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角形培优训练 100 题集锦-------------------------------------------------------------------------- 作者 : _____________-------------------------------------------------------------------------- 日期 : _____________三角形培优训练专题【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线 也可将图对折看，对称以后关系现角平分线平行线，等腰三角形来添 角平分线加垂线，三线合一试试看线段垂直平分线，常向两端把线连 要证线段倍与半，延长缩短可试验三角形中两中点，连接则成中位线 三角形中有中线，延长中线等中线常见辅助线的作法有以下几种】1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。

4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目6、 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答1、已知，如图 △ ABC中， AB=5，AC=3，求中线 AD的取值范围 .2、如图， △ABC中， E、F 分别在 AB、 AC上， DE⊥ DF，D 是中点，试比较 BE+CF与AEF的大小 .EFB D C3、如图， △ABC中， BD=DC=AC，E 是 DC的中点，求证： AD平分 ∠BAE.AB D E C4、以ABC 的两边 AB、 AC 为腰分别向外作等腰 Rt ABD 和等腰 Rt ACE ，BADCAE 90 , 连接 DE，M、N 分别是 BC、 DE 的中点．探究： AM 与 DE 的位置关系及数量关系．（1）如图① 当 ABC 为直角三角形时，探究： AM与DE的位置关系和数量关系；（2）将图①中的等腰 Rt ABD 绕点 A 沿逆时针方向旋转 (0< <90)后，如图②所示，（ 1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．5、如图， ABC 中， AB=2AC，AD平分 BAC ，且 AD=BD，求证： CD⊥AC.ACB6、如图， AD∥BC，EA,EB分别平分∠ DAB,∠CBA，CD过点 E，求D证;AB＝AD+BC。

A DEBC7、如图，已知在△ ABC内，0400ABAC 60， C， P， Q分别在 BC， CA上，并且 AP，BQ分别是 BAC ，ABC 的角平分线求证： BQ+AQ=AB+BP BQPC8、如图，在四边形 ABCD中， BC＞BA,AD＝CD， BD平分 ABC ，求证：A C 1800ADB C9、如图在△ ABC中， AB＞ AC，∠ 1＝∠ 2， P 为 AD上任意一点，求证 ;AB-AC＞ PB-PCA12PBCD10、11、 AD 为△ ABC的角平分线，直线 MN⊥AD于 A.E 为 MN上一点，△ ABC周长记为 PA ，△ EBC周长记为 PB . 求证 PB ＞ PA .12、已知： △ ABC 和 △ADE 是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，联结 EC，取 EC 的中点 M，联结 BM 和 DM ．（1）如图 1，如果点 D、E 分别在边 AC、AB 上，那么 BM、 DM 的数量关系与位置关系是；（2）将图 1 中的 △ADE 绕点 A 旋转到图 2 的位置时，判断（ 1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．BBEACMMADCDE13、如图，已知在△ ABC中，∠ B=60°，△ABC的角平分线 AD,CE相交于点 O，求证： OE=OD AEOB CD14、如图， △ ABC中， AD平分 ∠BAC，DG⊥BC且平分 BC， DE⊥AB于 E，DF⊥AC于 F.（1）说明 BE=CF的理由；（ 2）如果 AB=a ，AC=b ，求 AE、ABE的长 .EB G CFD15、如图①， OP 是∠ MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形。

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（ 1）如图②，在△ ABC 中，∠ ACB 是直角，∠ B=60°，AD、CE 分别是∠BAC、∠ BCA 的平分线， AD、CE 相交于点 F请你判断并写出 FE 与 FD之间的数量关系；（ 2）如图③，在△ ABC 中，如果∠ ACB 不是直角，而 (1)中的其它条件不变，请问，你在 (1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由BMEBEFDOPFDNACAC图①图②图③16、 正方形 ABCD中， E 为 BC上的一点， F 为 CD上的一点， BE+DF=EF，求 ∠ EAF的度数 .A DFB E C17、D为等腰 Rt ABC 斜边 AB的中点， DM⊥ DN,DM,DN分别交 BC,CA于点 E,FB（1）当 MDN 绕点 D 转动时，求证 DE=DF 2） 若 AB=2，求四边形 DECF的面积DEM C A FN18、 如图， ABC 是边长为 3 的等边三角形， BDC 是等腰三角形，且BDC 1200 ，以 D为顶点做一个 600 角，使其两边分别交 AB于点 M，交 AC于点N，连接 MN，求 AMN 的周长。

19、已知四边形 ABCD 中， ABAD，BCCD，ABBC ， ∠ ABC 120o ，∠ MBN60o ， ∠MBN 绕 B 点旋转，它的两边分别交AD，DC （或它们的延长线）于 E，F ．当∠MBN 绕 B 点旋转到 AECF 时（如图 1），易证 AE CFEF ．当∠MBN 绕 B 点旋转到 AECF 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF ， EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．AAABEMBEMBFCACFDCFDDNNNMEM（图 1）（图 2）（图 3）NBCD20、已知 :PA= 2 ,PB=4, 以 AB为一边作正方形 ABCD,使 P、D 两点落在直线 AB的两侧 .(1) 如图 , 当∠ APB=45°时 , 求 AB及 PD的长 ;(2) 当∠ APB变化 , 且其它条件不变时 , 求 PD的最大值 , 及相应∠ APB的大小 .。