复变函数及积分变换重要知识点归纳.doc

复变函数及积分变换重要知识点概括复变函数复习要点(一)复数的观点1.复数的观点： z x iy，x,y是实数, x Rez,y Imz.i2 1.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小 .2.复数的表示1）模：z x2 y2；2）幅角：在z 0时，矢量与 x轴正向的夹角，记为 Argz（多值函数）；主值argz是位于( , ]中的幅角/3）argz当x与arctany之间的关系以下：xy0, argz arctan ；y0,argzarctany当x0,x；yy0,argzarctanx4）三角表示：zzcosisin，此中argz；注：中间必定是“+”号5）指数表示：zzei，此中argz二)复数的运算1.加减法：若z1x1iy1,z2x2iy2，则z1z2x1x2iy1y22.乘除法：1）若z1x1iy1,z2x2iy2，则z1z2x1x2y1y2ix2y1x1y2；z1x1iy1x1iy1x2iy2x1x2y1y2y1x2y2x1z2x2iy2x2iy2x2iy2x22y22iy22x22）若z1z1ei1,z2z2ei2,则2i12；z1z1i12z1z2z1z2ez2z2e3.乘幂与方根1）若zz(cosisin)zei，则znnisinn)nz(cosnzein。

2）若zz(cosisin)zei，则n12k2k（有n个相异的值）nzzcosnisinn(k0,1,2n1)（三）复变函数1．复变函数：wfz，在几何上能够看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映照.2．复初等函数1）指数函数：ez excosy isiny，在z平面到处可导，到处分析；且ezez注：ez是以2i为周期的周期函数注意与实函数不一样）3）对数函数：Lnzlnzi(argz2k)(k0,1,2)（多值函数）；主值：lnzlnziargz单值函数）Lnz的每一个主值分支lnz在除掉原点及负实轴的z平面内到处分析，且lnz1；z注：负复数也有对数存在 （与实函数不一样）3）乘幂与幂函数：abebLna(a0)；zbebLnz(z0)注：在除掉原点及负实轴的z平面内到处分析，且zbbzb1eizeizeizeizsinzcosz4）三角函数：sinz2i,cosz2,tgz,ctgzsinzcoszsinz,cosz在z平面内分析，且sinzcosz,coszsinz1注：有界性sinz1,cosz1不再建立；（与实函数不一样）4）双曲函数shzezez,chzezez；22shz奇函数，chz是偶函数。

sh,z c在hzz平面内解析，且shz c,hz chzshz（四）分析函数的观点1．复变函数的导数）点可导：fz0=limfz0zfz0；10zz2）地区可导： f z在地区内点点可导2．分析函数的观点1）点分析： f z在z0及其z0的邻域内可导，称 f z在z0点分析；2）地区分析： f z在地区内每一点分析，称 f z在地区内分析；3）若f(z)在z0点不分析，称 z0为f z的奇点；3．分析函数的运算法例 ：分析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为分析函数；分析函数的复合函数仍为分析函数；（五）函数可导与分析的充要条件1．函数可导的充要条件：fz ux,y ivx,y在z x iy可导ux,y 和vx,y在x,y可微，且在 x,y 处满足C D条件：u v, u vx y y x此时， 有f z u ivx x2．函数分析的充要条件 ：fz ux,y ivx,y在地区内分析2ux,y和vx,y在x,y在D内可微，且知足CD条件：uv,uv；xyyx此时fzuivxx注意：若ux,y,vx,y在地区D拥有一阶连续偏导数，则ux,y,vx,y在地区D内是可微的所以在使用充要条件证明时，只需能说明u,v拥有一阶连续偏导且知足CR条件时，函数f(z)uiv必定是可导或分析的。

3．函数可导与分析的鉴别方法1）利用定义 （题目要求用定义，如第二章习题 1）2）利用充要条件 （函数以fz ux,y ivx,y形式给出，如第二章习题2）3）利用可导或分析函数的四则运算定理 （函数fz是以z的形式给出，如第二章习题 3）（六）复变函数积分的观点与性质n1．复变函数积分的观点：cnkk，是圆滑曲线fzdzlimfzck1注：复变函数的积分实质是复平面上的线积分2． 复变函数积分的性质1）2）fzdz1fzdz（c1与c的方向相反）；cc[fzgz]dzfzdzgzdz,,是常数；ccc3）若曲线c由c1与c2连结而成，则 f zdz f zdz f zdzc c1 c233．复变函数积分的一般计算法1）化为线积分： f zdz udx vdy i vdx udy；（常用于理论证明）c c c2）参数方法：设曲线 c： z zt ( t )，此中 对应曲线c的起点， 对应曲线 c的终点，则 f z dz [ f z] t( z)t dtc（七）对于复变函数积分的重要定理与结论1．柯西—古萨基本定理：设fz在单连域B内分析，c为B内任一闭曲线，则f zdz 0c2．复合闭路定理简单闭曲线，订交，并且以：设fz在多连域D内分析，c为D内随意一条c1,c2,cn是c内的简单闭曲线，它们互不包括互不c1,c2, cn为界限的地区全含于 D内，则①n此中c与ck均取正向；fzdzfzdz,ck1ck②fzdz0，此中由c及c1(k1,2,n)所构成的复合闭路。

3．闭路变形原理 ： 一个在地区D内的分析函数 f z沿闭曲线c的积分，不因c在D内作连续变形而改变它的值，只需在变形过程中c不经过使fz不分析的奇点4．分析函数沿非闭曲线的积分 ：设fz在单连域B内分析，Gz为fz在B内的一个原函数，则z2fzdzGz2Gz1(z1,z2B)z1说明：分析函数fz沿非闭曲线的积分与积分路径没关，计算时只需求出原函数即可柯西积分公式：设fz在地区D内分析，c为D内任一正向简单闭曲线，c的内部完全属于D，z0为c内任意一点，则4fz2ifz0dzczz06．高阶导数公式：分析函数fz的导数仍为分析函数，它的n阶导数为fzdz2ifnz0(n1,2)c(zz0)n1n!此中c为fz的分析地区D内环绕z0的任何一条正向简单闭曲线，并且它的内部完整属于D7．重要结论：12i,n0c是包括a的随意正向简单闭曲c(za)n1dzn00,线）8．复变函数积分的计算方法1）若fz在地区D内到处不分析，用一般积分法f zdz f[zt]z tdtc2）设fz在地区D内分析，c是D内一条正向简单闭曲线， 则由柯西—古萨定理， f zdz 0cc是D内的一条非闭曲线，z1,z2对应曲线c的起点和终点，则有z2Fz1fzdzfzdzFz2cz13）设fz在地区D内不分析fzdz2ifz0cz曲线c内仅有一个奇点：z0（f(z)在c内分析）fz2ifdznzc(zz0)n1n!0曲线c内有多于一个奇点：fzdznfzdz（c内只有一个奇ick1ck5点zk）或：nRes[f(z),zk]（留。