弹性力学及有限元习题参考答案(赵均海、汪梦甫).pdf

习习 题题 11 试由下式求出应变分量，并指出物体受力的状态 u=f1(x,y)+Az2+Dyz+y-z+a、 v=f2（x,y）+Bz2-Dxz-x-z+b、 w=f3（x,y）-z（2Ax+2By+C）+x+y+c 式中 A、B、C、D，a，b，c， 是常数 解解： （： （1 1）由由 P P1616 几何方程几何方程( (1.23a)1.23a)得到得到应变应变分量的表达式分量的表达式： x=xyxfx),(u1， y=y),(yv2yxf， z=CBy2Ax2zw， xyf)，x（fy）y，x（yuxv21xy Dxy）y，x（zvyw3yzf Dyy）y，x（zuxw3zxf （2 2）由）由 P P7777 物理方程物理方程( (5.3a)5.3a)（广义（广义胡克定律胡克定律: :应变应变分量分量与与应力分量之间应力分量之间成线性成线性关系）关系） = x+ y +z= xyxf),(1+ y),(2yxf CBy2Ax2 xyxf),(221xx y),(222yyyxf ）CBy2Ax2（22zz ）)，x（fy）y，x（21xyxyxyf ）Dxy）y，x（3yzyzf ） Dyy）y，x（3zxzxf 由第五章空间问题 Lame 弹性常数与杨氏弹性模量 E、泊松比、剪切弹性模量 G 的关系P77(5.4)得到：）1（2EG，）21）（1（E 其中 E 为杨氏弹性模量，为泊松比，G 为剪切弹性模量。

xyxf),(221xx=）21）（1（E+）1（Exyxf),(1 yy2=）21）（1（E+）1（Ey),(2yxf zz2=）21）（1（E+）1（E）CBy2Ax2（ xyxyxy）1（2E yzyzyz）1（2E xzxzxz）1（2E 由空间问题的平衡微分方程 P76(5.1a)（联系应力分量和体力分量的方程） 0Xzyxxzxyx 0Yzyxyzyyx 0Zzyxzzyzx 已知： )A2yxf（）21）（1（Exf）21）（1（）1（Ex22212x )B2yxf（）21）（1（Eyf）21）（1（）1（Ey12222y 0zz )yxfxf（）1（2Ey22212xy 0zxz ，0zyz )xfyxf（）1（2Ex22212xy 232xzxf）1（2Ex 232zyyf）1（2Ey zyxXxzxyx)A2yxf（）21）（1（Exf）21）（1（）1（E22212 +)yxfxf（）1（2E22212 zyxYyzyyx)xfyxf（）1（2E22212+)B2yxf（）21）（1（Eyf）21）（1（）1（E12222 zyxZzzyzx232xf）1（2E+232yf）1（2E 1.2 已知弹性体内的某一点的应力状态为： = =- -75Mpa;75Mpa; =0Mpa;=0Mpa; = =- -30Mpa;30Mpa;=50Mpa;=50Mpa; =75Mpa;=75Mpa; =80Mpa;=80Mpa; 试求方向余弦（12，12，22）的微分面上的全应力SN,正应力N,以及切应力N。

解：解： （l,m,n）=（12，12，22） (1) 先计算沿坐标轴方向的三个应力XN,YN,ZN XN=lx+myz+ nzx=44.06Mpa YN= lxy+my+ nyz=-28Mpa ZN= l zx+m zx+ nz=-18.71Mpa (2) 计算斜面上的全应力 SN2=XN2+YN2+ ZN2=3069.69 SN=55.4Mpa (3) 正应力 N=lXN+mYN+nZN=-5.2Mpa (4) 切应力 N2=SN2-N2=3042.4Mpa N=55.2Mpa; 习题 1.3 解： （1）应力不变量： 因为 I1= x+ + ； I2= y+2 2 2 将已知代入上式，得：I1= 25 MPa ，I2= 3250 MPa （2）求主应力： 由|x | = 0 , 将已知带入， 即|55 04000 040030 | = 0 ， 展开，得： ( 55)( + 30) 1600 = 0 ， 化简，整理，得：3 252 3250 = 0 ，解得 1=46 MPa , 2= 0 MPa , 3= 71 MPa （3）主方向： l（) + = 0+ ( ) + = 0+ ( ) = 02+2+2= 1 第一主方向：将1= 46 MPa 及个分量代入上式，有： 101l+ 40 = 046 = 040+ 16n = 02+ 2+ 2= 1 21l +8n = 046 = 02+2+2= 1 , 解得：l = 8505 = 0 = 21505 即(l1,1,1) = (8505，0， 21505) 同理可得， 第二主方向：(l2,2,2) = (， ，)； 第三主方向：(l3,3,3) = (， ，). （4）主切应力： （1 2 3） 习题习题 8.68.6 图 8.20 为一受集中力 P 作用的结构，设 E 为常量，16v ，1t 。

