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物理实验误差理论w一、测量与误差 w二、随机误差的高斯分布与标准误差 w三、近真值——算术平均值 w四、标准误差的估算——标准偏差 w五、间接测量值误差的估算——误差传递公式 物理实验误差理论一、测量与误差一、测量与误差w1.测量：测量是将代测物与一个作为标准的同类量进行比较，得出它们之间的倍数关系w(1)选来作为标准的同类量称为单位倍数称为测量数值w测量值＝测量数值 X 单位 w(2)以国际单位制（国际单位制（SISI制）制）为国家法定计量单位，以米、千克、安培、开尔文、摩尔和坎德拉米、千克、安培、开尔文、摩尔和坎德拉作为基本单位，其他量都由以上七个单位导出，称为国家单位制的导出单位 物理实验误差理论w国际单位制（国际单位制（SI）基本单位）基本单位物理实验误差理论主要物理量的主要物理量的SI制单位名称及代号制单位名称及代号物理实验误差理论w(3)测量可分为两类：w一类是直接测量直接测量，如用尺量长度，以表计时间，天平称质量等；w另一类是间接测量间接测量，是根据直接测量得到的数据，根据一定的公式，通过运算，得出所需要的结果例如：w测量方式的不同引起误差研究方式的不同物理实验误差理论2.误差误差：测量值与真值的差值w误差的种类：按其产生的原因与性质可分为系统误差、随机误差和过失误差系统误差、随机误差和过失误差三类。

w(1)系统误差系统误差：有规律性的，测量结果都大于或者都小于真值在测量条件改变时，也按一定规律在变化w来源：测量仪器、实验理论和实验方法、实验者生理或心理特点w系统误差的消除或减小是实验技能问题，采取各种措施将它降低到最小程度物理实验误差理论w(2)随随机机误误差差，，又又称称偶偶然然误误差差：在相同条件下，对同一物理量进行多次重复测量，即使系统误差减小到最小程度之后，测量值仍然会出现一些难以预料和无法控制的起伏，而且测量值误差的绝对值和符号在随机变化w但是，如果测量次数足够多的话，就会发现随机误差遵循一定的统计规律，可用概率理论估算w (3)过失误差过失误差：测量中出现一些错误，如读数、记录、操作或者估算错误等，应尽量避免 物理实验误差理论w3. 正确度、精密度和准确度 w正确度正确度：测量值与真值的接近程度，反映系统误差的大小 w精密度精密度：重复测量所得结果相互接近的程度，反映随机误差的大小精密度高，说明重复性好，各个测量误差的分布密集，随机误差小 w准确度准确度：综合评定测量结果重复性和接近真值的程度，反映随机误差和系统误差的综合效果 w误差计算主要是估算随机误差，泛称为精度。

物理实验误差理论w4. 绝对误差、相对误差和百分差 w(1)绝对误差绝对误差: w表示测量结果与真值之间的差值以一定的概率出现的范围，即真值以一定的概率出现在 w(2)相对误差相对误差: w表示绝对误差在整个物理量中所占的比重，一般用百分比表示 w(3)百分差百分差: w绝对误差、相对误差和百分差通常只取1～～2个数字来表示 物理实验误差理论二、随机误差的高斯分布与标准误差 w1.高斯分布的特征与数学表达 随机误差的正态分布曲线物理实验误差理论w服从高斯分布规律的随机误差具有以下特征：w(1)对称性对称性：大小相等的正误差和负误差出现的机会均等，对称分布于真值的两侧w(2)抵偿性抵偿性：当测量次数非常多时，误差的代数和趋向于零物理实验误差理论w概率密度分布函数的数学表达： w 是一个与实验条件有关的常数，称为标准误差，其值为 ：物理实验误差理论三、近真值三、近真值————算术平均值算术平均值 w误差理论可以证明，如果对一个物理量测量了相当多次，算术平均值就是接近真值的最佳值 物理实验误差理论物理实验误差理论第四章第四章 标准误差的估算标准误差的估算————标准偏差标准偏差 1.1.任意一次测量值的标准偏差任意一次测量值的标准偏差 2.2.平均值的标准偏差平均值的标准偏差 一个完整的测量结果应该包括测量值和误差两个部分，计算误差是实验的一个重要环节。

