试验优化设计-第九章(2009)1.ppt

第十二章 混料试验设计§12-1 混料试验一、混料 定义：指若干种不同成分的混合或合成(配比)国外混料设计方法评价请参考： Cornell, J. A. (1990). Experiments with Mixtures: Designs, Models and the Analysis of Mixture Data. Wiley, New York.以果味型饮料例： 其中水占95% 质量g 其他添加料5%质量g整体饮料质量的5%的添加剂影响饮料口味和 质量单纯形格子点设计 (Scheffe, 1958)单纯形重心设计(Scheffe, 1963)轴设计(Cornell, 1975)方开泰、王元等混料均匀设计例：(1)材料：由铁、镍、铜和铬四种元素组成的不锈钢， 由镁，硝酸钠、硝酸锶和固定剂组成的闪光剂； (2)食品工业：饮料、食品调味剂；(3)建筑材料：水泥，混凝土，粘接剂； (4)能源：由不同成分组成的固态、液态和气态的燃料；(5)工厂中不同品种，不同合格率的产品总体，不同 型号，不同完好率的设备总体；混料特点(1)组成混料的各种成分，称为混料成分或分量， 也就是混料试验中的试验因素。

在混料回归设计 中，混料中的成分应至少有三种 (2)不变组分，不算饮料中的水成分不算 如不锈钢中的元素碳，但应作为混料试验的条件因素 二、混料试验 对混料性能进行的研究――广义试验 通过实物试验或非实物试验，考察混料的某种 特性或综合性能与各种混料成分之间的关系 例如：为考察铁、镍、铜和铬在不锈钢中的含量变化，对不锈钢 抗拉强度的影响而进行的试验，就是混料试验三、混料条件1、在混料试验中，每个混料成分的含量都必须 表示成混料的百分比，且是无量纲的，并且试验 指标仅与各个分量的百分比有关，而且与混料的 总量无关2、每种成分含量的百分比为非负数，且它们的 总和应等于 1 Z1，Z2，Z3…. Zj….Zp，表示混料中 P 种成分各占 的百分比§12-2 混料回归数学模型 一、混料试验设计：就是合理选择少数试验点， 安排因素不同含量配比试验，求取非线性的回归 方程二、混料试验分析的数学模型Scheffe 多项式混料模型模型中没有常数项与平方项，只有一次项与交叉项混料条件决定了混料回归设计中的数学模型不同 于一般回归设计中所采用的数学模型为适应更复杂的混料试验设计，可以采用p 个 组分d 次多项式回归方程，这些方程的Scheffe 多项式（或称规范多项式）形式为：不存在单一因素的多次项； 不含常数项； 含因素之间的交互项。

举例 某产品的三种原料在配方中的比例分别为x1、x2 和x3, 指标y 与x1、x2、x3 之间若建立二次型回归模型, 则模型可写为:在混料设计中，因为所以上面的方程可以变换为如下形式:三、常用设计方法 基本方法：各因素仅受混料条件限制 (1)单形混料设计：最早指出的方法 （ 格子设计、重心设计） (2)有下界约束条件 （基于单型）(3)有上下界约束条件极端顶点设计(4)追求优良设计正交（比率设计）混料D最优混料旋转设计(5)随机混料设计§12-3 单形格子设计一、单形：顶点数与坐标空间维数相等的凸图形 正三角形，正四面体形，p 维单形即（p-1）维单纯形二、单形坐标系假设 (1)设 P(X1，X2，X3) 为单形内的任意点，单形内任意点 P 到各边的距离分别为 (X1，X2，X3)， X1表示 P 点到边 BC 的距离， X2 为点 P 到边 AC 的距离，X3 为点 P 到 边 AB 的距离 (3)单形上的点，若其p个坐标中有一个标 ， 而其余的 p-1 个坐标为 0，则这种点称为单形的 顶点 (2)A，B，C到对边的距离为1 将试验点取在相应阶数的正规单纯形格子点上，这样的试 验设计称为单纯形格子设计。

单纯形格子设计是混料回归设计方案中最先出现的，也是 最基本的设计方案，很多其它设计方案的构成要用到单纯形格 子设计对于由约束条件构成的正规单纯形因子空间，当采用完全 形规范多项回归模型时，试验点可以取在正规单纯形格子点上 ，构成单纯形格子设计它可以保证试验点分布均匀，而且计算简单、准确，回归系 数只是相应格子点的响应值的简单函数三、单形格子设计三、单形格子点概念和计算以高为1 的等边三角形（a）三条边各二等分，则 此三角形（b）的三个顶点与三个边中点的总体称为二 阶格子点集，记为{3, 2}，3 表示正规单纯形顶点个数 ，2 表示每边等分数单形格子M{p, d}设计共有：单纯形格子设计中，p 分量d 阶格子点集｛p, d｝中有N 个 点，正好与所采用的d 阶完全型规范多项式回归方程中待估计的 回归系数的个数相等，故单纯形格子设计是饱和设计，是在“试 验次数最少”意义下的最优设计Scheffe 三元二次多项式混料模型四、单形格子回归系数及试验设计单形格子{3,2}试验设计P=3；d=2计算得 N=6 系数个数：b1，b2，b3，b12，b13，b231236541 2 3 4 5x1x2x361 0 0 1/2 01/20 1 0 1/2 1/200 0 0 0 1/21/2变量 试验X1X2X311002010300141/21/2051/201/2601/21/2变量 试验X1X2X311002010300142/31/3051/32/3062/301/371/302/3802/31/3901/32/3101/31/31/3{3,2}{3,3}混料格子回归设计编方案：{4,2}：N={4,3}：N={4,4}：N=单形格子混料设计试验点数 因素D234 分度数P 361015 4102035 5153570 62156126 836120330 1055220715单形格子混料设计缺点：因素试验点集中在格子边缘。

