第三章量子力学中的力学量.doc

第三章 量子力学中的力学量在第二章中，我们根据微观粒子的波粒二象性引入波函数来描述微观粒子的运动状态，这与经典粒子的描述方式不同除此以外，微观粒子力学量的性质也不同于经典粒子的力学量经典粒子力学量在任何状态下都有确定值，而微观粒子力学量通常不具有确定值，而是有确定的几率分布因此，量子力学中的力学量通常不同一个数值来表示，而是用一个算符来表示本章首先引入表示力学量的算符，讨论算符的本征值问题，然后介绍算符的运算规则，尤其是对易关系的运算之后给出量子力学的五个基本假设，最后讨论氢原子的三维定态问题§3.1表示力学量的算符1． 算符算符是作用在波函数上的一种运算符号，它对某个波函数作用的结果，按照指定的规则成为另一个波函数即 ， （1）就称为算符例如，，，，，等，分别代表对波函数取一阶导数、二阶导数，开平方，取对数，取复共轭及乘以等运算在经典力学中，坐标与动量是基本力学量，其它力学量一般都是、的函数，即在量子力学中，力学量要用算符来表示，最基本的力学量算符便是坐标算符与动量算符坐标算符就是坐标本身： ， （2）动量算符是 . （3）其它具有经典对应量的力学量的算符，可由经典表示式，将、改为相应算符、得到，即. （4）例如，在经典力学中角动量的定义是,而在量子力学中，相应的角动量算符为 . （5）下面列出量子力学中一些常用的力学量算符:动能算符： ==,势能算符： =,哈密顿算符： ==+ ，能量算符： =.以上力学量算符均对应于经典力学量，在量子力学中还有一些特殊的力学量，它们是没有经典对应量的，如自旋、同位旋、宇称等等，它们的算符我们将另行讨论。

2. 算符的本征值方程在第二章中，我们介绍了哈密顿算符（能量）的本征值方程：，为能量本征函数，为能量本征值一般的，如果一个算符作用在一个波函数上，结果等于乘以一个常数，即 , （6）则方程（6）称为算符的本征值方程，称为的本征态，称为的本征值一般来说，一个力学量算符的本征值、本征态都不只一个，所以方程（6）通常写作. （7）它表示的物理意义是：当体系处于力学量算符的本征态时，测量力学量，会得到确定的值，这个确定的值就是在态下的本征值即测得的几率为“1”3. 表示力学量的算符是线性厄密算符若算符满足以下运算规则 ， （8）则称为线性算符其中，与是任意两个波函数，与是任意两个常数（一般为复数）在量子力学中，表示力学量的算符都必须是线性算符，这是态叠加原理的要求如果对于任意的两个波函数和，算符满足下列等式：,或 . （9）则称为厄密算符下面来证明厄密算符的本征值为实数设的本征值方程为因为为厄密算符，所以有=,即 .常数在方程中可任意移动，则有，即 ，为实数。

我们知道，实验上可观测力学量的测量值一定是实数，而在量子力学中，无论在什么态下，实验上测得的一定是力学量的本征值，这就要求量子力学中力学量的本征值为常数，而厄密算符的本征值为实数，这就说明量子力学中表示力学量的算符都是线性厄密算符我们称其为量子力学第三基本假设例 证明： 、 都是厄密算符证明：（1） . 即是厄密算符 （2）假设则= == = ===即也是厄密算符§3.2 基本力学量算符的本征问题1. 坐标算符的本征函数系首先讨论一维情况设坐标算符的本征值为，属于本征值的本征函数是，则算符的本征值方程为 ， （1）由于，上式可写为 利用函数性质：，可得本征函数. （2）显然可取任意实数值将（2）式代入（1）式，得算符的本征值方程 . （3）当时，上式两边均为 ； 当时，上式两边均为零算符的本征值谱是连续的，它的本征函数的模不是平方可积的: == ==→, （4）上面等式中利用了函数性质 . （5）因此，的本征函数只能归一化为函数: . （6）同理，对于三维空间，算符的本征值方程为 , （7）式中，为任意实矢量，而本征函数为 . （8）2. 动量算符的本征函数系我们仍先讨论一维空间情况。

动量算符的本征值方程是 ， （9）式中，是动量算符的本征值，是属于这个本征值的本征函数将代入（9）式，解常微分方程，可得本征函数为 （10） 由于本征值可取任意实数，本征值是连续谱，相应的本征函数也是关于本征值的连续函数，不是平方可积的，数学上，一般都将其归一化成函数即 = . （11）利用函数的傅里叶积分： , （12）上式中用表示，用表示，可得，再利用及，便有, （13）比较（11）、（13）两式，可得归一化常数 ，归一化的动量本征函数为 . （14）接下来考虑三维空间情况此时，动量算符的本征值方程是,或 . （15）式中，是动量算符的本征值，是属于这个本征值的本征函数。

15）式的三个分量方程是 , , . （16）利用分离变量法，设，可得本征函数为 （17）它的归一化为 . (18)3. 角动量算符在有些势场中，势能的大小与方向无关，只与位置有关我们把这种势场称为中心势场比如库仑势场就是中心势场，这时描述体系转动性质的角动量显得尤为重要通常称这种角动量为轨道角动量 角动量算符在直角坐标系中的三个分量是，， . （19）角动量平方算符是 （20） 讨论角动量时最为关注的是与算符，而它们在球坐标系（见图3-1）中的表示比较简单。

考虑到笛卡儿坐标与球坐标之间的关系，两算符在球坐标中的表示为图3-1 球坐标系 , （21） . （22） 首先我们来讨论的本征函数系的本征值方程为 （23）是算符的本征函数，属于本征值 把算符的球坐标下的形式代人上式，发现方程的形式就是数理方法中讨论过的球函数方程我们直接用其解，则得的本征值为 ， …. （24）的本征函数即为球谐函数: = , （25）…, .式中，是缔合勒让德（Legendre）多项式是，的函数，与取值有关表征角动量的大小，称为角量子数，则称为磁量子数 令（25）式中= ，则, （26）可以看出是本征函数的归一化常数 把的本征值和本征函数代入（23）式，便有 , （27）…, .可见的取值是量子化的。

如果电子处在外磁场中，如原子中的电子，通常要计算角动量在磁场方向的投影电子坐标轴的方向是可以任意取的，而算符的表达式比和简单通常把轴取为外磁场方向，这就要讨论的本征问题算符的本征值方程为 （28）是的本征函数，相应的本征值为将在球坐标系下的表示式代入上式，并解之，得 （29）应满足连续性条件：，由此得的本征值为 , . （30）将（30）式代入（29）式，并由波函数的归一化条件确定，即得属于本征值的本征函数为 , . （31）将（30）、（31）式代入（28）式，的本征值方程为 . （32）因为仅含对的导数，用与无关的乘上式两边，可将此式移到的后面，得 , （33） …, .这说明是和共同的本征函数系。

在数学上，当时，， 波函数为零，说明这样的态不存在在物理上，角动量某一分量的大小不可能超过角动量的大小，即或 ，由此得 下面对角动量的本征问题作几点讨论：① 的大小只由轨道角动量量子数（角量子数）来决定，与无关一般称的态为态， 的态依次称为。