第九讲区间数、模糊数.模糊积分.ppt

第九讲 区间数、模糊数与模糊积分9.1 区间数及其运算1. 区间数的概念 定义 实数集R的子集 xR|a1xa2, a1, a2R称为区间数, 记为a1, a2.所有区间数记为I(R). 通常用大写字母表示区间数, 比如A=a1, a2. 区间数的“相等”定义为: A=a1, a2, B=b1, b2. A=Ba1=b1且a2=b2. ? ?2. 区间数的运算问题：如何定义区间数的运算呢? 考虑对加法运算的基本要求：(1) 区间数相加的结果应是区间数; (2) 参与运算的两个区间中的实数, 按普通实数加法相加的结果, 应包含在“和区间数”所代表的区间中, 即A A=a a1 1, , a a2 2 B B=b b1 1, , b b2 2 A+B=CA+B=C=c c1 1, , c c2 2 +(区间数加法)+(实数加法)定理 已知区间数A=a1, a2, B=b1, b2. 取C= a1+b1, a2+b2. 则: (1) xA, yB, x+yC. (2) zC, 必存在xA, yB使得x+y=z.定理 已知区间数A=a1, a2, B=b1, b2. 取 C= a1b1a1b2 a2b1a2b2, a1b1a1b2a2b1a2b2.则: (1) xA, yB, xyC (xy为普通乘法)。

2) z C, 必存在xA, yB使得xy=z.类似地可得到关于区间数减法、除法运算的相应结论基于此可定义区间数的基本运算如下：定义 已知区间数A=a1, a2, B=b1, b2. 定义其加、减、乘、除 (除法要求除子区间数不含0): (1) A+B=a1+b1, a2+b2. (2) AB=a1b2, a2b1. (3) AB=a1b1a1b2a2b1a2b2, a1b1a1b2a2b1a2b2. (4) AB=(a1 b1)(a1 b2)(a2 b1)(a2 b2), (a1 b1)(a1 b2)(a2 b1)(a2 b2 ), 0b1, b2.注意: (1) 区间数的加法与减法并非互为逆运算. (2) 区间数的乘法与除法并非互为逆运算 (3) 区间数的加法与乘法都满足交换律, 结合律. (4) 区间数乘法对于加法的分配律不成立9.2 模糊数的基本概念 定义 设A是实数集R上的模糊集, 即AF(R).如果A是正规的(即存在xR有A(x)=1), 且对任意(0,1, A是闭区间, 则称A是一个模糊数若模糊数A的支集suppA有界, 则称A为有界模糊数 区间数是模糊数的特例 定理 设AF(R). 则A为模糊数当且仅当存在实数ab使得: (1) 在a, b上A(x)1; (2) 在(, a)上A(x)为右连续的增函数且0A(x)1, A(x)0 (x); (3) 在(b, )上A(x)为左连续的减函数且0A(x)1, A(x)0 (x).a b1 1A A( (x x) )x x0 0a b1 1A A( (x x) )x x0 0模糊数模糊数有界模糊数有界模糊数7.3 模糊数的运算问题 如何定义模糊数的运算？ 模糊数是普通实数的推广, 自然希望利用实数的加、减、乘、除来定义模糊数的相应运算。

用*代表实数的加、减、乘、除运算之一, 二元运算*本质上是一个映射: *: RRR; (x, y)| x*y. 于是, 根据多元扩张原理可导出多元扩张映射: *: F(R)F(R)F(R); (A, B)| A*B, (A*B)(z)=x*y=z(A(x)B(y). 模糊数的运算就根据此进行定义, 其本质就是扩张加法、扩张减法、扩张乘法、扩张除法定义 设A, B为模糊数, 则定义其加、减、乘、除运算如下：zR, (A+B)(z)=x+y=z(A(x)B(y), (AB)(z)=xy=z(A(x)B(y), (AB)(z)=xy=z(A(x)B(y), (AB)(z)=xy=z(A(x)B(y). 直接利用上述定义计算是非常困难的, 就是计算简单的三角模糊数的和, 也要用到条件极值的相关知识7.4 模糊测度 所谓积分, 无论是黎曼积分还是勒贝格积分都不外乎是被积函数和测度函数的一种内积, 不同的只是以不同的测度为基础因此研究模糊积分要从研究模糊测度开始 首先, 回顾一下概率测度的概念概率的统计定义虽然直观, 但在数学上很不严密, 比如会产生概率悖论等问题公理化概率论是以测度论为基础的, 当把随机试验的每一种可能结果归结为抽象空间中的点时, 样本点所组成的集合就是随机事件, 而事件发生的概率不过是度量这些集合大小的一种特定的测度, 这就是概率测度。

