黎卡提方程的初等解法.doc

论 文第 1 页 共 10 页黎卡提方程的初等解法摘要：常微分方程有着深刻而生动的实际背景，它从生产实践与科学技术中产生，而又成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具，例如化学，生物学，电子技术等等都提出大量的微分方程问题，那么就需要探讨微分方程的求解问题，本文介绍了著名的黎卡提方程的，给出了黎卡提方程可用初等积分法求解的一些充分条件，使得黎卡提方程在满足一定条件下可以用初等解法求解，并给出一些特殊类型黎卡提方程的通解表示，最后举例对一些具体的黎卡提方程进行求解，及微分方程的应用举例关键词：黎卡提方程，变量方程，伯努利方程，线性方程0.引言 常微分方程是数学的一个重要分支，也是偏微分方程，变分法，控制论等数学分支的基础微分方程的理论和方法从 17 世纪末开始发展起来，很快成了研究自然现象的强有力的工具在 17~18 世纪，在力学，天文，物理和技术科学中，就已借助微分方程取得了巨大成就微分方程的首要问题是如何给定一个方程的通解或特解到目前为止，人们已经对许多微分方程得出了求解的一般方法例如一阶微分方程中的变量分离方程、线性方程等等求一个方程的解最自然的想法是用初等解法求解,即把微分方程的求解问题化为积分问题,但这是不容易做到的,能用初等解法求解的微分方程为数很少,绝大部分的微分方程都无法求出通解,黎卡提方程便是其中的一个。

意大利数学家黎卡提于 1724 年给出了它的特殊形式，后来引起许多学者的研究达朗贝尔在 1763 年给出了它的一般形式，并首先称之为“黎卡提方程” ；黎卡提方程不同于线性微分方程 之处是还多含一项 ，'2y=p(x)y+r(x)q'y =(x)+rq2p(x)y但这就大大地改变了解的性质，即初等可积性丧失了，但在特殊情况下仍旧可以利用初等积分法进行求解文献[2]和[3]汇集了很多可积方程和可积性成果；60 年代以来， 《美国数学月刊》上又连续发表了多篇关于这方面的论文；近年来《数学通报》也发表了多篇关于这一内容的文章，如[2][4]及[5]上述工作在一定程度上推动了探索黎卡提方程解法的发展 但要彻底解决黎卡提方程的求解问题，仍需要进一步探讨和研究 我们知道，黎卡提方程一般情况下不能用初等积分法求解，但在一些特殊情况下却有初等解法，那么，在哪些情况下有呢？本文将首先给出黎卡提方程可用初等积分法求解的一些充分条件，使得黎卡提方程在满足一定条件下可以用初等解法求解，并举例对一些具体的黎卡提方程进行求解，最后举出它的应用举例1.预备知识 考虑 (1.1) 2p(x)y+r(x)dq其中函数 和 是连续函数，而且 不恒为零。

(),r()px方程(1.1)通常叫作黎卡提方程，这是形式上最简单的非线性方程为了方便说明，我们首先给出几个有初等解法的微分方程类型及其求解的一般方法，论 文第 2 页 共 10 页并给出其通解表示 1.1 类型 1 变量分离方程 形如 p(x)yd（1.2） 的方程称为变量分离方程，其中 , 分别为 的连续函数 ()pxy,xy其求解方法为： 对于变量分离方程 () d当 ，分离变量得 y0pxy d两边再同时积分得 （其中 C 为任意常数） +c特别地，当 时，方程 的通解为 yp(x)dp xd=Ce（1.3） 注意：在变量分离的过程的过程中，必须保证 ，但如果 有根为 ，y 0y 00y则不难验证 也是微分方程的解，有时无论怎样扩充通解的表达式中的任意常数，此0y解不包含在其中，解题时要另外补充上，不能遗漏例题 解方程 并求满足初始条件：当 x=0 时，y=1 的特解2cosdx解 将变量分离，得到 2cosdyx(0)y两边积分得 1sinxy因而，通解为 （c 为任意常数）i此外，方程还有解 y=0.为了确定所求的特解，以 x=0，y=1 代入通解中决定任意常数 c，得到c= -1因而，所求解为 1sinxy论 文第 3 页 共 10 页1.2 类型 2 一阶线性方程 一阶线性方程形如 p(x)y+qd（1.4） 其中函数 P（x）和 q（x）在区间 I 上连续。

当 时，方程（1.4）成为 q()0 p(x)yd（1.5） 方程（1.4）( ) 叫作非齐次线性方程，而(1.5)叫作与(1.4)相应的齐次线性方(x程 关于齐次线性方程（1.5）的解，即为（1.3） ，由于（1.5）是方程（1.4）的特殊情形， 因此可以设想方程（1.4）的通解应当是（1.3）的某种考虑到 的推广；而这种()qx推广（1.3） 的一个比较简单的办法就是把任意常数 变易为 的待定函数 ，使C()Cx得它满足方程 （1.4） ，亦即求方程（1.4）如下形式的解 p dy=e(1.6) 显然这也可以看成是对（1.4）进行未知函数的变量替换，即将求未知函数 y (x ) 换成求 未知函数 C(x ) 将（1.6）代入方程（1.4）得  pxdp xdp xd(()e()e(dCe Cq 亦即 两边对 x 积分推得 x)q(1.7) p d1(exC其中 为任意常数1C将（1.7）代入（1.3）即得方程(1.4)的通解 p xdp xd1e(()e)yCq例题 求解方程 22cos1'xy解 由通解公式得2211s[.]xxddcyee212ln()()co.xinx2[s]d论 文第 4 页 共 10 页21[sin]xc()cx为 任 意 常 数或 21()si.y有时方程关于 y, 不是线性的，但如果视 x 为 y 的函数；方程关于 x， 是线性的，于dx dy是仍可以根据上面的方法求解之。

