自由电子论PPT课件.ppt

一一. 功函数功函数二二. 热电子发射热电子发射三三. 接触电势接触电势参考：黄昆书 节 p286-290 Kittel 8版 ；17.3.2 节 p336-337 在前面的讨论中，由于使用了周期性边界条件，我们所推导的金属性质仅适合于无限大的金属，故没有关注金属表面势场的影响，箱式模型假定电子气存在于不能穿透的壁的箱内，即是说对电子而言，箱外的势能比箱内的势能无限地大，但实验否定了这个假定，有限的能量足以使电子脱离金属有限的能量足以使电子脱离金属，因此为了从理论上讨论电子发射，修改箱式模型为一个具有一定穿透修改箱式模型为一个具有一定穿透性的箱壁是必要的性的箱壁是必要的5.5 金属的热电子发射和接触电势金属的热电子发射和接触电势一一. . 功函数：功函数： 对于一个金属的均匀表面，其功函数（一些文献中也称脱出功）定义为真空能级（有的文献称之为电子亲和势）与费米能级之间的电子势能之差定义这个函数的意义我们下面会陆续解释 真空能级是指电子处在离开金属表面足够远的某一点上的静止能量此时电子受到的静电力可以忽略（大约离开表面10nm 以上即可）。

也可理解为电子在金属内部的势能与电子理解为电子在金属内部的势能与电子在真空中无穷远处势能之差，对于自由电子模型，金属内部势在真空中无穷远处势能之差，对于自由电子模型，金属内部势能定义为常数，这个数值可以严格定义能定义为常数，这个数值可以严格定义真空能级真空能级功函数的详细说明功函数的详细说明： 在金属内部，自由电子受到正离子的吸引，由于各金属离子的吸引力相互抵消，电子所受的净合力为 0 但金属表面的电子由于有一部分离子的吸引力不能被抵消而受到净吸引力，阻止其逸出金属表面如同在金属表面形成一个势垒一样因此金属中的电子可以看成是处于深度为 V0 势阱中的电子系统 实际上有可能被激发而逸出金属的电子只是在费米能附近，因此，有 其中V0为真空能级，即电子跑到无穷远处所具有的势能， V0也可看成是势阱的深度；功函数W~几个eV这是部分金属的功函数数值，单位是电子伏（eV）该表摘自Kittel 书p337请注意：不同表面的功函数数值不同不同文献中给出的数值也稍有差别 金属中的电子克服束缚跳出金属，根据其获得能量的方式可以区分为：1.高温导致的热电子发射；高温导致的热电子发射；2.强电场导致的场致发射；强电场导致的场致发射；3.光照导致的光致发射：4.电子撞击产生的次级电子发射；5.表面上的放热反应导致的外激发射，或更一般地说，表面上的力学作用（如摩擦或范性形变）或化学反应所导致的电子发射。

6. 前两种情形，可以完全在自由电子模型的范畴内得前两种情形，可以完全在自由电子模型的范畴内得到解释到解释，其余的效应则相对复杂些，必须考虑电子和其它粒子的相互作用才可解释二、热电子发射：二、热电子发射：实验表明，热电子发射的电流密度为其中A为常数，W为功函数（或脱出功），即电子逸出金属所需克服的势垒Richardson－Dushman公式根据实验数据作图可以得到一条直线，其斜率给出功函数：对于该实验规律，金属自由电子论可以给出合理的解释 T＝ 0 时，所有电子的能量都不会超过费米能级： 没有电子可以脱离金属 T > 0 时，会有一些电子通过吸收热能获得高于V0的能量，逸出金属表面 现在从自由电子模型出发推出热电子发射电流密度与温度关系： 根据 节中给出的分析，系统在波矢空间 体积内的状态数为： 各能级电子占有的几率应服从F-D 公式：这里，化学势 可取作因此，单位体积内单位体积内电子运动速度在区间内的电子数目应为：设 x 方向垂直于金属表面，所以只有 x 方向上速度大于某一特定值（即动能大于特定值）的电子方可逸出金属表面，即：而对 y 和 z 方向电子的速度没有要求，可以是任意值。

