七年级同步第8讲乘法公式一教师版.doc

七年级暑假班乘法公式（一）平方差公式、完全平方公式是特殊的乘法公式，它既是前面知识“多项式乘 多项式”的应用，也是后继知识因式分解、分式等的基础，对整个知识体系也起 到了承上启下的作用，在初中阶段占有很重要的地位.两个公式都可以由直观图 形引导学生观察、实验、猜测，进而论证，最后建立数学模型，逐步培养学生的 逻辑推理能力和建模思想.它在本章中起着举足轻重的作用，是前面知识的继承 和发展，又是后面的分解因式和解一元二次方程的重要依据，起着承前起后的作 用.模块一：平方差公式1、平方差公式定义：两数和与这两数差相乘， 等于这两个数的平方差. a b a-b =a2-b2 .（1） a. b可以表示数，也可以表示式子（单项式和多项式）（2 ）有些多项式相乘，表面上不能用公式，但通过适当变形后可以用公式：2如： ab_cb_ac=b a _c寸b _a_c =b2_a_c2、平方差公式的特征：（1 ）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数.（2 ）右边是乘式中两项的平方差.例题解析【例1】 下列多项式乘法中,能用平方差公式计算的是（C. -a ba-b D. -x-yx y【难度】★【答案】BD ：原式二 -(x y)2 .【解析】A:完全平方公式；C:原式--（a -b）2【总结】对平方差公式概念的考查.【例2】 计算:(1) 3x 5 3x -5 ;(3) 2x y 2x-y .【难度】★【答案】（1） 9x2 -25 ;2 -- ； (3) 4x2 - y2 .9【解析】(1) 3x 5 3x-5[=(3x)(2)iiii2x 3 2x_3 -'21 2 1 2 1 2 yx) -(3)寸(3) 2x y 2x_y = (2x)2 _ y2 =4x2 _ y2 .【总结】直接利用平方差公式进行计算.【例3】 计算:【难度】★【解析】【答案】4 25,2^2“、 2 24x —9y ； (3) 9b -4a(1)1x2 1 1x22 5 2125(2) -2x 3y _2x_3y ； (3) _2a _3b 2a_3b .a ”相反的项看作“ b”.1 4 2(2) a -b .16(2) -2x 3y -2x -3y i=(-2x)2 _(3y)2 =4x2 -9y2 ；(3) -2a -3b 2a -3b i=(七b)2 -(2a)2 =9b2 -4a2.【总结】在运用平方差公式时，一定要注意将相同的项看作【例4】 计算：(1) 2a -3 2a 3 4a2 9 ;【难度】★★【答案】(1) 16a4 -81 ;【解析】(1)原式=(4a2 -9)(4a2 - 9) =16a4 -81 ；班假暑级年七⑵原式=（存叫—存」2.【总结】平方差公式的连续运用.【例5】计算:—z」x 1y_1z2 5 3 2 5 3★★【答案】」xy _丄y2」z2 .5 25 9【解析】11111 1原式二-(：x y z)( x y z)2 5 3 2 5 31 1 1 1 1 1-4( x y) z][( x y) z]2 5 3 2 5 3“1 1 、2 1 2] 1 2 1 1=4( x y) z ] x xy y2 5 9 4 5 252 12z9【总结】在运用平方差公式时，一定要注意将相同的项看作“a ”相反的项看作“ b”【例6】 计算：(1) a b a-b i i a 3b a-3b ;(2) -2y x 2y xm「2x —y -2x y ;(3) ^x2 3 丄 x2 -3 -」x—2 —〔x 2 .12 人2 ) V 3 人3丿【难度】★★【答案】(1) 8b2 ; (2) 5x2 -5y2 ； (3)亠4 -62 -54 9【解析】(1)原式=a2 -b2 -a2 9b2 =8b2;(2)原式=x2 -4y2 4x2 -y2 =5x2 -5y2 ；七年级暑假班1 4 1 2 1 4 1 23)原式 x 9 x 亠4 x x 5 .4 9 4 9【总结】平方差公式以及合并同类项的运用.【例 7】 计算：〔2a-1 2a 1 a 2 a-2_4a2 a2 5 .【难度】★★【答案】a4-25【解析】原式 =(4a2 -1 - a2 —4 -4a2)(a2 • 5)2 2=(a -5)(a 5)=a4 -25【总结】平方差公式的连续运用.【例8】 简便运算：1 2(1) 102 98 ； ( 2) 30.2 29.8 ； (3) 25 24三.3 3【难度】★★【答案】(1) 9996;( 2) 899.96;( 3) 62489【解析】 (1)原式 =(100 2)(100 -2) =1002 -4 =9996 ；(2) 原式=(30 0.2)(30 -0.2) =900 —0.04 =899.961 1 1 8(3) 原式=(25 )(25 ) =625 6243 3 9 9【总结】平方差公式在简便运算中的运用.