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系, 因此, 人们把这种关系称之为韦达定理(Viete’s Theorem).它的主要内容是：一元二次方程 且 中，设两个根为 和 ，则： ， .  一元二次方程根与系数关系的韦达定理是中学数学的重要内容之一，其知识脉络贯穿于中学数学教学的始终.    对韦达定理(Viete’s Theorem)在中学数学中的应用的研究，国内外很多教育学者和专家都有大量研究成果，范围涉及方程、代数、三角、解析几何等多方面.例如:赵适红[1]研究了韦达定理在方程和应用题中的应用；胡同祥，宋杨[2]主要探讨了韦达定理在方程中的应用；祝朝富[3]论述了韦达定理在解数学竞赛题中的应用；赵建勋[4]探讨了韦达定理在两角和正切公式中的应用；操礼智[5]、沈文锦[6]、吕文成[7]等则主要研究分析了韦达定理在解析几何中的应用，等等.但这些研究中几乎很少涉及韦达定理在三角关系中的应用，主要的研究方向停留于方程、代数、解析几何这些我们所熟悉的层面之上.有关韦达定理在三角关系中的应用至今还没有实质性的结果，有待我们去研究.韦达定理在三角关系中的应用是近年高考的一个命题趋向，也是试题改革的一个热点.韦达定理在解决此类问题中起着重要作用，特别是在解决三角函数关系式、两角和差公式、判断三角形类别等问题中能化难为易，化繁为简.它利用了设而不求的方法进行求解，大大简化了计算步骤，同时解题的思路也比较清晰.2韦达定理的意义    韦达（Viete，Francois，seigneurdeLa Bigotiere）是法国十六世纪最有影响的数学家之一．第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进．韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系，人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”． 韦达最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展．他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐述并改良了三、四次方程的解法，指出了根与系数之间的关系，给出三次方程不可约情形的三角解法．2.1韦达定理的理论意义一元二次方程的根与系数关系定理是方程基本理论中的重要内容．一元二次方程根与系数关系的韦达定理是中学数学的一个重要内容,其知识脉络贯穿于中学数学教学的始终．教学中若能通过一些典型例题的分析,便可以培养学生严谨的解题习惯,对中学教学的学习起着至关重要的作用．2.2韦达定理的现实意义韦达定理(Viete’s Theorem)在中学数学中有着广泛的应用，它是初中课程中的重要定理,在整个中学阶段解题时都会经常用到它．鉴于它应用的灵活性,在解决有关方程、代数、三角、解析几何等问题中都有着广泛而实际的应用．韦达定理对于减少运算量，整体解决问题具有独特的作用．利用韦达定理可以实现设而不求、整体换元，从而简化运算．解析几何是高考的主干知识，而韦达定理又是解析几何的重要工具，因此可以说韦达定理是高考的重要内容之一．3韦达定理在中学数学中的应用    韦达定理(Viete’s Theorem)是初中课程中的重要定理,但在整个中学阶段解题时都会经常用到它．鉴于它应用的灵活性,在解决有关方程、代数、三角、解析几何等问题中都有着广泛的应用．3.1韦达定理在方程中的应用    韦达定理在方程中的应用主要有：求方程中的待定系数、方程根之间的一些关系、构造符合条件的方程、解方程组等．3.1.1运用韦达定理求方程中的待定系数例1  方程 中，求 为何值时，两根的平方和等于8.分析:该题条件中,两根的平方和等于8,关于两根的对称式的条件,故可利用韦达定理解题.解:设 、 是方程 的两根，依题意得       　(1)         　 (2)           　(3)    由（3）得 ，再将（1）（2）代入得              所以 而当 时， ，故 .例2　 设 、 是关于 的方程 的两个实数根,且 , ，求 和 .(1996年广东省中考题)解:通过已知关系与韦达定理的联系得到两个关于 、 的方程，即   由                           有                                     （1）   由              有                                  （2）   联立（1）（2）得                  或    又方程有两实根，则    故 即为所求.3.1.2运用韦达定理构造符合条件的方程例3  已知 且 ，求 .分析：粗略分析此题无从下手，但由方程的知识及结论分析可知，结论由 、 两元素构成，寻找以 、 为根的方程构造韦达定理是关键.