标准误差是误差的重要形式之一 它又可分为两种： 任意一次测量值的标准偏差 平均值的标准偏差 物理实验误差理论 某一次测量xi 的误差 δi是指测量值 xi与真值 Tｘ的差值 但在实验测量中，有些测量对象的真值是未知的，误差无法计算 因而，按照式（１－２） ，标准误差σ也无从估算 1.任意一次测量值的标准偏差任意一次测量值的标准偏差物理实验误差理论 根据算术平均值是近似值的结论，在实际估算时可以采用算术平均值代替真值Tｘ，用各次测量值与算术平均值的差值 vi=xi- 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1－6)来估算各次的误差，差值vi 称为残差 在计算标准误差时，可以用残差来进行计算 物理实验误差理论误差理论可以证明，当测量次数 n有限，用残差来估算标准误差时，其计算式为σx 　　　　　　　　　　 (1－7) 物理实验误差理论 σx x称之为任意一次测量值的标准偏差，称之为任意一次测量值的标准偏差，它是测量次数有限多时，标准误差它是测量次数有限多时，标准误差σ的一的一个估计值。

个估计值w其代表的物理意义是，如果多次测量的其代表的物理意义是，如果多次测量的随机误差遵从高斯分布，那么，任意一随机误差遵从高斯分布，那么，任意一次测量，测量值误差落在次测量，测量值误差落在-σ-σx x 到到 +σ +σx x区域之间的可能性为区域之间的可能性为68.3%68.3%或者说，或者说，它表示这组数据的误差有它表示这组数据的误差有68.3%68.3%的概率的概率出现在出现在-σ-σx x 到到+σ+σx x 的区间内的区间内物理实验误差理论w2.2.平均值的标准偏差平均值的标准偏差 误差理论证明，平均值的标准偏差为 (1－8) (1－8) 物理实验误差理论 上式说明，平均值的标准偏差是n次测量中任意一次测量值标准偏差的 倍小于σx ，这个结果的合理性是显而易见的因为算术平均值是测量结果的最佳值，它比任意一次测量值xi 更接近真值，误差要小 的物理意义是，在多次测量的随机误差遵从高斯分布的条件下，真值处于 　 区间内的概率是68.3% 物理实验误差理论 值得注意的是，用式（1－7）和式（1－8）来估算随机误差，理论上都要求测量次数相当多。

但在我们目前的实验中，往往受到教学时间的限制，重复测量的次数不可能很多，所以，用这两个式子估算出来的随机误差带有相当程度的近似性另外，在测量次数较少时（n<10）， 随着测量次数n 的增加而明显地减小，以后，随着测量次数n的继续增加， 的减小愈来愈不明显而逐渐趋近于恒定值由此可见，过多地增加测量次数，其价值并不太大根据我们的实际情况，如果需要多次重复测量，一般测量次数取5~10次为宜 物理实验误差理论 有时会遇到测量对象本身不均匀的情况 例如，测量一根钢丝的直径由于它各处的直径略有微小差异，以致直径的真值各处不完全一致，所测得的各处测量值取其平均值只是反映了钢丝直径的平均大小多次测量不可能减小钢丝直径的不均匀性，所以，计算平均值的误差实属没有必要而计算得到的任意一次直径测量值的标准偏差则反映出钢丝直径的不均匀程度 物理实验误差理论第五章第五章 间接测量值误差的估算间接测量值误差的估算————误差误差传递公式传递公式 w1.1.误差的一般传递公式误差的一般传递公式w2.2.标准误差的传递公式标准误差的传递公式 间接测量值不可避免地有误差存在，显然，由直接测量值根据一定的函数关系，经过运算而得到的间接测量值也必然有误差存在。

怎样来估算间接测量值的误差，实质上是要解决一个误差传递的问题，即求得估算间接测量值误差的公式这种公式称之为误差传递公式w 下面分别介绍两种间接测量值误差的估算方法 物理实验误差理论误差的一般传递公式误差的一般传递公式 w设待测量N是n个独立的直接测量值A，B，C，…，H的函数，即 N=f（A，B，C，…，H）（1－9） 　　　　　　　　　　　　　w若各直接测量值的绝对误差分别为△A，△B，△C，…，△H，则间接测量值N的绝对误差为△N 物理实验误差理论下面介绍具体算法将式（1－9）求全微分，得 物理实验误差理论 由于△A，△B，△C，…，△H分别相对于A，B，C，…，H是一个很小的量，将式（1－10）中的dA,dB,dC, …,dH用△A，△B，△C，…，△H代替，则 物理实验误差理论 由于上式右端各项分误差的符号正负不定，为谨慎起见，作最不利情况考虑，认为各项分误差将累加，因此，将上式右端各项分别取绝对值相加，即 物理实验误差理论很明显，这样做会导致测量结果误差偏大相对误差为 式（1－12）和式（1－13）称为误差的一般传递公式，或称为误差算术合成。

