《军用装备的定点投放》.doc

编 号 专 用 页评阅编号：评阅记录：评阅人评 分备 注军用装备的定点投放摘要在现代信息化联合作战条件下，空投装备及物资是装备补给和后勤保障的重要方式本文主要研究了装备空投的安全因素，建立它们与装备安全的数学模型，运用物理学运动方程，目标函数的优化，计算机模拟，蒙特卡罗随机模拟等方法求解出保证装备安全的最佳降落伞选配方案以及装备降落过程的运行轨迹和降落点位置针对问题一，我们将整个降落伞的下降过程分为四个阶段：变加速下降，开伞，变减速下降，匀速下降分析各个阶段的物理学运动方程，并考虑安全降落的定解条件，最后得出各个阶段相关因素与装备安全着陆关系的数学模型针对问题二，根据降落伞完全撑开后的半径与装备安全的数学关系，并对系统和装备分别进行受力分析，得出伞绳最大承受力的过程应该为伞撑开的瞬间，即伞绳绷紧时刻通过动量守恒定律，求得各装备与其配置所需最小伞面积的关系以及伞绳的承载力针对问题三，我们引入安全系数λ，通过层次分析法得到三个因素影响安全度的权重系数分别为0.2803，0.1350和0.5842，即降落伞受到的空气阻力对安全着陆影响最大通过建立安全系数λ与伞的个数N的函数关系式，对其进行最优化处理，求得不同型号的物资所需的伞的个数与大小的最优解。

针对问题四，考虑实际情况风向、风力、气压、温度等因素，根据降落伞的运动学方程确定理论投放的地点结合各项影响因素对理论模型进行修正，通过对比实际与理论的差异求得降落的准确性，通过计算机模拟调整各类装备最佳的投放高度和时机，并得出装备降落过程的运行轨迹利用蒙特卡罗法随机模拟风向、风速，得出了装备落地的准确性程度关键词：装备空投 层次分析法 伞群效率 运动学方程 蒙特卡罗随机模拟16一、问题重述 在信息条件下多兵种的联合作战，战时的快速反应，是致胜的重要环节，特别是对于机械化部队的武器装备是胜利作战的重要保证实际中，必要时需将一些武器装备利用空投的方法及时投放到前沿阵地，使部队以最快的速度利用武器装备发挥战斗力通常武器装备的大小、重量都有不同，如何选配合适的降落伞，使能保证将所需要的武器装备快速、安全、准确地投放到阵地上现有几种类型装备都可以视为长方体型，其几何尺寸(长×宽×高/m)和重量(t)如下表所示类型属性ABCDEF重量/t12351015尺寸/m2.5×1.5×1.83×2×2.53.5×2×23.5×2.5×2.54×3×2.54×3×2.5实际中，飞机可以从1000m~5000m高空投放这些装备，装备下投之后，一般降落伞需要5s~10s才能够打开。

为了保证装备的安全，要求装备落地时的速度不能超过5m/s假设飞机的飞行速度为常数V0 (300≤V0≤600) 请你们建立数学模型研究下列问题：(1) 根据实际情况，试就一般问题分析影响降落伞下落与装备安全相关的因素，并建立它们之间关系的数学模型2) 如果要求一台装备配一只降落伞，那么空投各类装备需要配备多大面积的降落伞，才能保证装备安全着陆？伞绳的承载力至少为多少？(3) 如果需要可以在一台装备上配备多只降落伞，请为各类装备选配合适的降落伞（只数和大小），并分析其装备落地安全的可靠性4) 如果要求定点投放这些装备，考虑实际中的风向、风力、气压、温度等不确定因素变化的影响，请根据你们为各类装备所选择配备的降落伞，分析确定各类装备最佳的投放高度和时机，以及装备落地的准确性程度；并请模拟给出装备降落过程的运行轨迹和降落点位置二、问题分析 问题一，要求结合实际情况，分析影响降落伞下落与装备安全相关的因素，并建立它们之间关系的数学模型首先我们对装备整个过程的运动状态进行分析，通过运动学方程，得到每个阶段不同的运动方程，从而计算降落伞降落过程的时间和高度最后考虑安全降落的定解条件，可以计算得出各个约束参量需满足的条件。

