辽宁省鞍山市海城望台职业中学2022年高一数学理月考试卷含解析.docx

辽宁省鞍山市海城望台职业中学2022年高一数学理月考试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 直线4x﹣2y+5=0的斜率是（　　）A．2 B．﹣2 C．5 D．﹣5参考答案：A【考点】直线的斜率．【专题】转化思想；直线与圆．【分析】利用直线一般式求直线斜率的公式即可得出．【解答】解：直线4x﹣2y+5=0的斜率是=2，故选：A．【点评】本题考查了直线的斜率，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2. 将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为（ ）A. 4π B. 3π C. 2π D. π参考答案：C【详解】试题分析：将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周得到的几何体为底面为半径为的圆、高为1的圆柱，其侧面展开图为长为，宽为1，所以所得几何体的侧面积为.故选C.3. 函数，的大致图象为（　　） 参考答案：C，只需将图像关于x轴作对称变换即可得到；4. 首项为-24的等差数列从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是（    ）A.        B.        C.        D.  参考答案：D5. 下列各式中最小值等于2的是（   ）A.                  B．    C.      D.  参考答案：D6. 已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若，则   A .M             B.N         C.I          D.参考答案：A7. 某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则侧视图中线段的长度x的值是(　　)A．                  B．       C．4                     D．5参考答案：C8. 集合A={α｜α=k·90°,k∈N+}中各角的终边都在(    ) A.x轴的正半轴上                 B.y轴的正半轴上C.x轴或y轴上                   D.x轴的正半轴或y轴的正半轴上参考答案：C9. 已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t（小时）的函数表达式是      （   ）    A.                               B.    C．           D．参考答案：D10. 已知数列{an}的前n项和为Sn，，且满足，若，则的值为（  ）A. B. －3 C. D. －2参考答案：D【分析】由递推关系可证得数列为等差数列，利用等差数列通项公式求得公差；利用等差数列通项公式和前项和公式分别求得和，代入求得结果.【详解】由得：数列为等差数列，设其公差为，    ，解得：，本题正确选项：【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，涉及到利用递推关系式证明数列为等差数列、等差数列通项公式和前项和公式的应用.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 数列{an}满足，（且），则数列{an}的通项公式为an =________.参考答案：【分析】利用累加法和裂项求和得到答案.【详解】 当时满足故答案为：【点睛】本题考查了数列的累加法，裂项求和法，意在考查学生对于数列公式和方法的灵活运用.12. 数列的一个通项公式是          。

参考答案：略13. 已知函数图象关于直线对称，若当时恒成立，则的取值范围_________参考答案：14. 已知都是锐角，且，，则的值是________参考答案：略15. 已知角，则=_________.参考答案：略16. 如果函数y=loga(8+2ax─x2)(其中a>0，且a≠1)在[─1，3]上是增函数,则a的取值范围是______________. 参考答案：17. 已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为　　参考答案：32【考点】BA：茎叶图．【分析】根据中位数相同求出m的值，从而求出甲的平均数即可．【解答】解：由乙的数据是：21，32，34，36得中位数是33，故m=3，故=（27+33+36）=32，故答案为：32．三、 解答题：本大题共5小题，共72分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （13分）扇形AOB中心角为60°，所在圆半径为，它按如下（Ⅰ）（Ⅱ）两种方式有内接矩形CDEF．（Ⅰ）矩形CDEF的顶点C、D在扇形的半径OB上，顶点E在圆弧AB上，顶点F在半径OA上，设∠EOB=θ；（Ⅱ）点M是圆弧AB的中点，矩形CDEF的顶点D、E在圆弧AB上，且关于直线OM对称，顶点C、F分别在半径OB、OA上，设∠EOM=φ；试研究（Ⅰ）（Ⅱ）两种方式下矩形面积的最大值，并说明两种方式下哪一种矩形面积最大？参考答案：如图，在Rt△OD中，设∠EOD=θ，则OD=cosθ，ED=sinθ又CD=OD﹣OC==，∴SCDEF=ED?CD=sinθ（cosθ﹣sinθ）=3sinθcosθ﹣sin2θ=sin2θ﹣=sin（2θ+）﹣．当2θ+=，即时，S最大=．