所谓概率空间是指三元组 X, A, P), 其中X是基本(样本)空间, A是X上的-域(-代数), P是概率测度, 严格的定义如下：定义设A P(X), 若满足： (1) XA; (2) AA AcA; (3) AnA n=1AnA 则称A为-域, 亦称-代数称X, A)为可测空间, A称为可测集 容易验证: A; AiA ni=1AiA; A, BA ABA, ABA; AnA n=1AnA 若序列An满足A1 A2 An , 则称An 为单调增序列, 用“An”表示 若序列An满足A1A2 An , 则称An为单调减序列, 用“An”表示 概率测度概率测度P P: : A A 0, 10, 1满足下列两个条件满足下列两个条件: :定义 若映射g: A0, 1 满足以下条件, 则称g为模糊测度, 称(X, A)为模糊可测空间, 而(X, A, g)称为模糊测度空间 模糊测度有多种解释, M. Sugeno对模糊测度做了这样的解释：设有某个元素xX, 我们猜想x可能属于A的某个元素A (即AA, 且xA). 这种猜想是不确定的, 是模糊的, g就是这种不确定性(模糊性) 的一个度量 因此, 若A=, 可以肯定xA, 从而g()=0; 若A=X, 则必有xX, 从而g(X)=1; 若AB, xA的可能性自然比xB的可能性小, g(A)g(B). 综上所述g(A)表示了xX的程度。

一个确定的点对于 一个模糊集合的隶属程度, 是经典集合论中点对集合属于关系的一种推广模糊测度是普通属于关系的另一种推广, 即一个尚未确定的点 (信息不充分条件下) 对于经典集合的属于关系 可能性测度在实际问题中是最常见的模糊测度,例如海底矿藏测量用 g(A) 表示在区域A中储藏某矿的最大可能度, x为测量点, h(x)表示根据测量点 x 得出的储藏某矿的估计值 (取值范围为0, 1), 那么 g(A)=supxAh(x), 且不难验证g符合模糊测度条件 概率测度是一类模糊测度定理 设g为可测空间(X, A )上的模糊测度A, B A, 则有: (1) g(AB)g(A)g(B); (2) g(AB)g(A)g(B). 为了研究模糊测度的结构和模糊积分的计算, 日本著名学者M. Sugeno于1974年提出g测度的概念, 其核心思想是将概率测度的可加性放宽 定义 若1, ), g: A0, 1满足条件: (1) g X)=1; (2) g (AB)=g (A)+ g (B) + g (A) g (B), 这里 AB=; (3) An()A limn gAn)= gA). 则称g 为-模糊测度, 或Sugeno测度。

易证: Sugeno测度是模糊测度, 而当=时Sugeno 测度就是概率测度定理 g 测度是模糊测度9.5 模糊积分 引入模糊积分的概念之前, 先看一个例子 例 在对一个中学的评估中, 令x1表示学习成绩, x2表示思想教育, x3表示体育水平, x4表示校园环境用下述办法对此中学进行评估: 取X=x1, x2, x3, x4为因素集, 设评价人对各种因素的满意度为h=(0.9, 0.7, 0.5, 0.3). 注意h有下面性质: (1) h(x1)h(x2)h(x3)h(x4); (2) h0.9=x1, h0.7=x1, x2, h0.5=x1, x2, x3, h0.3 = x1, x2, x3, x4=X. 取单调集列Ai=x1, , xi, i=1, 2, 3, 4. 设评价人对Ai的重视度(权重)为g, 并给定 g(A1)=0.6, g(A2)=0.8, g(A3)=0.9, g(A4)=1. 则 综合评价为: =4i=1(h(xi)g(Ai) =(0.90.6)(0.70.8)(0.50.9)(0.31)=0.7. 值的实际意义可理解为人们对客体各因素的满意度和重视度之间的相容性程度。

值越大, 表明客体的特征同人们对它的要求越接近 积分是被积函数和测度函数的一种内积, 上述值的计算式也是一种内积, 它是模糊集的隶属函数h与模糊测度函数g的一种的广义内积定义 设(X, A, g)是模糊测度空间, h:X0, 1是X上的可测函数, 即对0, 1上的任意Borel集(波雷尔集, (, a)与0, 1的交)B都有 h1(B)=x: h(x)BA. 令AA. 则h在A上关于测度g的模糊积分定义为:当A=X时, Xh=h, 故此时上述积分公式变成: 当A=X=x1, x2, , xn且h(x1) h(x2) h(xn) 时, 记Ai=x1, x2, , xi, 则积分公式变成: 模糊积分有如下性质: (1) 0 A h(x)g()1. (2) xX, 若h1(x)h2(x), 则A h1(x)g() A h2(x)g(). (3) 若AB, 则 A h(x)g() B h(x)g(). (4) 若g(A)=0, 则则 A h(x)g()=0. (5) A c g()=c g(A), 0 c 1. (6) A (h1h2)(x)g() A h1(x)g() A h2(x) g(). (7) A (h1h2)(x)g() A h1(x)g() A h2(x) g(). 。