物理实验误差理论2.2.标准误差的传递公式标准误差的传递公式 w 若各个独立的直接测量值的绝对误差分别为标准偏差σA，σB，σC，…，σH 等，则间接测量值N的误差估算需要用误差的方和根合成，即绝对误差为 物理实验误差理论相对误差为 以上两式称为标准误差的传递公式或称为误差的方和根合成 物理实验误差理论 几种常用的标准公式列于表1－1中，供计算误差使用 物理实验误差理论从表1－1中可见 w1、对于和或差的函数关系，函数N的绝对误差都是直接测量值标准偏差的“方和根”所以，建议先计算出N的绝对误差σN ,然后按照公式EN= σN /N 计算N的相对误差ENw2、对于乘或除的函数关系，函数N的相对误差EN都是各直接测量值相对误差的“方和根”建议先计算出N的相对误差EN,再按照公式σN=N·EN 计算绝对误差σNw误差传递公式除了可以用来估算间接测量值N的误差以外，还有一个重要的功能，就是可以用它来分析各直接测量值的误差对最后结果误差的影响大小对于那写些影响大的直接测量值，可以预先考虑措施，以减小它们的影响，为合理选用仪器和实验方法提供依据 物理实验误差理论第三章 数据处理 w一、不确定度与测量结果表达 w二、有效数字、简算方法与数字取舍规则 w三、数据处理方法 物理实验误差理论一、不确定度与测量结果表达1：不确定度测量结果的标准形式X=xU（单位）其中x为测量值，或多次测量的算术平均值；U为不确定度例如：基本电荷e=(1.602177330.00000049)×10-19c物理实验误差理论不确定度:是指可疑、不能肯定或测不准的意思。

不确定度是测量结果携带的一个必要参数，以表征待测量的分散性、准确性和可靠程度物理实验误差理论2：不确定度的种类：不确定度的种类ë绝对不确定度：绝对不确定度：ëuX = s    u  (单位单位) s就是标准误差；就是标准误差； ë u = 仪仪 /cë相对不确定度相对不确定度：：X/X=（（绝对不确定度绝对不确定度/测量值）测量值）×100%物理实验误差理论3、直接测量量的结果表示、直接测量量的结果表示X=X佳UX（单位）ë它表示被测量的真值具有一定的概率落它表示被测量的真值具有一定的概率落在（在（X- U，，X+ U））区间区间内内ëX佳佳——多次测量多次测量=平均值；单次平均值；单次=测量测量值值物理实验误差理论4、间接测量量的结果表示、间接测量量的结果表示X=XU（单位）ëX——各直接量的各直接量的X佳佳按有效数字运算规按有效数字运算规则算出则算出ëU——各直接量的各直接量的U 和和X佳佳代入不确定度代入不确定度计算式算出计算式算出物理实验误差理论5、不确定度的传递、不确定度的传递若若 =F（（A，，B，，C…）；）；UA，，UB，，UC…则不确定度的计算式则不确定度的计算式U 2=（（ F/ A））2 UA 2+（（ F/ B））2 UB 2+（（ F/ C））2 UC 2…（常用于和差形式）（常用于和差形式）相对不确定度的计算式相对不确定度的计算式（（ /  ））2 =（（ lnF/ A））2 UA 2+（（ lnF/ B））2 UB 2+（（ lnF/ C））2 UC 2…（常用于积商形式）（常用于积商形式）物理实验误差理论6、常用不确定度传递公式、常用不确定度传递公式ëX=A±BëX=A×B或A/BëX=AaBb/CcU= （（UA2+ UB2）） ½U/X= [（UA /A）2 +（UB / B ）2]1/2U/X= [（aUA /A）2 +（bUB / B ）2+ （cUC /C）2 ]1/2物理实验误差理论二、有效数字、简算方法与数字取舍规则w1.有效数字的概念、性质和位数w2.简算方法与数字取舍规则物理实验误差理论1.有效数字的概念、性质和位数w有效数字的定义：数值中的可靠数字与一位可疑数字统称为有效数字。

可靠数字是从测量工具上的刻度准确读出的 可疑数字是在测量工具的最小刻度之间估计读出的 若正好与某刻度对齐，则在估读位上记为“0”物理实验误差理论w有效数字的性质：与单位无关 w有效数字的位数：从第一个不是零的数字开始，到最后一位数字，有几个数字就称为有几位有效数字 非零数字中间或数据末尾的“0”是有效数字 例如：0.2050m有2、0、5、0总共4位有效数字2前面的0只表示小数点的位置，不是有效数字 物理实验误差理论w单位换算过程中有效数字的位数不变w为避免出错，建议采用科学计数法作为标准形式，即用10的方幂来表示其数量级，前面为有效数字，小数点前取一位数字w如果进行单位换算，则只需将10的方幂改变w例如：物理实验误差理论w不确定度有效数字位数的取法：不确定度的首位数对应结果中有效数字的末位数w例如： 物理实验误差理论2.简算方法与数字取舍规则 w（1）加减运算： 几个数相加减时，最后结果的可疑数字与各数值中最先出现的可疑数字对齐 例如：简化为物理实验误差理论w数字取舍规则：四舍六入五凑偶 1.欲舍去数字的最高位为4或4以下的数，则“舍去”；若为6或6以上的数，则“入”。