（Ⅱ）令ED与OM的交点为N，FC与OM的交点为P，则EN=sinφ，于是ED=2sinφ，又CD=PN=ON﹣OP=cosφ﹣=﹣3sinφ，∴SCDEF=ED?CD=2sinφ（）=3sin2φ﹣3（1﹣cos2φ）=6sin（2φ+）﹣3．当22φ+=，即φ=时，y取得最大值为：6﹣3．∵6﹣3，（Ⅰ）（Ⅱ）两种方式下矩形面积的最大值为方式（Ⅱ）．19. （12分）已知定义在（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）函数满足：①f（4）=1；②对任意x＞2均有f（x）＞0；③对任意x＞1，y＞1，均有f（x）+f（y）=f（xy﹣x﹣y+2）．（Ⅰ）求f（2）的值；（Ⅱ）证明：f（x）在（1，+∞）上为增函数；（Ⅲ）是否存在实数k，使得f（sin2θ﹣（k﹣4）（sinθ+cosθ）+k）＜2对任意的θ∈恒成立？若存在，求出k的范围；若不存在说明理由．参考答案：考点： 函数恒成立问题；抽象函数及其应用． 专题： 函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析： （Ⅰ）将条件③变形得到f（m+1）+f（n+1）=f（mn+1）对任意m，n＞0均成立，其中m=x﹣1，n=y﹣1，令m=n=1，即可解得f（2）=0；（Ⅱ）由（Ⅰ），将f（m+1）+f（n+1）=f（mn+1）变形得f（mn+1）﹣f（n+1）=f（m+1），则要证明f（x）在（1，+∞）上为增函数，只需m＞1即可．显然当m＞1即m+1＞2时f（m+1）＞0；（Ⅲ）利用条件①②将问题转化为是否存在实数k使得sin2θ﹣（k﹣4）（sinθ+cosθ）+k＜或1＜sin2θ﹣（k﹣4）（sinθ+cosθ）+k＜10对任意的θ∈恒成立．再令t=sinθ+cosθ，，则问题等价于t2﹣（k﹣4）t+k﹣1＜或1＜t2﹣（k﹣4）t+k﹣1＜10对恒成立．分情况讨论，利用二次函数的性质即可解题．解答： （Ⅰ）由条件③可知f（x）+f（y）=f（xy﹣x﹣y+2）=f=f，令m=x﹣1，n=y﹣1，则由x＞1，y＞1知m，n＞0，并且f（m+1）+f（n+1）=f（mn+1）对任意m，n＞0均成立．令m=n=1，即有f（2）+f（2）=f（2），故得f（2）=0．（Ⅱ）由（Ⅰ），将f（m+1）+f（n+1）=f（mn+1）变形得：f（mn+1）﹣f（n+1）=f（m+1），要证明f（x）在（1，+∞）上为增函数，只需m＞1即可．设x2=mn+1，x1=n+1，其中m，n＞0，m＞1，则x2﹣x1=n（m﹣1）＞0，故x2＞x1，则f（x2）﹣f（x1）=f（mn+1）﹣f（n+1）=f（m+1），m＞1，m+1＞2，所以f（m+1）＞0，即f（x2）﹣f（x1）＞0，所以f（x2）＞f（x1），即f（x）在（1，+∞）上为增函数；（Ⅲ）∵由f（m+1）+f（n+1）=f（mn+1）对任意m，n＞0均成立，及f（4）=1∴令m=n=3，有f（4）+f（4）=f（10），即f（10）=2．令m=9，n=，则f（9+1）+f（+1）=f（9×+1）=f（2），故f（）=f（2）﹣f（10）=﹣2，由奇偶性得f（﹣）=﹣2，则f（x）＜2的解集是．于是问题等价于是否存在实数k使得sin2θ﹣（k﹣4）（sinθ+cosθ）+k＜或1＜sin2θ﹣（k﹣4）（sinθ+cosθ）+k＜10对任意的θ∈恒成立．令t=sinθ+cosθ，，问题等价于t2﹣（k﹣4）t+k﹣1＜或1＜t2﹣（k﹣4）t+k﹣1＜10对恒成立．令g（t）=t2﹣（k﹣4）t+k﹣1，则g（t）对恒成立的必要条件是，即解得，此时无解；同理1＜g（t）＜10恒成立的必要条件是，即解得，即；当时，g（t）=t2﹣（k﹣4）t+k﹣1的对称轴．下面分两种情况讨论：（1）当时，对称轴在区间的右侧，此时g（t）=t2﹣（k﹣4）t+k﹣1在区间上单调递减，1＜g（t）＜10恒成立等价于恒成立，故当时，1＜g（t）＜10恒成立；（2）当时，对称轴在区间内，此时g（t）=t2﹣（k﹣4）t+k﹣1在区间上先单调递减后单调递增，1＜g（t）＜10恒成立还需，即，化简为k2﹣12k+24＜0，解得，从而，解得；综上所述，存在，使得f（sin2θ﹣（k﹣4）（sinθ+cosθ）+k）＜2对任意的θ∈恒成立．点评： 本题考查了抽象函数的运算，单调性，以及函数恒成立问题，需要较强的分析、计算能力，属于难题．20. 已知{an}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项；（Ⅱ）求证：＜1．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）由题设知公差d≠0，由a1=1，a1，a3，a9成等比数列，可得=a1?a9，即（1+2d）2=1×（1+8d），解出即可得出．（II）==．利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可证明．【解答】（Ⅰ）解：由题设知公差d≠0，由a1=1，a1，a3，a9成等比数列，∴=a1?a9，∴（1+2d）2=1×（1+8d），化为：4d2=4d，解得d=1，d=0（舍去），故{an}的通项an=1+（n﹣1）×1=n．（II）证明： ==．∴．21. （12分）已知三角形的三个顶点是A（4，0），B（6，6），C（0，2）．（1）求AB边上的高所在直线的方程；（2）求AC边上的中线所在直线的方程．参考答案：（1）∵A（4，0），B（6，6），C（0，2），∴=3，∴AB边上的高所在直线的斜率k=﹣，∴AB边上的高所在直线的方程为y﹣2=﹣，整理，得x+3y﹣6=0．（2）∵AC边的中点为（2，1），∴AC边上的中线所在的直线方程为，整理，得5x﹣4y﹣5=0．22. 已知函数.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式的解集为R，求实数a的取值范围.参考答案：(。