第7章-线性变换.doc

第7章 线性变换§1 线性变换的定义线性空间V到自身的映射，通常叫做V的一个变换，现在讨论的线性变换是线性空间的最简单也是最重要的一种变换一、线性变换的定义 定义7.1 设V为线性空间，若对于V中的任一向量，按照一定的对应规则T，总有V中的一个确定的向量与之对应，则这个对应规则T称为线性空间V中的一个变换，记为 或 ，称为的象，称为的原象象的全体所构成的集合称为象集，记作T（V），即 T（V）=由此定义可见，变换类似于微积分中的函数，不过微积分中的函数是两个实数集合间的对应，而这里的变换则是线性空间中的向量与向量之间的对应定义7.2 线性空间V中的变换T，若满足条件（1） 对任意有（2） ；（3） 对任意及数域中任意数有，则称变换T为V中的线性变换例7.1 线性空间中的恒等变换或称单位变换E，即E以及零变换ℴ，即ℴ都是线性变换.例7.2 设是数域上的线性空间，是中的某个数，定义的变换如下：.这是一个线性变换，称为由数决定的数乘变换，可用K表示.显然当时，便得恒等变换，当时，便得零变换.例7.3 性空间或者中，求微商是一个线性变换.这个变换通常用D代表，即D（）=.例7.4 定义在闭区间上的全体连续函数组成实数域上一线性空间，以代表.在这个空间中变换ℐ（）=是一线性变换. 例7.5 在中，定义下列变换：对任意的， ，，试确定它们是否为线性变换？解 对任意的和数R， =；。

故是线性变换； ， 上两式不等，故不是线性变换同理可验证也不是线性变换也可取特殊的向量来验证不是线性变换）二、线性变换的性质 命题7.1 设V是n维线性空间，是V的一个线性变换，则有： （1）； （2）线性变换保持线性组合与线性关系式不变.即；（3）若线性相关，则也线性相关 证明 此命题的证明请读者自己证之注意命题7.1（3）的逆命题是不成立的即若线性无关，则不一定线性无关如前面的微分变换) §2 线性变换的运算一、线性变换的乘法设A,B是线性空间的两个线性变换，定义它们的乘积为.(AB)()= A,(B ()) ().则线性变换的乘积也是线性变换.（自己验证）线性变换的乘法适合结合律，即(AB)C=A(BC).但线性变换的乘法不适合交换律.例如，在实数域上的线性空间中，线性变换D（）=.ℐ（）=的乘积D ℐ=ℰ，但一般ℐD≠ℰ.对于任意线性变换A，都有Aℰ=ℰA = A.二、线性变换的加法设A,B是线性空间的两个线性变换，定义它们的和A+B为(A+B)()= A ()+B () ().则线性变换的和还是线性变换（自己验证）.线性变换的加法适合结合律与交换律，即A+(B+C)=(A+B)+C.A+B=B+A.对于加法，零变换ℴ与所有线性变换A 的和仍等于A：A+ℴ=A.对于每个线性变换A，可以定义它的负变换（-A）： (-A)()=- A () ().则负变换（-A）也是线性变换，且A+（-A）=ℴ.线性变换的乘法对加法有左右分配律，即A(B+C)=AB+AC，(B+C)A=BA+CA.三、线性变换的数量乘法数域中的数与线性变换A的数量乘法定义为A =KA即A()=K(A ())=KA (),当然A还是线性变换.线性变换的数量乘法适合以下的规律： A=(A), A=A+A,(A+B)=A+B, 1A=A.线性空间上全体线性变换，对于如上定义的加法与数量乘法，也构成数域上一个线性空间.的变换A称为可逆的，如果有的变换B 存在，使AB=BA=E.这时，变换B称为A的逆变换，记为A.如果线性变换A是可逆的，那么它的逆变换A也是线性变换.既然线性变换的乘法满足结合律，当若干个线性变换A重复相乘时，其最终结果是完全确定的，与乘法的结合方法无关.因此当个（是正整数）线性变换A相乘时，就可以用来表示，称为A的次幂，简记为A.作为定义，令A= E.根据线性变换幂的定义，可以推出指数法则：A=AA,(A)=A当线性变换A可逆时，定义A的负整数幂为A=(A)(是正整数).值得注意的是，线性变换乘积的指数法则不成立，即一般说来 (AB)AB.设是中一多项式，A是的一个线性变换，定义(A)=A+A+…+E显然(A)是一线性变换，它称为线性变换A的多项式.不难验证，(A)( A)=( A)( A).即同一个线性变换的多项式的乘法是可交换的.例 性空间中，求微商是一个线性变换，用D表示.显然有Dℴ.其次，变换的平移也是一个线性变换，用ℐ表示.根据泰勒展开式,因之ℐ实质上是D的多项式：ℐ=ℰ+D+D+…+D.§3 线性变换和矩阵一、线性变换关于基的矩阵设是数域上维线性空间.的一组基，现在建立线性变换与矩阵关系.空间中任意一个向量可以被基线性表出，即有关系式 (1)其中系数是唯一确定的，它们就是在这组基下的坐标.由于线性变换保持线性关系不变，因而在的像A与基的像A,A,…，A之间也必然有相同的关系：A=A（）=A()+A()+…+A () (2)上式表明，如果知道了基的像，那么线性空间中任意一个向量的像也就知道了，或者说1. 设是线性空间的一组基，如果线性变换A与ℬ在这组基上的作用相同，即A=B，那么A= B.结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是2. 设是线性空间的一组基，对于任意一组向量一定有一个线性变换A使A= 定理1 设是线性空间的一组基，是中任意个向量.存在唯一的线性变换A使A= 定义2 设是数域上维线性空间的一组基，A是中的一个线性变换.基向量的像可以被基线性表出：用矩阵表示就是A（）=（A()，A()，…， A()） = (5)其中矩阵称为线性变换A在基下的矩阵.例1 在中，取基 求微分运算D的矩阵。

