第三节 全微分.docx

第三节 全微分要求：理解全微分的概念，会求函数的全微分，知道函数极限，函数的连续，偏导数存在与 可微分间关系了解全微分存在的必要条件和充分条件重点：会求函数的全微分函数极限，函数的连续，偏导数存在与可微分间关系 难点：全微分有关理论的证明作业：习题8－3( P28)12)4),3一．全微分的概念与计算回顾一元函数的增量、微分之间关系．设二元函数z二f (x, y).1．偏增量与偏微分概念让一个变量固定，另一个变量有增量A z , A z，由一元函数微分学中增量与微分关 xy系有A z 二 f (x + Ax, y) — f (x, y) « f (x, y)Ax，对 x 的偏微分.xxA z 二 f (x, y + Ay) — f (x, y) « f (x, y)Ay，对 y 的偏微分.yy2. 全增量与全微分概念全增量 Az 二 f (x + Ax, y + Ay) — f (x, y).定义 如果函数z二f (x, y)在点(x, y)的全增量Az 二 f (x + Ax, y + Ay) — f (x, y)可表示为Az = A Ax + BAy + o( p)，其中A, B是不依赖于Ax,Ay而仅与x, y有关的量且p ~ \(Ax)2 + (Ay)2，则称函数z二f (x, y)在点(x, y)处可微分，而A Ax + BAy称为函数z二f (x, y)在点(x, y)处的全微分，记 dz ，即dz 二 A Ax + BAy问题提出：⑴定义中的A与B应为多少？(2)函数z二f (x, y)满足什么条件，才有Az二A Ax + BAy + o( p) ?3. 函数可微的必要条件定理 1 (必要条件)如果函数z二f (x, y)在点(x, y)处可微分，则该函数在点(x, y)处的偏导数亍，厂必定存在，且函数z二f (x, y)在点(x, y)的全微分为dz 上 Ax + 竺 Ay.dx dy证明 因为函数z二f (x, y)在点(x, y)处可微，则有Az = A Ax + BAy + o(p)成立．特别地当Ay二0时，上式也成立，此时p =1 Ax丨.所以A z = f (x + Ax, y) — f (x, y) = AAx + o(l Ax I)，从而亍存在.dxdz同理〒=B，所以dy= dz A + dz Adz = Ax + Ay . dx dy注意：函数全微分与偏导数之间关系 对于一元函数而言，可导必可微，反之可微必可导；但是对于二元函数来说，由定理1 可知，可微必可导，可微必连续(因为 lim Az =0)，反之偏导数存在，函数不一定可微分．Ax t 0Ay t0理由： 在一元函数中，导数完全能刻画出函数的变化率，但在二元函数中，偏导数 匸,匚仅仅是无穷多个方向中，在两个方向上来确定了函数的变化率，特殊情况不能代替例 1．讨论函数 f ( x, y) =,x 2 + y 2 丰 0一般情况．k''x2 + y2 ，在点(0,0)处偏导数与全微分问题.x2 + y 2 = 00, x2 + y 2 = 0解 函数在点(0,0)处有偏导数f (0,0)二 lim f (0 + 3°)- f (0'0)=x Axt0 Ax即两偏导数存在；但是 Az — f (O,O)Ax + f (0,0)Ay]=「x y {(Ax" + (Ay )2lim 0 = 0，同理 f (0,0)二 0yAxtOAxAy如果考虑点P '(Ax, Ay)沿直线y二kx趋于(0,0)时,AxAy(Ax)2 +(Ay )2lim = lim == limaxto P axto (Ax)2 + (Ay)2 axto (Ax)2 + (Ax)2 2Ay t0 Ay t0AxAy(Ax)2这表明，它不能随P T 0而趋于0,因此，当P t 0时，Az —f (0,0)Ax + f (0,0) Ayxy不是较P的高阶无穷小，因此函数在点(0,0)处全微分不存在，即在点(0,0)处是不可微的.可见函数偏导数存在，则不一定可微分，那么函数满足什么条件才可微分呢？ 4．函数可微的充分条件Qz Qz定理2(充分条件)如果函数z二f (x, y)的偏导数〒，亍在点(x, y)处连续，则Qy Qy函数z二f (x, y)在该点全微分存在.证明 考察函数的全增量Az 二[f (x + Ax, y + Ay) — f (x, y + Ay)] + [f (x, y + Ay) — f (x, y)]x1=========f (x+0 Ax, y + Ay)Ax + f (x, y +0 Ay)Ay， ( 0 <0 ,0 < 1)y 2 1 2Qz Qz又由于导函数〒，亍在点(x, y)处连续，所以有Qy Qylim f (x+0 Ax, y + Ay)二 f (x, y)， Axt0 x 1 xAyt0lim f (x + Ax, y +0 Ay)二 f (x, y).Axt0 y 2 yAyt0又由极限的性质得f (x+0 Ax, y + Ay)二 f (x, y) + £，x 1 x 1(Ax,Ay)— Ax tO, Ay tO t0，11(Ax,Ay)— Ax tO, Ay tO t0.22fy (X + AX, y +02Ay)二 fy (X, y) + £2,因此Az 二 f (x, y)Ax + f (x, y)Ay + 8 Ax + e Ay，x y 1 2而且I £1Ax + £2Ay 1=1 4 + £ A |<| £ | + | E | ———^ 0. p 1 p 2 P 1 2从而函数z二f (x, y)在点(x, y)处全微分存在.说明(1)习惯上将自变量增量Ax —4^dx, Ay一^dy称自变量的微分，则dz dzdz = dx + dy .dx dy2)二元函数微分定义及定理对三元及三元以上的多元函数可完全类似的加以推广，如，对三元函数u二f (x, y, z)，有全微分du du dudu = dx + dy + dz .dx dy dz3)全微分的计算，只要按求偏导数的方法，,冒,斗，将其代入微分公式即dy dz可．(4)二元函数与一元函数在连续，偏导数，全微分区别对于一元函数y二f (x)，lim f(x)存在U f(x)在x0处连续U在x0处可导o在x0处可微•x x0对于二元函数z二f (x, y)，lim f (x, y) = A 存在 U f (x, y)在点(x , y )处连续 < 不能 > f (x , y ),f (x ,y )00x - xo y - y0存在口「例 2.f (x, y)在点(x , y )处可微分. o o设函数z = exy，求 dz | ．x=2y=1因为琴=yexy，dxdz=xexy，所以 dy例 3．dz | = (yexy )x = 2y=1x=2y=idx + (xexy ) dy = e2dx+2e2dy.x=2y=1x设函数u = ez，求全微分du .y丄 du 1 du x du x解因为〒=—ez, =— ez, =—ez，所以dx y dy y 2 dz y=丄 ez (dx - — dy + xdz) yydu = ez (丄 dx- — dy + — dz) y y 2 y思考题1•若函数z =小y）在点（％，儿）连续且两个偏导数存在’能否说函数z =小y）在该点处可微吗？2. 若函数z = f （x, y）在点（x , y ）可微，偏导数是否存在?003. 如何判别函数的可微性?4. 二元函数极限、偏导数、可微的关系如何?。