所以热电子发射电流密度的理论表达式应为：要考虑单位时间内从金属内部可以到达金属表面的那部分电子，所以乘 因为功函数的量级为 几个eV, 而一般温度下所以上式可以得到简化： —— Richardson－Dushman公式其中 在上面的推导中，用到两个积分公式：于是得到：（见后面详细说明）（见后面详细说明）(见黄昆书p288) 不同的金属有不同的功函数，由于热膨胀，W是温度的函数几种金属功函数的平均值（eV）LiNaKMgAlCuAgAuPt2.482.282.223.674.204.454.464.895.36注意，该表数值与前表相比稍有不同 详细求解：令：利用积分公式：同理，有：其中：利用公式：于是，得到了前面结果代入（代入 时该式为零）时该式为零）三、接触电势接触电势 当两块不同金属 A和 B 相接触或用导线相连接时，这两块金属就会同时带电，而具有不同的电势 VA和 VB，这种电势称为接触电势黄昆书p289 图表示出这种情况： 自由电子论可以很好地解释接触电势的形成。

见黄昆书见黄昆书p289-290真空能级化学势相等化学势相等定定性性解解释释：： 用两金属的真空能级作参考，设WA < WB，则 (EF)A > (EF)B当两金属接触后，电子将从化学势高的金属A流向化学势低的金属 B，从而导致金属 A带正电，金属 B带负电于是在两金属的界面处附加了一个静电场，以阻止电子继续从A流向B 电子在金属A中的静电势能为－eVA< 0，使其能级图下降；电子在金属B中的电势能－eVB > 0，能级图上升当两金属的费米能相等时，电子停止从 A 流向 B金属 A的能级图下降 eVA，而金属B的能级图上升－eVB，使得两金属的化学势相等，电子停止流动这时两金属的接触电势差为：一. 交流电导率二. 金属的介电系数三. 金属的光学性质四. 等离子振荡和等离激元（ Plasmon）参考：阎守胜《固体物理基础》1.5 节 Kittel 8 版 ；节 p269-276 黄昆 书 节 p522 节中讨论了稳恒电流下的电导率，现在考虑金属在交变电场时的电导性能，即将看到，它与金属的光学性质密切相关，这里的“光学”一词包含了电磁波的整个频率范围，并不仅仅限于可见光范围。

除此外我们还将讨论金属中的元激发：等离激元等离激元5.6 金属的交流电导率和光学性质金属的交流电导率和光学性质外加电场为交流电场时：相应的电子漂移速度电子漂移速度为：仍从电子在电场作用下的准经典运动方程出发：一一. . 金属的交流电导率：金属的交流电导率：代入方程后，有：所以： 所以交变电场作用下电导率成为复数：其中 是直流电导率以上推导见阎守胜书以上推导见阎守胜书 p22 实数部分体现了与电压同位相的电流，也就是产生焦耳热的那个电流，而虚部则体现的是与电压有 位相差的电流，也就是感应电流低频范围： 金属中的电子基本表现为电阻金属中的电子基本表现为电阻 特性，由于特性，由于 ，所以这个频率范围包括了直到远红，所以这个频率范围包括了直到远红 外区的全部频率外区的全部频率高频范围： ，即在可见光和紫外区域，电子基本表即在可见光和紫外区域，电子基本表 现为电感性，即不从场吸收能量，也不出现焦耳热。

