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基本不等式(很全面).(精选)基本不等式【知识框架】1、基本不等式原始形式（ 1）若（ 2）若a,bR，则a2b22aba,bR，则aba2b222、基本不等式一般形式（均值不等式）若a,b R*，则a b 2 ab3、基本不等式的两个重要变形（1）若a,bR*，则abab22（2）若a,bR*，则abab2总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当a b时取“=”4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论（1）若x0，则x1(当且仅当x1时取“=”）2x（2）若x0，则x12(当且仅当x1时取“=”）x（3）若ab0，则ab2(当且仅当ab时取“=”）ba（ 4）若（ 5）若a,bR，则ab(ab)2a2b222*，则1aba2b2a,bRab2211abword.特别说明：以上不等式中，当且仅当a b时取“=”6、柯西不等式（1）若a,b,c,dR，则(a2 b2)(c2 d2) (ac bd)2（2）若a1,a2,a3,b1,b2,b3R，则有：(a12 a22 a32)(1b12 b22 b32) (a1b1 a2b2 a3b3)2（ 3）设a1,a2,,an与b1,b2,,bn是两组实数，则有(a12a22an2)(b2b2b2)(a1b1a2b2anbn)212n【题型归纳】题型一：利用基本不等式证明不等式题目1、设a,b均为正数，证明不等式:ab≥211ab题目2、已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2 b2 c2 ab bc ca题目3、已知abc1，求证：a2b2c213题目4、已知a,b,cR，且ab c 1，求证：(1a)(1 b)(1 c) 8abcword.题目5、已知a,b,cR，且abc1，求证：1111118abc题目6、（新课标Ⅱ卷数学（理）设a,b,c均为正数,且abc1,证明:(Ⅰ)abbcca1a2b2c23;(Ⅱ)c1.ba题型二：利用不等式求函数值域题目1、求下列函数的值域（1）y3x212（2）yx(4x)2x（3）yx1(x0)（4）yx1(x0)xx题型三：利用不等式求最值（一）（凑项）1、已知x4的最小值；2，求函数y2x42x4word.变式1：已知变式2：已知变式3：已知4的最小值；x2，求函数y2x2x44的最大值；x2，求函数y2x2x4x 2，求函数y2x4x的最大值；2x 4练习：1、已知x5，求函数y4x21的最小值；44x5题目2、已知x5，求函数y4x21的最大值；44x5题型四：利用不等式求最值（二）（凑系数）题目1、当时，求yx(8 2x)的最大值；word.变式1：当时，求y4x(8 2x)的最大值；变式2：设0x3，求函数y4x(32x)的最大值。

2题目2、若0x 2，求yx(6 3x)的最大值；变式：若0 x 4，求yx(8 2x)的最大值；题目3、求函数y2x152x(1x5)的最大值；22变式：求函数y4x3114x(3x11)的最大值；44word.题型五：巧用“1”的代换求最值问题题目1、已知a,b0,a 2b 1，求t11的最小值；a b变式1：已知a,b0,a 2b 2，求t11的最小值；a b变式2：已知x,y0,281，求xy的最小值；xy变式3：已知x,y0，且119，求xy的最小值xy变式4：已知x,y0，且194，求xy的最小值；xy变式5：（1）若x,y0且2xy1，求11的最小值；xy（2）若a,b,x,yR且ab1，求xy的最小值；xyword.变式6：已知正项等比数列an满足：a7a62a5，若存在两项am,an，使得aman4a1，求14的最小值；mn变式7：若正数x，y满足x＋3y＝5，则3x＋4y的最小值是（）C．5D．6变式8：设a0,b0.若3是3a与3b的等比中项，则11的最小值为（）．A．1abB．1C．4D．84变式9：已知ab0，且ab2，则21的最小值为a3bab变式10：已知0x1，a0，ba2b20，求y1xx的最小值.变式11：求18(0x3)的最小值2x32x2变式12：已知(0,)，求函数f()14的最小值sin222cosword.变式13：设正实数a,b满足ab2,则1a的最小值为．a8b变式14：【2013天津理】设a+b=2,b>0,则当a=时,1|a|2|a|b取得最小值.变式15：设a0,b 1满足ab 2，则a1的最小值为．b 1a变式16：已知a,bR且2ab1，则14的最小值是.a2b2题型六：分离换元法求最值（了解）题目1、求函数yx27x10(x1)的值域；x1变式：求函数yx28(x1)的值域；x1题目2、求函数yx2的最大值；2x5word.变式：求函数yx1的最大值；4x9题型七：基本不等式的综合应用题目1、已知log2alog2b 1，求3a 9b的最小值题目2、已知a,b0，求112ab的最小值；ab变式1：（2010四川）如果ab0，求关于a,b的表达式a211的最aba(ab)小值；变式2：（2012湖北武汉诊断）已知，当a0,a1时，函数yloga(x1)1的图像恒过定点A，若点A在直线mxyn0上，求4m2n的最小值；变式3：【2017天津】若a,bR,ab0，则a44b41的最小值为abword.题目3、已知x,y0，x 2y 2xy 8，求x 2y最小值；变式1：已知a,b0，满足aba b 3，求ab范围；变式2：已知x,y0，111，求xy最大值；（提示：通分或三角换元）2x2y3变式3：已知x,y0，x2 y2 xy 1，求xy最大值；题目4、（2013年山东（理））设正实数x,y,z满足x23xy4y2z0,则当xy取z得最大值时,212的最大值为（）（）xyzA．0B．1C．9D．34word.变式：设x,y,z是正数，满足x 2y 3z 0，求y2的最小值；xz题型八：利用基本不等式求参数范围题目1、已知x,y0，且(xy)(1a)9恒成立，求正实数a的最小值；xy2、已知xyz0且11n恒成立，如果nN，求n的最大值；（参xyyzxz考：4）变式：已知a,b0满则142，若abc恒成立，求c的取值范围；abword.题型九：利用柯西不等式求最值1、二维柯西不等式(a,b,c,d R,当且仅当ab；即adbc时等号成立)若a,b,c,d R，则c d(a2b2)(c2d2)(acbd)22、二维形式的柯西不等式的变式(1)a2b2c2d2acbd(a,b,c,dR,当且仅当ab；即adbc时等号成立)cd(2)a2b2c2d2acbd(a,b,c,dR,当且仅当ab；即adbc时等号成立)cd(3)(ab)(cd)(acbd)2(a,b,c,d0,当且仅当ab；即adbc时等号成立)cd3、二维形式的柯西不等式的向量形式(当且仅当0,或存在实数k,使a k时,等号成立)4、三维柯西不等式若a1,a2,a3,b1,b2,b3R，则有：(a12a22a32)(1b12b22b32)(a1b1a2b2a3b3)2(ai,biR,当且仅当a1a2a3时等号成立)b1b2b35、一般n维柯西不等式设a1,a2,,an与b1,b2,,bn是两组实数，则有:(a12a22an2)(b2b2b2)(a1b1a2b2anbn)212n(ai,biR,当且仅当a1a2an时等号成立)b1b2bnword.【题型归纳】题型一：利用柯西不等式一般形式求最值题目1、设x,y,zR，若x2 y2 z2 4，则x 2y 2z的最小值为时，(x,y,z)析：(x2y2z)2(x2y2z2)[12(2)222]4 936∴x 2y 2z最小值为6此时∴xyz6212212(2)2223x2，y4，z4333题目2、设x,y,zR，2xy2z6，求x2y2z2的最小值m，并求此时x,y,z之值。

Ans：m4;(x,y,z)(4,2,4)。