冯西桥老师弹性力学张量课件FXQ-Chapter-02张量.pdf

2015 3 25 1 1 冯冯 西西 桥桥 清华大学工程力学系清华大学工程力学系 2007 09 21 第二章第二章 张量分析初步张量分析初步 Fundamentals of Tensor Analysis 2 目 录 引言 张量的基本概念 爱因斯坦求和约定 符号 ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律 张量方程 张量代数 商法则 常用特殊张量 主方向与主分量 Appendix A 2015 3 25 2 3 引 言 广义相对论 1915 理论物理 连续介质力学 固体力学 流体力学 现代力学的大部分文献都采用张量表示 Appendix A 主要参考书 W Flugge Tensor Analysis and Continuum Mechanics Springer 1972 黄克智等 张量分析 清华大学出版社 2003 4 张量基本概念 标标 量量 零阶张量 零阶张量 例如 质量 温度例如 质量 温度 质量密度质量密度 应变能密度 等应变能密度 等 其值与坐标系选取无关 其值与坐标系选取无关 Appendix A 1 2015 3 25 3 5 矢量矢量 一阶张量 一阶张量 位移 速度 位移 速度 加速度 力 加速度 力 法向矢量 等法向矢量 等 Appendix A 1 e e3 3 k k e e1 1 i i e e2 2 j j x2 y x3 z x1 x u u u3e e3 3 u2e e2 2 u1e e1 1 p 1 0 ij ij ij e e 张量基本概念 6 矢矢 量量 矢量矢量u在笛卡尔坐标系中分解为在笛卡尔坐标系中分解为 3 1 12 23 3 1 i i uuuu i ueeee Appendix A 1 其中其中u1 u2 u3 是是u的三个分量 的三个分量 e1 e2 e3是单位基矢量 是单位基矢量 e e3 3 k k e e1 1 i i e e2 2 j j x2 y x3 z x1 x u u u3e e3 3 u2e e2 2 u1e e1 1 p 张量基本概念 2015 3 25 4 7 矢矢 量量 Appendix A 1 e e3 3 k k e e1 1 i i e e2 2 j j x2 y x3 z x1 x u u u3e e3 3 u2e e2 2 u1e e1 1 p 既有既有大小大小又有又有方向性方向性的物理量的物理量 其分量与坐标系选取有关 满其分量与坐标系选取有关 满 足坐标转换关系 足坐标转换关系 遵从相应的矢量运算规则遵从相应的矢量运算规则 张量基本概念 8 矢量矢量 可推广至张量可推广至张量 的三种记法 的三种记法 实体记法实体记法 u 分解式记法分解式记法 分量记法分量记法 Appendix A 1 i u 3 1 12 23 3 1 i i uuuu i ueeee 张量基本概念 2015 3 25 5 9 Appendix A 1 指标符号用法 1 三维空间中任意点三维空间中任意点P的坐标 的坐标 x y z 可缩写成可缩写成 xi 其中其中x1 x x2 y x3 z 2 两个矢量两个矢量a和和b的分量的的分量的点积点积 或称或称数量积数量积 为 为 3 1 12 23 3 1 i i i aba ba bab a b 张量基本概念 10 爱因斯坦求和约定爱因斯坦求和约定 如果在表达式的某项中 某指标重复地出现两如果在表达式的某项中 某指标重复地出现两 次 则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求次 则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求 和 该重复的指标称为和 该重复的指标称为哑指标哑指标 简称 简称哑标哑标 Appendix A 1 3 1 1223 3 1 3 1 12 23 3 1 ii i iiii i uuuuu aba ba bab ab ii ueeeee a b 张量基本概念 2015 3 25 6 11 Appendix A 1 由于由于aibi biai 即矢量点积的顺序可以交换 即矢量点积的顺序可以交换 由于哑标由于哑标 i 仅表示要遍历求和 故可成对地任意交仅表示要遍历求和 故可成对地任意交 换 例如换 例如 jjm m a ba b a b 只要指标只要指标 j 或或 m 在同项内仅出现两次 且取值范围在同项内仅出现两次 且取值范围 和和 i 相同 相同 i i aba b b a 张量基本概念 12 约定 如果不标明取值范围 则拉丁指标如果不标明取值范围 则拉丁指标i j k 表示三维指标 取值表示三维指标 取值1 2 3 希腊指标希腊指标 均为二维指标 取值均为二维指标 取值1 2 张量基本概念 2015 3 25 7 13 张量基本概念 1 1223 3 1 12 23 3 ii kk uuuu a baba ba b ueeee a b 拉丁指标拉丁指标 1 122 1 12 2 uuu a baba b ueee a b 希腊指标希腊指标 14 张量基本概念 二阶张量二阶张量 应变应变 应力 速度梯度 变形梯度 等 应力 速度梯度 变形梯度 等 三阶张量三阶张量 压电张量 等 压电张量 等 四阶张量四阶张量 弹性张量 等 弹性张量 等 Appendix A 1 2015 3 25 8 15 二阶 或高阶 张量的来源二阶 或高阶 张量的来源 描述一些复杂的物理量需要二阶 或高阶 张量描述一些复杂的物理量需要二阶 或高阶 张量 低阶张量的梯度低阶张量的梯度 低阶张量的并积低阶张量的并积 更高阶张量的缩并 等 更高阶张量的缩并 等 Appendix A 1 张量基本概念 16 张量基本概念 应力张量应力张量 Appendix A 1 2015 3 25 9 17 张量的三种记法 张量的三种记法 实体记法实体记法 分解式记法分解式记法 分量记法分量记法 Appendix A 1 ij 11 1 112 1 213 1 3 21 2 122 2 223 2 3 31 3 132 3 233 