现为电感性，即不从场吸收能量，也不出现焦耳热上面推导中叙述不够严格，应修正为：沿 x 方向传播、并在 y 方向偏振的电磁横波，其电场可以表 示为：运动方程的稳态解为：电流密度二二. . 金属的介电系数金属的介电系数: :我们再从另外的观点来讨论电子的这个频率特性：从麦克斯韦方程出发：其中右边第一项表示与离子实极化有关的位移电流，对于 金属离子可以认为：第二项为传导电子的位移电流，现将两部分归纳在一起：对于交变电场：故相对介电常数为：将上面求出的交流电导率代入该式，有： 电子气的介电函数 以及它对频率和波矢的依赖性，对金属的性质有着显著的影响，先讨论电磁波在金属中的传播——光学性质（三），再讨论 极限下，自由电子的集体激发——体积及表面等离体子（四）附录附录：介电函数的定义： 叫相对介电常数， 是外加电荷密度三三. . 金属的光学性质：金属的光学性质：我们写出金属介质的相关参数：复数折射率复数折射率： ，n是通常的折射率， k是消光系数，光学实验中，通常直接测量的是反射率R 和吸收系数α这里c 是真空中的光速。

这两个公式反映了金属在整个频率范围内的性质，我们可以通过在不同频段中的表现来理解金属的光学性质引入一个参量 称之为等离子体频率 在低频段在低频段，吸收系数的倒数是电磁波在介质中的穿透深度：Cu；ω=107s-1， δ=100μm频率较高的电磁波只能贯穿到表面下很小的距离≈≈高频区高频区： 此区包括可见光和紫外区，可简化为实数值高频区又可分为两区：完全被金属表面反射，即金属呈现有光泽金属对于频率大于 的电磁波是透明的，与无吸收的透明介质如玻璃相像， 是电磁波能否在金属中传播的临界频率，相应的临界波长是：时，反射率 R 垂直下降，这是一个重要的参数，也称作等离子体反射限，其数值与电子密其数值与电子密度成正比度成正比电磁波不能在金属中传播≈≈取自方容川：固体光谱学p16 理论色散关系见下图，从中可以明显的看出三个不同的区域以上见Kittel 书8版 p273附录附录：Kittel 书中的推导：电子气的长波长介电响应可由自由电子在电场 中的运动方程给出：交变电场作用下：极化强度（单位体积的偶极矩）为：根据定义：于是给出了金属的介电函数表达式：和前面给出的结果是一致的。

和前面给出的结果是一致的其频率关系图见下页其频率关系图见下页摘自摘自Kittel 书书p270-272其中下表列出与有意义的电子浓度相应的等离子频率以及自由空间的波长数值，一个波只有当他的自由空间波长小于 时才能够在金属中传播四四. 等离子振荡和等离激元（等离子振荡和等离激元（ Plasmon）） 等离(子)体（Plasma）是由密度相当高的正、负电荷所组成的气体，其中正、负带电粒子数目几乎相等，且至少有一种电荷是可以迁移的如果我们把金属中的价电子看成是均匀正电荷如果我们把金属中的价电子看成是均匀正电荷背景中运动的电子气体，这实际上也是一种等离子体背景中运动的电子气体，这实际上也是一种等离子体 由于交变电场的干扰或热的起伏，金属中的电子密度分布并不是均匀的，设想在某一区域电子密度低于平均值，这样便形成局部的正电荷过剩，由于库仑引力作用，会把紧邻的电子吸引到该区域，但是被吸引的电子由于获得了附加的动量，又会使该区域聚集过多的负电荷，而电子之间的排斥作用又会使电子再度离开该区域，从而形成了价电子相对于正电荷背景的密度起伏振荡由于库仑势是长程作用，这种局部的电子密度振荡将形成整个电库仑势是长程作用，这种局部的电子密度振荡将形成整个电子系统的纵向集体振荡，并以密度起伏波的形式表现出来。