问题二，要求得出装备类型与其所需的降落伞面积的关系以及对降落伞的承载力的研究由模型一降落伞完全撑开后的半径与装备安全的数学关系，可得到空投各类装备，所需配备的降落伞最小面积；对系统和装备分别进行受力分析，缆绳最大承受力的过程应该为伞撑开的瞬间缆绳绷紧时刻，即在下落过程中，降落伞加速度达到最大的时刻，通过牛顿第二定律计算得出缆绳最大的承载力问题三，在允许一台装备可以配备多只降落伞的情况下，要求为各类装备选配合适的降落伞由于相同面积的不同数量的伞的承载力是相同的，因而可以用多个小伞代替一个大伞，并且伞的数量直接影响伞绳的承载力与伞撑开瞬间的速度，以及降落伞运动过程中所受到的空气阻力，采用层次分析法分析降落的安全系数，优化分析求得其最优的数量与大小 问题四，要求考虑实际中的风向、风力、气压、温度等不确定因素变化的影响，分析确定各类装备最佳的投放高度和时机，以及装备落地的准确性程度在前几问模型的基础上，我们加上风、气压、温度等因素的影响，分析降落伞下降过程，模拟给出装备降落过程的运行轨迹和降落点位置并利用蒙特卡罗法随机模拟风向、风速，得出了装备落地的准确性程度三、模型的假设1.忽略装备的形状影响2.降落伞开伞瞬间完成3.降落伞均为合格产品，不存在打不开的情况4.降落伞运送物资的过程中不考虑特殊天气的影响5.降落伞的质量远小于装备的质量，不考虑其质量的影响6.风力只对水平方向上的降落伞起作用7.装备降落过程不受风力和风向影响，只受竖直向上的空气阻力和重力的作用四、定义与符号说明H飞机投放装备时的飞行高度xi装备在第i阶段所下降的高度ti装备经历第i阶段所需的时间空气密度vi装备在第i阶段的垂直速度g重力加速度R降落伞的伞半径m装备质量M降落伞充满空气的质量Ao装备在垂直方向上的投影面积A1降落伞完全撑开在垂直方向上的投影面积f伞所受的空气阻力F装备所受的空气阻力C0垂直平面体的空气阻力系数C1降落伞的空气阻力系数a加速度ki权重系数Fmax大伞的最大承载力FN个小伞的最大承载力N单伞个数r小伞半径λmax最大特征值λ安全系数五、模型的建立与求解5.1问题15.1.1模型的建立通过分析，我们得到装备降落过程分为四个阶段，即平抛，开伞，减速，稳降。

阶段一：降落伞从被投下至降落伞打开阶段把装备和降落伞看成整体，考虑其受到空气阻力作用，因此降落伞在竖直方向上作变加速直线运动由于装备质量较大，忽略降落伞本身重量假设装备受到的重力为mg，方向向下；物体在空气中运动时，受到的空气阻力的大小可以表示为 ，方向向上 （1）其中Co为垂直平面体的空气阻力系数，Ao为装备在垂直方向上的投影面积，为空气密度 图一 阶段一装备受力分析图 如图一，根据牛顿第二定律， 取向下为正方向可得 （2） 根据，可得微分方程： （3） 由初值条件t=0,v=0，解微分方程得： 其中 （4） 根据，求得阶段一装备下降距离： （5）第二阶段：降落伞打开阶段。

由于开伞阶段所需的时间极短，因此近似在打开的瞬间，降落伞撑开、拉直并充满质量为M的空气装备竖直速度迅速减小，满足动量守恒定律，且缆绳受力的最大时刻应出现在此过程中假设此过程中受到的空气阻力不变，降落伞撑开后的体积为： （6）降落伞撑开后在垂直方向上的投影面积为： （7） 求得降落伞充满空气的重量为 (8)由动量守恒定律求得： （9） 第三阶段：装备作变减速，直至匀速运动阶段在竖直方向上，装备在三个力作用下，即伞受到的空气阻力f，装备受到的空气阻力F以及装备的重力，在竖直方向上做变减速运动直至达到最小速度后匀速其中降落伞受到的空气阻力为： （10）其中C1为降落伞的空气阻力系数，A1为降落伞完全撑开时在垂直方向上的投影面积。

图二 阶段三系统的受力分析图 如图三，由牛顿第二定律可得： （11）由，可得匀速时的速度 （12）联立方程可得，当v2＞vT时： （13）第三阶段装备下降距离： (14)当v2＜vT时： （15）第三阶段装备下降距离： （16）第四阶段：装备作匀速运动阶段，此时装备所受重力与空气阻力相等由题目要求，为保证安全降落，降落伞的降落速度不能超过5m/s且当降落伞的速度为5m/s时，其总的运动位移应小于飞机投放时的高度H综合四个阶段过程模型，可知，要使降落伞能够安全的将装备运送到指定地点，与其相关的因素有：物资的质量，降落伞完全撑开后的半径，空投物资时的高度,降落伞从抛出到打开的时间t1等。

可以得到装备安全着陆满足的条件： （1）投放高度与装备安全的数学关系 （17）（2）降落伞完全撑开后的半径与装备安全的数学关系 （18） 5.2问题25.2.1模型的建立（1） 装备类型与其所需的降落伞面积的关系： 由公式（18），可以得到： （19） 根据有关资料查得。