2.被舍去数字的最高位为5时，若前一位数为奇数，则“入”；若前一位数为偶数，则“舍” 这样使得“入”和“舍”的数字服从概率数理统计规律举例如下：8.0861——8.098.0845——8.088.0850——8.088.0754——8.08物理实验误差理论w（2）乘除运算：计算结果的有效数字位数与各数值中有效数字位数最少的一个相同物理实验误差理论w（3）乘方运算：结果的有效位数与其底数相同w（4）对数、三角函数和n次方运算：先计算出不确定度，结果最后一位数字与不确定度对齐物理实验误差理论三、数据处理方法三、数据处理方法ë列表法列表法ë作图法作图法ë逐差法逐差法ë直线拟合法（最小二乘法）直线拟合法（最小二乘法）——曲曲线直线化线直线化物理实验误差理论1、列表法注意以下几点：ë各栏目都要注明名称和单位ë栏目的顺序应充分注意数据间的联系和计算顺序，力求简明、齐全、有条理ë反映测量值函数关系的数据表格，应按自变量由小到大或由大到小的顺序排列物理实验误差理论2、作图法、作图法(作图规则作图规则)ë坐标分度坐标分度：能反映测量值的有效位数ë坐标轴：坐标轴：物理量名称、符号、单位ë实验点：实验点：用特殊符号（、、）标出并区分不同组的实验点ë连图线：连图线：实验点分布均匀，曲线光滑ë曲线名称及说明曲线名称及说明物理实验误差理论作图示例物理实验误差理论三、逐差法三、逐差法 在2个变量间存在多项式函数关系，且自变量为等差级数变化的情况下，用逐差法处理数据，既能充分利用实验数据，又具有减小误差的效果。

具体做法是将测量得到的偶数组数据分成前后2组，将对应项分别相减,然后再求平均值下面举例说明 物理实验误差理论在拉伸法测量钢丝的杨氏弹性模量实验中，已知望远镜中标尺读数x和加砝码质量m之间满足线性关系m=kx，式中k为比例常数，现要求计算k的数值，见表次数12345678910x（cm）15.9516.5517.1817.8018.4019.0219.6320.2220.8421.74如果用逐项相减，然后再计算每增加0.500kg 砝码标尺读数变化的平均值 ，即 物理实验误差理论===0.613(cm) ==于是比例系数物理实验误差理论这样中间测量值 x2，x3，… x9 ， 全部未用，仅用到了始末2次测量值x1 和x10 ，它与一次增加9个砝码的单次测量等价若改用多项间隔逐差，即将上述数据分成后组(x10 ， x9， x8， x7 ， x6 )和前组(x5 ， x4 ， x3 ， x2 ， x1 )，然后对应项相减求平均值，即 ==1.23(cm/kg)=1.23× (m/kg) k= 物理实验误差理论=［(21.47-18.40)＋(20.84-17.80)＋(20.22-17.18)＋(19.63-16.55)＋(19.02-15.95)］ =（3.07＋3.04＋3.04＋3.08＋3.07）=3.06(cm)=于是， =1.22(cm/kg) K==物理实验误差理论 是每增加5个砝码，标尺读数变化的平均值。

这样全部数据都用上，相当于重复测量了5次应该说，这个计算结果比前面的计算结果要准确些，它保持了多次测量的优点，减少了测量误差 物理实验误差理论四、最小二乘法四、最小二乘法(线性回归线性回归) 将实验结果画成图线可以形象地表示出物理规律;但图线的表示往往不如用函数表示那样明确和定量化另外，用图解法处理数据，由于绘制图线有一定的主观随意性，同一组数据用图解法可能得出不同的结果因此，下面将介绍一种利用最小二乘法来确定一条最佳直线的方法，从而准确地求出2个测量值之间的线性函数关系(即经验方程)由实验数据求经验方程，叫做方程的回归 物理实验误差理论方程的线性回归，用手工计算是很麻烦的但是，不少袖珍型函数计算器上均有线性回归的计算键(具体用法详见所用计算器的使用说明书)，计算起来极为方便，因此，线性回归的应用日益普及物理实验误差理论。