0028数学课件：二次函数根的分布.ppt

二次函数的性质　　　　　　　判别式判别式△△＝＝b2－－4ac　　　　　　△△＞＞0　　　　　　△△＝＝0　　　　　　△△＜＜0　　　　二次函数二次函数　　y＝＝ax2＋＋bx＋＋c(a＞＞0)的图像的图像一一元元二二次次不不等等式式的的解解集集ax2＋＋bx+c=0(a≠0)的根的根　　　　ax2＋＋bx＋＋c>0(a＞＞0)　　　　ax2＋＋bx+c<0(a＞＞0)　　　　　　　　　　　　有两相等实根x1＝x2＝-有两相异实根：x1,2＝　x＜x1或x＞x2　x1＜x＜x2　空 集　空 集　全体实数　没有实根所有不等于－的实数１．y＝ax2＋bx与y＝ax＋b (ab≠０)的图像只能是（ ） 　　　　　　　　　　　　　Ａ　　 　Ｂ Ｃ　　 　　　Ｄ课前练习课前练习C2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数满足abc＜０,则它的图像可能是（ ）ABCDB3．若函数f(x)＝x2＋３x＋p的最小值为－１,则p的值是（ ） Ａ.１　　　Ｂ. Ｃ. Ｄ. 4．若二次函数f(x)＝－２x2＋４x＋t的图像顶点的纵坐标等于１，则t的值是（ ） Ａ.１　　Ｂ.－１　　 Ｃ.２　　　Ｄ.－２5．已知函数f(x)＝mx2＋２mx－３m＋６ 的图像如图所示，则实数m的取值范围 是（ ） Ａ.m＞２ Ｂ.m＞ Ｃ.m＞１ Ｄ.m＞０ CBA6. 设二次函数f(x)=x2－x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m-1)的值为( )A.正数B.负数C.非负数D.正数、负数和零都有可能A 在已知某些条件求二次函数式的解析式时，常用待定系数法．常见的二次函数的表示形式有（a≠0）：①标准式：y＝ax2＋bx＋c；②顶点式：y＝a(x－k)2＋m；③零点式：y＝a(x―x1)(x―x2).(式中x1、 x2为方程ax2＋bx＋c＝0的二根).例１例１ 已知二次函数已知二次函数y＝＝f(x)有最小值－３，且当有最小值－３，且当x＝－３和＝－３和x＝２时＝２时f(x)的值都是的值都是 ，求，求f(x)．．设f(x)＝ax2＋bx＋c,由题设得解解: a (－３)2 ＋b (－３)＋c＝a (２)2＋b× 2＋c＝＝－３ (a＞０)． ９a－３b＋c＝４a＋２b＋c＝ b2－４ac－１２a＝０解法一解法一: ∴ f(x)＝２x2＋２x－ ．a=2解之得 b＝２, c＝－解二解二 ∵∵ f（－３）＝（－３）＝f（２）＝（２）＝ ，，∴∴ 抛物线抛物线y＝＝f(x)的对称轴为的对称轴为x＝＝ ，即，即x＝－＝－ ，，故其顶点坐标为（－故其顶点坐标为（－ ，－３）．，－３）． 设 f(x)＝a(x＋ )2－３． ∵ f(2)＝a (2＋)２－３＝ ∴ a＝＝２．. ∴ f(x)＝２x2＋２x－ ．解三解三 由已知，x＝－３和x＝２是一元二次方程f(x)－ ＝０的两个实数根． 设 f(x)－ ＝a(x＋３)(x－２),则 f(x)＝a(x＋３)(x－２)＋ ．又当x＝ ＝－ 时，f(－ )＝－３． ∴ a(－ ＋３)(－ －２)＋ ＝－３， － a＝－ ， a＝２． ∴ f(x)＝２(x＋３)(x－２)＋＝２x2＋２x－ ．-1例例2　　已知函数已知函数f(x)＝＝x2－－bx＋＋c，且，且f(0)＝＝3，，f(1＋＋x)＝＝f(1－－x)试比较试比较f(2x)与与f(3x)的的大小。