试按平面应力问题计算，采用三角形单元，求出节点位移 解： （1）定义单元 单元定义和有关数据列于表 1 中在表 1 中 ,c,c,cimjmijmjmijmiijmijbyyxxbyyxxbyyxx 表 1 单元定义与有关数据 i j m ib jb mb ic jc mc 1 (0,1) 2 (1,1) 4 (0,0) 12 1 -1 0 -1 0 1 2 (1,1) 4 (0,0) 5 (1,0) 12 0 -1 1 1 0 -1 2 (1,1) 5 (1,0) 6 (2,0) 12 0 -1 1 1 -1 0 2 (1,1) 3 (2,1) 6 (2,0) 12 1 -1 0 0 -1 1 (2)求各单元的刚度矩阵 从表 1 中可看出，单元的刚度矩阵为： 1112131212223313233(i1, j2,3)KKKKKKKmKKK 其中子阵表达式为： 221122(r,si, j,m)114(1)22118114(1)354(1)62rsrsrsrsrsrsrsrsb bc cb cc bEtKb cc cb bEtEE 1117171812121717351212iiEKK125118121535612ijEKK 221018535012jjEKK 335018123501mmEKK 135118126535112imEKK 2310186535012jmEKK 由对称性可知： 2112TKK 1331TKK 2332TKK 将上述各子式代入单元刚度矩阵中，得： 117755111212121267171551121261212111100186635555500121212125555001212121211100166EK 同理，可求得单元、的刚度矩阵： 255550012121212110101661101011866555535001212121251517711261212125157171126121212EK 355550012121212110110665117751181261212125717153511212126121101106655550012121212EK 411100066555500121212125177510181212121261571753516121212125555001212121211010166EK （3）总体刚度矩阵为： 177125005200007172500512000012234002071000755034557002470000517700005200257170000512185507001701220035 1221270000175500001000012534012500024002503425000755001EK 2217000702120055017 （4）求总体荷载列阵 11223445566TxyxyxxyxyxyKPPPPPPPPPPPP （5）引入边界条件，求解刚度方程 本题中的几何边界条件为： 140 经处理后的总体刚度方程变为： 1223345500340021000700345502470005177005225717005121801000034012535 120024000342500755122170070212550170vuvuvPEvuv66uv 求解上述反防尘即可得节点位移为： 1223345566 0.6179 -3.6032 1.1516 -10.6447 -2.4807 -4.1620 -3.5491 -9.5866vuvuvPvEuvuv 1.4.试证明在(33，33，33)方向上的正应力N和切应力N与不变量的关系为： N=311,N=31)3(2221 解：根据书 P11 页可以知道，第一应力不变量1=1+32，2=133221， 又斜面法向应力表达式为： 322212nmlN，22322212232222212)(nmlnmlN，又33nml,则322212nmlN=)(31321=131， 22322212232222212)(nmlnmlN =2321232221)(91)(31 =23213231212321)(91)(2)(31 =2122191)2(31 =2213292， 既)3(2316231221221N，综上所述，原题的证。

1.5 试利用坐标轴旋转，证明各向同性的线弹性体的主应力状态与主应变状态重合 证明： 如上图所示设 1， 2， 3 轴为物体内某点的应变主轴对应的剪应变23=31=12=0.现取 x， y，z 轴分别为 1，2，3 轴，则由广义胡克定律第 4 式得：23=C411+C422+C433 （a） 式中1，2和3为改点主应变（对应 1，2，3 轴） 将此坐标系绕 2 轴转 1800,得新的坐标轴 1,2,3,以(l1,m1,n1),(l2,m2,n2),和(l3,m3,n3)分别表示 1,2,3轴对原坐标系 0123 各轴的方向余弦,知: l1=n3=cos1800=-1 m2=cos00=1 l2=l3=m1=m3=n1=n2=cos900=0 因此，新坐标轴也指向应变主轴方向，剪应变也应该等于零，且因各项同性时，弹性系数C41,C42和 C43应该不随方向面改变，故取 x，y，z 分别为 1,2和 3轴，同样由式（4-3）第 4 式得：23=C411+C422+C433 (b) 式中，1，2，3为该点主应变（对应 1，2，3轴） ，而由转轴应力分量变化公式得：23=n3m223=-23 又由转轴应变分量变换公式（3-12）得： 1=l121=1 1 x 3 3 2 2 1 (l1,m1,n1) (l2,m2,n2) y (l3,m3,n3) 2=m222=2 (d) 3=n323=3 (c)，(d)，(b)则有 -23=C411+C422+C433 （e） （a）与（e）比较，可知：23=-23 欲使上式成立，只有23=0.同理可证23=31=0.这说明，若 1，2，3 是应变主轴，也是应力主轴。

从而证明对各向同性弹性体内任一点，应变主轴与应力主轴重合 习题 2.1 单位厚度矩形截面悬臂梁如图所示,不计体积力,位移分量分别表示为: Mulx yEI , 2222MMvlxyEIEI 其中, 312hI .试证明这一组位移分量是基本问题的弹性力学问题解答. 解解:这是一个位移边值问题.欲证明这一组位移分量是基本问题的弹性力学问题解答,只需证明在弹性体内满足平衡方程,在位移边界上能够满足位移边界条件即可. 将这一组位移分量带入位移表示的平衡方程: 222222110122EuvuvvXvxyx y 222222110122EvvvvuYvyxx y 因为体积力 X=0,Y=0,则有: 上2h部分=21Ev00000 下2h部分=21100122EMV MV MvEIEIEI 两式均满足.再考虑位移边界条件,由于悬臂梁上下两部分相同高度都为2h,沿 X 轴。