解： ，所以D在这组基下的矩阵为 例2 设是维线性空间的子空间的一组基，把它扩充为的一组基.指定线性变换A如下如此确定的线性变换A称为子空间的一个投影.不难证明A=A投影A在基下的矩阵是这样，在取定一组基之后，就建立了由数域上的维线性空间的线性变换到数域上的矩阵的一个映射.前面结论1说明这个映射是单射，结论2说明这个映射是满射.换句话说，在这二者之间建立了一个双射.这个对应的重要性表现在它保持运算，即有定理2 设是数域上维线性空间的一组基，在这组基下，每个线性变换按公式（5）对应一个矩阵，这个对应具有以下性质：1）线性变换的和对应于矩阵的和；2）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；3）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；4）可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.定理2 说明数域上维线性空间的全体线性变换组成的集合对于线性变换的加法与数量乘法构成上一个线性空间，与数域上级方阵构成的线性空间同构.定理3 设线性变换A在基下的矩阵是，向量在基下的坐标是,则A在基下的坐标可以按公式 计算.二、同一个线性变换在不同基下的矩阵的关系.线性变换的矩阵是与空间中一组基联系在一起的.一般说来，随着基的改变，同一个线性变换就有不同的矩阵.为了利用矩阵来研究线性变换，有必要弄清楚线性变换的矩阵是如何随着基的改变而改变的. 同一线性变换在不同的基下的矩阵一般是不一样的。

现在我们来寻找它们之间关系定理4 设是n维线性空间，向量组（1）；（2），是的两个基，由基（1）到基（2）的过渡矩阵为，若线性变换在基（1）下的矩阵为A，在基（2）下的矩阵为B，则有，即同一线性变换在两个不同基下的矩阵是相似的且相似变换矩阵就是由基（1）到基（2）的过渡矩阵证 根据定理的假设有 （7-1） （7-2）（7-3）另一方面，由（7-1）式及（7-2）式，又得 （7-4）比较（7-3）式及（7-4）式，注意到 是一个基，得定理4 告诉我们，同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的关系是相似关系. 定义 设，为数域上两个级方阵，如果可以找到数域上的级可逆方阵，使得，就说相似于，记作.这种相似关系具有下面三个性质：1. 反身性：2. 对称性：如果，那么.3. 传递性：如果,,那么.定理5 线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵.矩阵的相似对于运算有下面的性质.如果,，那么,由此可知，如果，且是数域上一多项式，那么利用矩阵相似的这个性质可以简化矩阵的计算.例4 设是数域上一个二维线性空间，是一组基，线性变换A在下的矩阵是计算A在的另一组基下的矩阵，这里（课本上是要算）解：所求矩阵为§4 特征值与特征向量一、线性变换的特征值和特征向量的概念定义1 设A是数域上线性空间的一个线性变换,如果对于数域中一数,存在一个非零向量,使 A=. （1）那么称为A的一个特征值,而叫做A的属于特征值的一个特征向量.从几何上来看，特征向量的方向经过线性变换后，保持在同一条直线上，这时或者方向不变或者方向相反,至于时，特征向量就被线性变换变成0.如果是线性变换A的属于特征值的特征向量，那么的任何一个非零倍数也是A的属于特征值的特征向量.这说明特征向量不是被特征值所唯一决定的.相反，特征值却是被特征向量所唯一决定的，因为，一个特征向量只能属于一个特征值.二、特征值与特征向量的求法设是数域上维线性空间，是它的一组基，线性变换A在这组基下的矩阵是.设是特征值，它的一个特征向量在下的坐标是,则A的坐标是.的坐标是因此（1）式相当于坐标之间的等式 (2)或这说明特征向量的坐标满足齐次方程组即 (3)由于,所以它的坐标不全为零，即齐次方程组有非零解.而齐次方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式为零，即.定义2 设是数域上一个级矩阵,是一个数字.矩阵的行列式 (4)叫做矩阵的特征多项式,这是数域上的一个次多项式.上面的分析说明，如果是线性变换A的特征值，那么一定是矩阵的特征多项式的一个根；反过来，如果是矩阵的特征多项式在数域中的一个根，即，那么齐次方程组（3）就有非零解.这时，如果是方程组（3）的一个非零解，那么非零向量满足（1），即是线性变换A的一个特征值，就是属于特征值的一个特征向量.因此确定一个线性变换A的一个特征值与特征向量的方法可以分成以下几步：1.性空间中取一组基，写出A在这组基下的矩阵；2.求出的特征多项式在数域中全部的根，它们也就是线性变换A的全部特征值；3.把所求得的特征值逐个地代入方程组（3），对于每一个特征值，解方程组（3），求出一组基础解系，它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基下的坐标，这样，也就求出了属于每个特征征的全部线性无关的特征向量.矩阵的特征多项式的根有时也称为的特征值，而相应的线性方程组（3）的解也就称为的属于这个特征值的特征向量.例1设线性。