茆诗松概率论与数理统计教程第三章.ppt

§2 边际分布与随机变量的独立性X,YX,Y作作为为一个整体研究一个整体研究时时, , 即二即二维维随机随机变变量量(X,Y), (X,Y), 具有分布函数具有分布函数F(x,y); F(x,y); 作作为单为单独的独的个体研究个体研究时时, , 它它们们各自都是随机各自都是随机变变量量, , 有各有各自的分布函数自的分布函数. .1编辑ppt1. 边际分布• 边际边际分布函数分布函数定定义义 记记分量分量X和和Y各自的分布函数各自的分布函数为为FX(x), FY(y), 则则FX(x)=P(X≤x)= P(X≤x, Y≤ ∞)=F(x, ∞)同理有同理有, FY(y)=F(∞,y)我我们们把把FX(x), FY(y)分分别别称称为为(X,Y)关于关于X,Y的的边际边际分分布函数布函数.下面我下面我们们分离散型和分离散型和连续连续型两种情形来型两种情形来讨论讨论二二维维随机随机变变量的量的边际边际分布分布.2编辑ppt•当当(X,Y)是离散型随机是离散型随机变变量量时时3编辑ppt例一例一. 在一个装有在一个装有7只正品只正品, 3只次品的盒子里只次品的盒子里, 分分别进别进行两次非放回的行两次非放回的产产品抽品抽样样, 令令试试求随机向量求随机向量(X,Y)的的联联合分布列和合分布列和边际边际分布列分布列.4编辑ppt所以所以(X,Y)的的联联合分布列合分布列为为:X Y0101/157/3017/307/155编辑ppt根据根据联联合分布列合分布列, 对对同一行或同一列相加同一行或同一列相加, 就可得就可得到到(X,Y)对对X和和Y的的边缘边缘分布列分布列:X Y01P(X=xi)01/157/303/1017/301/157/10P(Y=yj)3/107/106编辑ppt•当当(X,Y)是是连续连续型随机向量型随机向量时时7编辑ppt例二例二(上上节节例三例三续续). (X,Y)具有具有联联合密度函数合密度函数解解:8编辑ppt9编辑ppt例三例三. 若二若二维维随机向量随机向量(X,Y)的的联联合概率密度合概率密度为为试试求二求二维维正正态态分布随机分布随机变变量的量的边际边际分布分布.10编辑ppt解解: 11编辑ppt12编辑ppt这这一事一事实实也表明也表明: 单单由关于由关于X和关于和关于Y的的边际边际分布分布, 一般来一般来说说是不能确定是不能确定X和和Y的的联联合分布的合分布的.13编辑ppt2. 随机变量的独立性对对于多于多维维随机随机变变量量, , 各分量的取各分量的取值值有有时时会相互会相互影响影响, , 例如一个人的身高例如一个人的身高X X和体重和体重Y Y就会相互就会相互影响影响, , 两个两个变变量的取量的取值值有同方向有同方向协协同同变变化的化的趋势趋势.但有但有时变时变量量间间没有相互影响没有相互影响. . 例如例如, , 一个人的一个人的身高身高X X与收入与收入Z Z就没有明就没有明显显的相互影响的相互影响. . 当当变变量量间间的取的取值规值规律互不影响律互不影响时时, , 我我们们称它称它们们是相互独立的是相互独立的. .14编辑ppt•独立性的定独立性的定义义15编辑ppt•独立性的等价定独立性的等价定义义由独立性的定由独立性的定义义不不难难得出如下的等价的定得出如下的等价的定义义:注意注意: 在在实际计实际计算中算中, 独立性的等价定独立性的等价定义义比使用独立性的比使用独立性的原始定原始定义义往往更方便往往更方便.16编辑ppt例四例四. 在一个装有在一个装有7只正品只正品, 3只次品的盒子里只次品的盒子里, 分分别进别进行两次放回和非放回的行两次放回和非放回的产产品抽品抽样样, 令令试试就放回抽就放回抽样样和非放回抽和非放回抽样这样这两种情形分两种情形分别给别给出出(X,Y)的的联联合分布列和合分布列和边际边际分布列分布列, 并考并考虑虑X,Y是否相互独立是否相互独立.17编辑ppt解解: 放回抽放回抽样时样时, 概率分布律表如下概率分布律表如下: YX01P(X=xi)03/1017/10P(Y=yj)3/107/1018编辑ppt非放回抽非放回抽样时样时, 概率分布律表如下概率分布律表如下: YX01P(X=xi)03/1017/10P(Y=yj)3/107/1019编辑ppt例五例五. 解解: 由由题题知知20编辑ppt21编辑ppt例六例六. 若 (X,Y)服从二维正态分布, 即22编辑ppt23编辑ppt24编辑ppt例七例七. 若若 (X,Y)的密度函数的密度函数为为25编辑ppt§3.2 作业教材第161页习题 11, 1226编辑ppt。