1、定义：实验安排在重心的混料设计 称为单形重心混料设计，或简称单形 重心设计 2、回归模型一个混料试验可由因素个数 P 与回归 方程最高次项次数 d 所确定用有序 数对（P，d）表示一个混料试验§12-4 单形重心设计1、单个顶点重心就是顶点本身 ①，②，③①（1，0，0），②（0，1，0），③（0，0，1）2、任意两点组成一条棱边，棱的中点即其 重心，成为两顶点重心 ④，⑤，⑥3、任意三个顶点组成一个正三角形，该 三角形的中心即其重心，称为重心 ⑦一、单形重心在一个p 因素的单纯形重心设计中，试验点为单纯形顶点的一些 重心点这些点是： （1）单纯形一个顶点的重心点，即p 个顶点（1, 0, ⋯, 0）共有 个点； （2）单纯形两个顶点的重心点（1/2, 1/2, 0, ⋯, 0）共有 个点； （3）单纯形三个顶点的重心点（1/3, 1/3, 1/3, 0, …, 0）共有 （p）单纯形p 个顶点的重心点（1/p, 1/p, ⋯, 1/p），共有  个点 在单纯形重心设计中，试验点的总数目是 个二、单形重心的设计特点 1）饱和设计 对于（P，d）混料设计回归方程为 待估计的系数共有：试验次数和回归方程中待估计系数相等P维单形顶点数共有：2）坐标与d无关 所有试验的坐标与回归方程的次数 d 无关，且试验点的非零坐标相等，消 除由于非零坐标不相等，对回归系数 估计值的影响。

①（1，0，0），②（0，1，0），③（0，0，1）为研究能否在试验室中对燃料抗震性能使用的 一种 RM 评分法，来替代燃料的道路行驶性能 评分法拟设计一组试验，系统地变动燃料特 性，来检验这两种评分法差异的假设是否成立 试验指标为两种评分法之差，所研究燃料的 三个组成成分是，石蜡环烷（x1）, 二芳香烃（ x2）, 二烯烃（x3）,并且满足x1+x2+x3=1石蜡环烷（x1） 二芳香烃（x2） 二烯烃 （x3）y~1°方案编制 [ p，d ] 选用（3，3）单形重心设计 j i 1 2 3X1 X2 X31 0 0 0 1 0 0 0 1 1/2 1/2 0 1/2 0 1/20 1/2 1/2 1/3 1/3 1/3① ② ③④ ⑤ ⑥ ⑦y4 5 6 7j i 1 2 3X1 X2 X31 0 0 0 1 0 0 0 1 1/2 1/2 0 1/2 0 1/20 1/2 1/2 1/3 1/3 1/3y4 5 6 72°回归系数的计算j i 1 2 3X1 X2 X31 0 0 0 1 0 0 0 1 1/2 1/2 0 1/2 0 1/20 1/2 1/2 1/3 1/3 1/3y4 5 6 7利用单形格子混料设计方案{3.3}编排试验试验点数N=编排方案§12-5 有下界约束的单形重心设计 一、下界约束 P 分量有下界约束的混料问题就是要在条件：限制下安排试验，其中 是分量 的下界，即该分量实际能取的最小值，并且下 界 必须满足:•有下界约束的混料 问题具有实际意义 的充分必要条件。

二、因素编码 对有下界约束的 P 因素混料问题中，为了应用回 归设计的方法，求取混料回归方程，必须对Zj 进行编码 自然空间与编码空间就建立可以一一对应的关系 ，通过编码公式将混料的实际成分变成编码成分 ，将有下界约束的混料问题变换为无下界约束的 混料问题 由于拟变量变换是相似变换，只是移动了坐标系 原点的位置，同时将各个坐标分量都放大1/L 倍，即 当有下界限制时，试验区域为原区域内的一个子区域 ，即为单形内一个更小的单形，而没有改变可行解区 域的形状例：试制某种火箭助推剂，三种混料成分受 下界约束：粘合剂 氧化剂 燃料 的限制，试验目的是要找出使弹性模数大于 3000的混料，并且粘合剂用量越少越好j i123X1 X2 X3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1/2 1/2 0 1/2 0 1/20 1/2 1/2 1/3 1/3 1/3Z1 Z2 Z3 0.4 0.4 0.2 0.2 0.6 0.20.2 0.4 0.4 0.3 0.5 0.2 0.4 0.4 0.20.2 0.5 0.3 0.27 0.47 0.27y① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦74563.计算各回归系数4．检验由于混料试验方案不具有正交性，因此回归方 程的统计检验较繁杂，多采用控制点检验。

控制点是在单形内选择少量的验证性试验点控制点的选择原则是，即要点数尽量少，又要各点在单 形内分布尽量均匀，具有较强的代表性控制点检验实 际上就是验证性检验，是检验回归方程的失拟程度，推 断能否交付使用，如果失拟不大，回归方程可交付使用 ，否则就要修改回归模型，补做一些试验，用更高次的 回归模型去描述混料系统1、允许差比较法2、方差比较法 L个控制点 ，用混料回归设计 所得方程计算出来的指标预测值为 。