1.3 类型 3 伯努利方程 形如 +p(x)y=qnd的方程称为伯努利方程，其中 为常数，而且 和 ， 是在某个区间内的已0n1p(x),q知函数，对于这类方程，只要借助变量代换就可以化为线性方程即 伯努利方程 +p(x)y=qnd可转化为 -n两边同时乘以 得 yn 1()pxynd然后令 ，就有 1z1nzx于是伯努利方程就转化为 ()(1)xzqx这是关于未知函数 的一阶线性方程， 它的通解可由常数变易法求得，最后代回原变量z，y就得到伯努利方程的解，显然 也伯努利方程的解y=0例题求解方程 21(3)ydexx解 做变换 ，则方程可化为 yu23dux这是 n=2 的伯努利方程，令在 ，代入上式，化简得 1z 231dzx线性齐次方程 30dx论 文第 5 页 共 10 页的通解为 3czx设 ，代入线性非齐次方程，得 3()cxz 2()xc因此，线性非齐次方程的通解为 31zx代入原变量，得原方程通解 2yec即 32ln1xyc结构示意图黎卡提方程 2=p(x)y+r(x)dq,()qxpr任 意 两 个 同 时 为 0px0rx0变量分离方程 一阶线性方程 伯努利方程p(x)ydp(x)y+qd=p(x)y+qnd(01)和q0n02. 黎卡提方程可积的充分条件 在这一部分中，将给出黎卡提方程可积的一些充分条件，使得黎卡提方程在满足一定条件下可以用初等解法求解。

论 文第 6 页 共 10 页定理 2.1[3] 如果已知方程(1.1)的一个特解，则方程(1.1)可用初等积分法求得通解 证 设方程(1.1) 的一个特解为 ，对方程(1.1)作变换 ，代入x yx yu方程 (1.1)得到 22()[x ]()[]()dupqr(2.1) 由于 是方程(1.1)的解，则在(2.1)中消去与之相关的项以后，可得x y这是一个伯努利方程，由前面的讨论知此方程可以用2[2()()]dupqupx积分法求出其通解 定理 2.2 当 都是常数时，方程有初等解法（显然方程可化为(),()r变量分离方程，于是有初等解法） 定理 2.3 当 时，方程有初等解法 （此时方程为伯努利方程，于是有初r(x)0等解法） 定理 2.4 若 ，方程有初等解法 'p()1,()0qx证 由已知条件，黎卡提方程(1.1)可化为 ，'2'yq则 '2()yqy令 ，则 zzq于是有 ' 2()即 为伯努利方程，于是可积 dzqxz定理 2.5 设黎卡提方程形如 (2.2) 2myab其 中 都 是 常 数 ，且 设 ，又 设 和 ，则 当 , 0a0xy时方程可通过适当的变换化为变量分离的方程，即402(1,2.)km此方程能用初等积分法求解。

证 不妨设 （否则作自变量变换 即可） ，因此代入方程(2.2)，考虑方程 a1xa(2.3) 2mdybx当 时，(2.3)是一个变量分离的方程，0 2dybx论 文第 7 页 共 10 页当 时，作变换 ，其中 是新的未知函数，然后代入(2.3)得到 2mzxyz这也是一个变量分离的方程; dzbx当 时，作变换 421k1 x=, y mb其中 和 分别为新的自变量和未知函数，则(2.3)变为 (2.4) 22d+=(1)nbm其中 ，再作变换 4kn21,tz其中 和 分别为新的自变量和未知函数，则(2.4)变为 tz(2.5) 22(1)ldbtt其中 4kl方程（2.5 ）与(2.3)在形式上一样，只是右端自变量的指数从 变为 l，比较 m 与l 对 k 的依赖关系不难看出，只要将上述变换的过程重复 k 次，就能把方程(2.3)化为的情形； 当 时，(2.2)就是(2.4)的类型，因此可以把它化为微分方程(2.5)的形式，421m从而 化归到 m = 0 的情形。

定理 2.6 若黎卡提方程形如 ，则方程可积 221dybayxx证 令 z =xy ，则 ，代入原方程得 zyx22zalzbx整理得 21(1)dlx即 2()zdxalb易见此方程可用变量分离法求解，然后根据 求解 yx3. 一些具体的黎卡提方程的求解 例 1求解方程 2'21(ln1)(ln)xyxxy解 将方程改写为 论 文第 8 页 共 10 页21(ln)xyxyd这是黎卡提方程，观察出 是它的一个解，于是作变换 1l lnyzx代入方程，得 22lnln1dzxxzz这是一个伯努利方程，它有解 当 时 ，再作变换0.1uz代入方程即得 22llnuxxud解线性方程，得 2ln212[(l1)]lxdec。