3 3 e ee ee e e ee ee e e ee ee e 张量基本概念 18 爱因斯坦求和约定爱因斯坦求和约定 Appendix A 1 1 1223 3ijjiiii nnnnT 张量基本概念 11 112213 31 nnnT 21 122223 32 nnnT 31 132233 33 nnnT 2015 3 25 10 19 Appendix A 1 采用指标符号后 线性变换表示为采用指标符号后 线性变换表示为 111 11221331 221 12222332 331 13223333 jj jj jj xa xa xa xa x xa xa xa xa x xa xa xa xa x 利用爱因斯坦求和约定 写成 利用爱因斯坦求和约定 写成 iijj xa x 其中其中 j 是哑指标 是哑指标 i 是自由指标 是自由指标 张量基本概念 21 Appendix A 1 在表达式或方程中自由指标可以出现多次 但不得在表达式或方程中自由指标可以出现多次 但不得 在同项内出现两次 若在同项内出现两次则是哑指在同项内出现两次 若在同项内出现两次则是哑指 标 例 标 例 0 ji ji f 若若i为自由指标为自由指标 0 ji jii f 张量基本概念 2015 3 25 11 22 Appendix A 1 自由指标表示 若轮流取该指标范围内的任何值 自由指标表示 若轮流取该指标范围内的任何值 关系式将始终成立 关系式将始终成立 例如 表达式例如 表达式 在自由指标在自由指标 i 取取1 1 2 2 3 3时该式始终成立 即有时该式始终成立 即有 iijj xa x 111 11221331 221 12222332 331 13223333 jj jj jj xa xa xa xa x xa xa xa xa x xa xa xa xa x 张量基本概念 23 同时取值的自由指标必须同名 独立取值的自由指同时取值的自由指标必须同名 独立取值的自由指 标应防止重名 标应防止重名 自由指标必须整体换名 即把方程或表达式中出现自由指标必须整体换名 即把方程或表达式中出现 的同名自由指标全部改成同一个新名字 的同名自由指标全部改成同一个新名字 Appendix A 1 0 ji ji f 0 ji ji f 0 jk jk f i换成换成k 张量基本概念 2015 3 25 12 24 Appendix A 1 指标符号也适用于微分和导数表达式 例如 三维指标符号也适用于微分和导数表达式 例如 三维 空间中线元长度空间中线元长度 ds 和其分量和其分量 dxi 之间的关系之间的关系 2222 123 ddddsxxx 可简写成 可简写成 2 ddd ii sxx 场函数场函数 f x1 x2 x3 的全微分 的全微分 dd i i f fx x 张量基本概念 25 Appendix A 1 可用同项内出现两对可用同项内出现两对 或几对或几对 不同哑指标的方法来不同哑指标的方法来 表示多重求和 表示多重求和 例如 例如 33 11 ijijijij ij a x xa x x 若要对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和 若要对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和 一般应加求和号 如 一般应加求和号 如 3 1 1 12 2 23 3 3 1 i i i i a bca b ca b cabc 张量基本概念 2015 3 25 13 26 Appendix A 1 一般说不能由等式一般说不能由等式 i ii i abac 两边消去两边消去ai导得导得 ii bc 但若但若ai可以任意取值等式始终成立 则可以通过取特可以任意取值等式始终成立 则可以通过取特 殊值使得上式成立殊值使得上式成立 张量基本概念 27 Appendix A 1 小结 通过哑指标可把许多项缩写成一项 通过自由指标通过哑指标可把许多项缩写成一项 通过自由指标 又把许多方程缩写成一个方程 又把许多方程缩写成一个方程 一般说 在一个用指标符号写出的方程中 若有一般说 在一个用指标符号写出的方程中 若有k 个独立的自由指标 其取值范围是个独立的自由指标 其取值范围是1 n 则这个方 则这个方 程代表了程代表了nk 个分量方程 在方程的某项中若同时出个分量方程 在方程的某项中若同时出 现现m对取值范围为对取值范围为1 n的哑指标 则此项含相互迭的哑指标 则此项含相互迭 加的加的nm个项 个项 张量基本概念 2015 3 25 14 28 张量分析初步 矢量和张量的记法 求和约定 符号 ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律 张量方程 张量代数 商判则 常用特殊张量 主方向与主分量 Appendix A 29 Appendix A 2 符号 ij与erst ij符号 Kronecker delta 定义定义 笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系 1 0 ij ij ij i j 1 2 n 特性特性 1 对称性 由定义可知指标对称性 由定义可知指标 i 和和 j 是对称的 即是对称的 即 ijji 2015 3 25 15 30 Appendix A 2 符号 ij与erst 2 ij 的分量集合对应于的分量集合对应于单位矩阵单位矩阵 例如在三维空间 例如在三维空间 111213 212223 313233 100 010 001 3 换标符号 具有换标作用 例如 换标符号 具有换标作用 例如 2 ddddddd ijijiijj sxxxxxx 即 如果符号即 如果符号 的两个指标中 有一个和同项中其它的两个指标中 有一个和同项中其它 因子的指标相重 则可以把该因子的那个重指标换成因子的指标相重 则可以把该因子的那个重指标换成 的另一个指标 而的另一个指标 而 自动消失 自动消失 31 Appendix A 2 符号 ij与erst 类似地有类似地有 ijjkikijikjk ijkjkiijkikj ijjkikijjkklil 。