解：由 可知， 是方程 的一个根　　由 可知           　　因而 也是方程 的根　　又                                    ，　　所以                                   　　所以                                   故 .3.1.3运用韦达定理解方程组例4  解方程组 解：原方程组化为    显然， 与 是方程 的两个根，解之得 ，故                                或         前一个方程组无实数解，后一个方程组的解为 且检验适合，故此即为原方程组的解.3.2韦达定理在代数中的应用    韦达定理在代数中的应用主要有：求代数式的值、求最值、取值范围等.3.2.1运用韦达定理求代数式的值例5  已知实数 、  分别满足 、 ，求 的值.（2004年广东省中考题，有改动）解：依题意可知 、 是方程 的两个实数根，　　所以　　　　　　　　　　　 ， 　　故　　　　　　　　　　　　 .注：因为 ，所以 、 是方程 的两个实数根，于是可用韦达定理来解答.若 ，则 、 是方程 的某一个根，此时不可用该法求解.例6  已知 、 是正整数，且 ， ，则 =_____.（2001年全国初中数学联合竞赛试题）分析：由题意，结合韦达定理的逆定理先求作以 、 为根的一元二次方程，再借助所构造的一元二次方程进行求解.解：由已知得 ， 由韦达定理，可将 、 看作关于 的一元二次方程 的两根，于是　　　　　　　　　　 =15， =8或 =8， =15当 =8， =15时， 、 是方程 的两根，且 ，方程同时有两个正整数根所以                    当 =15， =8时， 、 是方程 的两根，且 ，而方程没有正整数根，不合题意，舍去.故 =34.3.2.2运用韦达定理求最值、取值范围例7  已知矩形 的边长分别为 和 ，如果总有另一矩形 ，使得矩形 与矩形 的周长之比和面积之比等于 ，则 的最小值为_____ .分析与解：设矩形 的边长为 、 ，由题意知 　　由韦达定理知 、 是关于 的方程 的两根，则 　　　因为 ，所以 即 ，又 ，　　　故 ，因而 得最小值为 .例8  已知实数 、 满足 ，且 ，求 的取值范围.解：记        （1）        （2）     得                         由（1）得 ， ，解得     由（2）得              即 ，因此 可将 、 看作方程 的两个实数根所以 ，解得 ，于是 .3.3韦达定理在某些证明中的应用    韦达定理在证明中的应用主要有：证明代数恒等式、证明不等式、证明方程系数之间的某些关系等.3.3.1运用韦达定理证明代数恒等式例9  设 、 是方程 的两个根， 、 是方程 的两个根.已知 ，求证：（1)       (2) （1991—1992年度广州、洛阳、福州、武汉、重庆初中数学联赛)证明：由韦达定理得                      所以                              因为                                                                                                 所以                                                                  又                                    同理可得                                                                                                                                                                                            　　　 所以                            ＝  　　　　　　　　＝ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　    　　　　　　　＝             　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　                ＝ 　                ＝        证毕.3.3.2运用韦达定理证明不等式例10  已知 ，其中 、 、 为实数.求证： .分析：根据题目特点构造一个一元二次方程，使不等式中涉及的量成为方程的系数，然后令 .证明：  因为                             （1）                                           所以              ，         于是                           （2）  由（1）（2）知， 、 是方程 的根        因为 、 是实数，所以 ，解得               同理可证    ， .3.3.3运用韦达定理证明方程系数之间的关系例11  如果一元二次方程 的两根之比为2：3，求证： .（初中《代数》第三册)证明：  设两根为                         则                           （1）                                        （2）        由（1）（2）得 ，即 .3.4韦达定理在解析几何中应用    韦达。