# / 20模块二：完全平方公式七年级暑假班1完全平方公式定义：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们.r 1, 、 2 2 2 2 2 2积的两倍. a b a 2ab b、 a _b a _2ab b .2、完全平方公式的特征：（1） 左边是两个相同的二项式相乘；（2） 右边是三项式，是左边两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍；（3） 公式中的字母可以表示具体的数 （正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数式.【例9】 下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ）A. 4x -7y -7y -4x B. -4x-7y 7x 4yC. -4x -7y 7y 4x D. 4x -7y 4x 7y【难度】★【答案】C【解析】A: _（4x-7y）（4x 7y） ; B: -J4x 7y 7x 4y ; D: 4x「7y 4x 7y【总结】运用时，注意完全平方公式与平方差公式的区别.【例10】下列计算正确的是（ ）A. （a +b $ =a2 +b2 一y『=x2 _2xy _y22 2 2C. (5a+2b ) =25a +4b +20ab【难度】★【答案】C【解析】A:正确答案为：a2 2ab b2;D.(1^1 nKlm^lm n+*(3 2 丿 3 6 4B：正确答案为：x2 -2xy - y2 ；1 2 1 1 2D:正确答案为： -m •-mn・-n .9 3 4【总结】本题注意考查学生对完全平方公式的理解和准确运用.(1) 3x 9 2 ；(3) -xyz-22 .【例11】计算:2(2) 2x 3 j i 2x -2 -2x 2 ；【难度】★【答案】(1) 9x2 54x 81 ; ( 2) 1x^1xy - y2 ; ( 3) x2y2z2 4xyz 4 ；4 3 92 Q Q Q【解析】(1) 3x 9 (3x) 2 3x 9 9 =9x 54x 81 :(2) ―厂二凸2—? ? y C)2 Jx2」xy〕y2 ;12 3丿 2 2 3 3 4 3 92 2 2 2 2(3) ：；：一xyz —2 (xyz 2) = x y z 4xyz 4 .【总结】本题主要是利用完全平方公式直接进行计算.【例12】计算：2(1) x-3x 4- x 3 ；2(3) 2a 1 - 2a 1 2a -1 .【难度】★★【答案】(1) 』x_21 ; (2) 12x 13 ; (3) 4a 2 ;【解析】(1)原式=x2 • x -12 - x2 _6x - 9 - -5x - 21 ;(2) 原式 =4x2 12x 9 4 -4x2 =12x 13;(3) 原式 =4a? 4a 1 —4a? 1 =4a「2 .【总结】完全平方公式与合并同类项的运用.【例13】计算:(1)1x312y【难度】★★【答案】(1) --xy ; ( 2) 0.3【解析】1 211 21 211 22二一 x一 xy — y一一 x--xyy亠—xy ;9349343(1)原式(2)原式」ab」b2 _^a2 —^ab _?b22 4 9 2 16【总结】完全平方公式的直接运用，在运用时注意中间项是“积的 2倍”.【例14】计算:(1) 9a2 -16b2 3a -4b 3a 4b ；(2) 11.1 1. 1 2 1.2(2) a - b aba b「3 2 人 3 2 人 9 4【难度】★★【答案】(1) 81a4 _288a2b2 256b4; ( 2)丄a4 _丄 a2『 丄 b° .81 18 16【解析】(1)原式=(9a2 -16b2)(9a2 —16b2) =81a4 -288a2b2 256b4 ；1 2 1 2 1 2 12 1 4 1 2 2 1 4(2 )原•式=(—a b )( a b ) a a b b .9 4 9 4 81 18 16【总结】平方差公式与完全平方公式的综合运用，运用时注意两个公式的区别.【例15】计算：2 2(1) (2b+c) ； (2) (3x+2y+4) ； (3) (x + y_2[2_x_y ).【难度】★★【答案】(1) a2 4ab -2ac「4bc c2; ( 2) 9x2 12xy 4y2 24x 16y 16 ；2 2(3) -x _2xy「y 4x 4y -4 .【解析】(1)原式 二[(-a -2b) c]2 =(-a -2b)2 2c (-a -2b) c22 2 2=a 亠4ab 亠4b -2ac-4bc 亠 c ;(2) 原式 =(3x 2y) 8(3x 2y) 16 =9x 12xy 4y 24x 16y 16 ；(3) 原式二-(x 目一2 = -(x y) 4(x y) —4 = -x —2xy —y 4x 4y —4 .【总结】三项完全平方的综合运用，注： a b c a2 b^- c2 2ab ■ 2ac ■ 2bc .【例16】简便计算:(1) 99.82 ;【难度】★★■'班假暑级年七【答案】(1) 9960.04;( 2) 4020025.【解析】 (1) 99.8 二(100_0.2) =10000 _40 。