农妇卖蛋问题与倒推法.docx

农妇卖蛋问题与倒推法江苏省连云港市教育局 臧雷一农妇卖鸡蛋，第一次卖去全部鸡蛋的一半又半个；第二次卖出剩下鸡 蛋的一半又半个；第三次卖去所剩下鸡蛋的一半又半个，第四次又卖去所剩 鸡蛋的一半又半个，这时鸡蛋恰好卖完，问农妇开始至少有鸡蛋多少个？按常规思路来解答，过程较为繁琐，而数学大师欧拉独出心裁，给出了 一个别具一格的解法，其解法大意是：第三次卖完后所剩（第四次卖去）的鸡蛋为1个（一半又半个）；第二 次卖完后所剩鸡蛋数为（3 + 0.5）X2=7个，所以农妇原来至少有鸡蛋（7 + 0.5）X2=15 个.把这个问题稍加改变，就是下面的题目： 把一堆西瓜的一半又半个分给第一人，再把剩下的一半又半个分给第二 个人，„把每上一次所剩西瓜数的一半又半个分给下一个人，照此办理，分 给第n个人后恰好分完，问这堆西瓜至少有多少个？假设这堆西瓜至少有S个，分给第i个人后剩下的西瓜为S个，则0 i有Ci = b厶…，n）由于分给第n个人后恰好分完，故ST于是可推知Sn-i，Sn_2，„，'从而可推出»当"=3时，就是农妇 卖蛋问题.由此给我们的启示是：某些数学问题，如能从反面想一想，可能容易解 决.一般地，从结论开始、执果索因、逆向推导、逐步还原、解决问题的方 法称为逆推法.例1 100个人站成一横排，自1起报数，凡报奇数者离队，留下的再次自 1起报数，凡报奇数者又离队，这样反复下去，最后留下一个人，问这人第 一次报数为多少？解：最后被留者在倒数第1轮必报2，在倒数第2轮必报4，在倒数第3轮 必报8，„，于是容易得出，倒推过去此人报的是16， 32， 64.因为只有100 个人，故这个人第一次报数是64.例2设有n个球，甲乙两人按下法做游戏：两人轮流取球，每人一次， 可随意拿一个或两个球，但不准不拿，谁取得最后一个球谁败.规定甲先拿， 问甲是否一定取胜？分析：反过来考虑：失败者最后只拿一只球，倒数第二次拿球时，球数 必定是3个或2个这两种情况之一.这样，只要球数剩下4只，该谁拿谁失败.当n=3k+1时，甲必败，因为乙可米取这样的策略：甲取一个（或2个） 时，乙接着取2个（或1个），保证余下的球是3t+1，每一轮都如此，最后必 然会出现剩下4个球的情形，这时轮到甲拿，甲必然输了.当n=3k （或3k+2）时，甲只要先取2个（或1个）剩下的球数是“3t+1”形数，乙就代替了上述情况里的甲，乙就会输.例3如图1,图中的一支箭头表示为一段有方向的路，E至I的两个“立 交桥（图中弯曲处）表示EI与GF，HF的两个箭头不相交，试计算顺着箭头 方向，从A到I有多少条不同的路线.分析：从A要到达I，无论怎么走，都必须经E，F，H之一，如果用S］， S，S，S，S表示从A分别到达I，E，F，G，H的路线数（其余记号S :E F G H BS……类似）.则有S=S +S +S .对E,F,G作类似的逆推，有S =S +S +S，C I E F H E B C DS =S +S +S +S，如此倒推下去，最终归结为求S，S，S .FBEGH BCD图1解：首先有S =S =1，S =1 + S +S =3，接着算得S =S +S +S =5，B D C B D E B C DS =S =S +S =6， S =S +S +S +S =1+5 + 6 + 6=18.最后得S =S +S +G H E D F B E G H I E FS =5+18 + 6=29 .即从A到I共有29条不同的路线.H练习题：1.山顶有棵桃树，一只猴子愉吃桃子.第一天愉吃了秸，以后八 天分别愉吃了当天现有桃子的丨 愉了九天，树上还留下10只桃子，树上原来至少有多少只桃子？（答案：100只）2．现对甲、乙、丙三个小组的人员作调整：第一次丙组不动，甲、乙 两组中的一组调出7人给另一组；第二次乙组不动，甲、丙两组中的一组调 出7人给另一组；第三次甲组不动，乙、丙两组中的一组调出7人给另一组， 三次调整后，甲组有5人，乙组有13人，丙组有6人，问各组原有几人？（答 甲5人，乙13人，丙6人.。