大小 yxOabf(x)为二次函数，f(a)=f(b) f(x)的对称轴为f(x)为二次函数，f(c＋x)=f(c - x)f(x)的对称轴为x=cyxO231若x<0,若x=0，则1>2x>3x∴ f(2x)< f(3x)则1<2x<3x∴ f(2x)< f(3x)则1<2x<3x，若x=0，综上所得，f(2x)≤ f(3x)例例3　已知二次函数　已知二次函数f(x)＝＝x2＋＋bx＋＋c，当，当x∈∈[－－1，，1]时，试时，试证：证： (1)当当b＜－＜－2时，时，f(x)是递减函数；是递减函数； (2)当当b＜－＜－2时，时，f(x)在定义域内至少存在一个在定义域内至少存在一个x,使使|f(x)|≥成成立证明：(1)f(x)＝x2＋bx＋c＝(x＋ )2＋c－ ， 抛物线的对称轴x＝－ ， 当 b＜－2时, － ＞1(如图)　∴ 当b＜－2时，f(x),x∈[－1，1]是递减函数　　　　　(2)假设在x∈[－1，1]内在存在|f(x)|≥ ，则有－ ＜f(x)＜∴ f(－1)＝1－b＋c＜ ，f(1)＝1＋b＋c＞－联立解得b＞－ 与已知b＜－2相矛盾，假设不成立，原命题成立。

 设f(x)＝ax2＋bx＋c (a＞０), 则一元二次方程f(x)＝０实根的分布情况可以由y＝f(x)的图象或由韦达定理来确定． 如果f(m) f(n)＜０ (m＜n),由二次函数y＝f(x)的图像知，一元二次方程f(x)＝０在区间（m,n）内必有一个实数根．例：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个不相等的正根，求实数m的取值范围变1：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根都大于2，求实数m的取值范围变2：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根都小于2，求实数m的取值范围变3：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根，一个小于2，另一个大于2，求实数m的取值范围变4：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根，且x1、x2∈(-1,3)，求实数m的取值范围变5：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根，求x12+x22的取值范围 二次方程二次方程f(x)＝０的两实根＝０的两实根x1、、x２２的分布情况，的分布情况，可有如下几种（可有如下几种（m、、n为常数）：为常数）：(1)若若x1＜＜x２２＜＜m ，则应有，则应有 Δ＝＝b2－４－４ac＞０，＞０， f(m)＞０，＞０， －－ ＜＜m，， Δ＝＝b2－４－４ac＞０，＞０，或或 (x1－－m)(x2－－m)＞０，＞０， (x1－－m)＋＋(x2－－m)＜０．＜０．yxOx1x2m 二次方程二次方程f(x)＝０的两实根＝０的两实根x1、、x２２的分布情况，的分布情况，可有如下几种（可有如下几种（m、、n为常数）：为常数）：(1)若若x1>x２２>m ，则应有，则应有 Δ＝＝b2－４－４ac＞０，＞０， f(m)＞０，＞０， －－ >m，， Δ＝＝b2－４－４ac＞０，＞０，或或 (x1－－m)(x2－－m)＞０，＞０， (x1－－m)＋＋(x2－－m)>０．０．yxOx1x2m (3)若x1＜m＜x2，则应有 f(m)＜０，或 (x1－m)(x2－m)＜０．yxOx1x2m (4)若m＜x1＜x2＜n，则应有 Δ＝b2－４ac＞０， f(m)＞０， f(n)＞０， m＜－ ＜n.yxOx1x2mn (5)若x1＜m＜n＜x2，则应有 f(m)＜０， f(n)＜０．yxOx1x2mn 例4 已知方程(m－１)x2＋mx－１＝０至少有一个正根，求实数m的范围． 解解: 若m－１＝０,方程为x－１＝０，x＝１符合条件． 若m－１≠０,设f(x)＝(m－１)x2＋mx－１． ∵ f(０)＝－１≠０， ∴ 方程f(x)＝０无零根． 如方程有异号两实根，则x1x2＝＜０，m＞１． 如方程有两个正实根，则: Δ＝m2＋４(m－１)≥０， m≥－２＋ 或m≤－２－ ， x1x2＝ ＞０， m＜１， x1＋x2＝－ ＞０， ０＜m＜１． ∴ －２≤m＜１． 由此得，实数m的范围是m≥ －２.根的分布根的分布x2>x1>mx1＜＜x２２＜＜mx1＜＜m＜＜x2m＜＜x1＜＜x2＜＜n函数图像函数图像韦达定理韦达定理图像图像方法方法mx2x1x1x2mx1x2mx2x1nm Δ＞０， f(m)＞０， － ＜m， Δ＞０， f(m)＞０， － >m， f(m)＜０ Δ＝b2－４ac＞０， f(m)＞０， f(n)＞０， m＜－ ＜n.Δ＝b2－４ac＞０，(x1－m)(x2－m)＞０， (x1－m)＋(x2－m)＜０Δ＝b2－４ac＞０，(x1－m)(x2－m)＞０， (x1－m)＋(x2－m)>０(x1－m)(x2－m)＜０表示比较复杂，繁琐。