子系统的纵向集体振荡，并以密度起伏波的形式表现出来 不难看出，这与导电气体中的等离子振荡相似，故称为金属中的等离子振荡 二者也是有区别的，金属是低温等离子体金属是低温等离子体，而气体放电是高温等离子体，金属中正、负电荷密度约为 ，粒子间的相粒子间的相互作用很强，是一个量子系统互作用很强，是一个量子系统，而放电气体中，电荷密度要低若干个数量级，粒子间相互作用很弱，是经典系统方向方向 金属中的等离子体振荡是传导电子气的一个纵向集体激发，等离体子（ Plasmon，俗称等离激元）是等离子体振荡的能量量子 当电子穿越金属薄膜，或在金属表面反射时，可以激发一个等离体子，电子电荷与等离体振荡的静电场起伏耦合，反射或透射的电子将发生能量损失，其大小等于等离体子能量的整数倍 由金属膜反射的电子的能量损失谱 a: Al; b: Mg 电子初始能量2020eV,铝中观察到12个损耗峰，由和处出现的损耗所组合而成，前一个是表面等离激元引起，後一个是体积等离激元引起镁中观察到10个损耗峰，由的表面等离激元和的体积等离激元组合而成。

见Kittel 书p275 自由电子交流导电模型一个重要应用是解释了电磁波在金属中的行为 实际上，前面的讨论中有一个蕴含的假定，即每个电子所受的电场力是相同的，没有考虑交变电场在空间的变化 为了讨论电磁波在金属中的传播，我们考虑交变电场在空间变化缓慢的情况，即波长远大于电子的平均自由程此时有：附录：阎守胜书中的分析：p16-28上式表示在 r 处的电流密度完全取决于该处的电场强度①这是因为到达 r 处的电子经受的最后一次碰撞，发生在距离r大约  远处，在电子的平均自由程  远小于电磁波波长  时近似成立，，在这个范围内，电场近似等于 r 处的电场 因此在 << 条件下，从Maxwell方程组可导出自由电子气波动方程：对于单色波解代入波动方程后给出②与不导电介质情形 相比自由电子气有复介电常数：相对介电常数：引入参数：③p称为等离子体频率（Plasma frequency），它相应于自由电子气相对于正电荷背景的集体振荡频率。

因此， 式可写为：对于高频区域1，上式的一级近似为：当p， r取负值，对应于衰减波，即电磁波无法传播当p， r取正值，对应于电磁波可以传播的波段当然，这样讨论的前提是高频假设成立，即在p附近的范围内④从的计算，我们可以根据计算p的值为：对于碱金属，实验确定电磁波透过区在紫外波段我们可以计算等离子体振荡频率为：⑤对于电子密度存在一个振荡解，我们可电子密度对时间的依赖考虑为e-it形式由电荷密度和电流密度的连续性方程：这就是电子密度振荡发生的条件⑥对于自由电子气的等离子振荡，我们也可以作一个更为直观的处理考虑在一个长度为L，截面积为A的圆柱体，其中电子气相对于正离子背景整体移动距离，如下图所示相应的产生电偶极矩为：LA体系的电中性条件要求：⑦因此位移电子所感受到的电场为：一个电子的运动方程为：方程的解就是沿纵向的电荷密度振荡，特征频率就是p⑧r可简写为：1和2为复介电常数的实部和虚部同样，我们可以得出复折射率：复折射率同样可以写为实部和虚部之和，实部就是通常的折射率，虚部被称为消光系数：k可以被写为：假定电磁波沿垂直于金属表面的z方向传播，则有：由上式可见，振幅随传播距离衰减。

而对于光强则有：⑨比较吸收系数的定义：我们有：⑩5.8 自由电子模型的局限性自由电子模型的局限性成功之处：电子比热电子比热Ce的温度依赖与量级的温度依赖与量级金属热导率和电导率的温度依赖与量级，金属热导率和电导率的温度依赖与量级，Wiedemann-Franz定律的解释定律的解释电子磁化率与温度无关电子磁化率与温度无关失败之处：霍尔系数霍尔系数金属的磁阻金属的磁阻热功率等参数热功率等参数费米面的形状费米面的形状非金属材料非金属材料作业：5.6 阎守胜书 题考虑一在球形区域内密度均匀的自由电子气，电子系统相对于等量均匀正电背景有一小的整体位移证明在这一位移下系统是稳定的，并给出这一小振动问题的特征频率5.7 阎守胜书 题在什么波长下，对于电磁波辐照，金属Al是透明的？。