部分注水的玻璃酒杯震动模型.doc

部分注水的玻璃酒杯振动模型部分注水的玻璃酒杯振动模型物理 53 王成龙 张子尧 摘要：本文旨在利用数学物理方法的手段，对半封闭的容器中气体，利用波动 方程及球坐标系下的矢量亥姆霍兹方程对气体进行刻画，并对方程分“杯中不注 水”、“杯中注水不超过球心”、“杯中注水超过球心”三种边界条件进行求解，得 到三种情况下的本征频率方程，进而对“注水量不同声音不同”这一问题进行解 释关键词：空腔气体波动 球坐标系矢量亥姆霍兹方程一、问题分析一、问题分析：利用人手摩擦水杯边缘产生声音并且对于水杯注水程度不同产生的声音大 小不同这一原理，人们发明了一种名为水瓶琴的乐器，类似于中国传统的管类 乐器埙，水瓶琴利用了气体空腔振动的原理进行发声通过对该物理模型的分析，我们可以知道在不同注水高度时发音性质的不 同来自于气体空腔形状的改变通过参考部分文献【1】得知，通过全息照相得 到的实验结果表明，该问题中水杯本身的振动幅度较小，其发声可以忽略并且 注水后也可近似认为水是不发生振动，或其振动频率在人耳不可感知范围内的 相比之下，通过酒杯振动激励得到的的腔内空气发声明显，且发声频率在人耳 的可以感知范围内为此，我们选择腔内的空气作为研究对象——杯中不同的 注水量对应的是不同的腔内空气分布。

二、模型假设：二、模型假设：·由于高脚杯的种类与类型不同，这里我们选择并将酒杯的物理系统简化为一 个上部未封口的空心球缺，并且忽略杯体表面的厚度，如图一所示图 1 简化后的高脚杯模型·通过参考文献【1】的实验结果以及结合管乐器的发声原理，我们不考虑发声 过程中水与杯体的振动，仅考虑气体空腔的本征频率·根据热力学统计原理，杯壁和水面固定且对腔内空气有粘滞作用，并且杯口 处的空气自由三、模型求解：三、模型求解：结合上述假设，以球心为原点建立球坐标系根据空气中的波动方程我们 很容易得到如下的物理规律022 22 uaturr这里表示空气的各点位移，与空气的物理性质有关其中uauuurrr2将矢量波动方程分离变量 etirAtru)(),(可以进一步得到关于的矢量亥姆赫兹方程A022AkAvv其中cwk  与本征频率有关且erAerAerAArr,,,,,,v 接下来我们运用一种比较简洁的方法求解矢量亥姆赫兹方程不难证明，如果函数是标量亥姆赫兹方程022wkw的解，则uwLrwaMvrMkNrr1是相应的矢量亥姆赫兹方程得线性无关解。

而是一个任意的单位矢量考虑a到在球坐标系中并不是常矢量且由于，我们可选取r为单位矢eeer和,0r 量，则有)()(1 rkrewrNewrMwL于是我们将问题转化为求解球坐标系下的标量亥姆赫兹方程在球坐标系中， 亥姆赫兹方程的具体形式是0sin1sinsin112 2222 22     uku ru rrurrr令,)(,,SrRru，代入方程有         22222 22, sin1,sinsin1 ,11  SS SrRkdrrdRrdrd rrRr在此引入第一个本征值，得到         0,, sin1,sinsin101222222 2 SSSrRrkdrrdRrdrd r继续分离变量，再令   ,S，得到      2221,sinsin1sin ddS引入第二个本征值，可以得到  0sinsinsin12   0)()(“得到径向上的为球贝塞尔方程，方向上的为连带勒让德方程，方向上的为 线性周期方程。

求解线性周期方程本征值与本征函数分别为 2mime）（求解连带勒让德方程式，对 x 与 y 分别做变换cosx， y得到01122  yxdxdyxdxd考虑到实际问题中时函数应有界，因此我们可以得到1x本征值 ) 1( ll本征函数 )(cos)(m lPxy求解球贝塞尔方程需做变换，得)()()()(,xyxxvrRxykrx和0211122  vxldxdyxdxd x于是我们得到两个无关解)()()()(2/122/12xNxnxJxjlxllxl由于我们不了解目前对原点处的情况，因此我们不能舍弃任何一个解将特解 叠加我们得到一般解如下),(] )()([)(cos] )()([),,(000m l lllmllimm l llmllYkrBnkrAjePkrnkrjru利用场论在球坐标系下的知识，我们可以得到： u ru rruLAsin11:rruru rruru ru ru ru rkNB2222222sin1 sin11sin11 sincos1:v uuMCsin10:r为了在上述计算时结构表示更加简化我们设),()]()([),,(m lllYkrnkrjru带入计算并确定MCNBLAArrrv中的叠加系数和 k 值。

·杯中不注水杯中不注水对于空酒杯，考虑到该物理系统具有旋转对称性，所以就可以针对某一横截面在列写边界条件，这里取的截面考虑杯壁对空气的粘滞效应有如下0边界条件00)0 ,,()0,,()0,,(11  araeAnAaA22000   uu rr uuu有界对其进行化简，我们可以得到rTrrrrrrrAArArAeAArA  001sin11,r同理可以得到rArAr，rArAr那么齐次边界条件既为   00000 ,,00 ,,00 ,,222rArArAaAaAaArrrrr 其中不注水时2则需要对上述所得结果的参量方程进行修改为),()(),,(m llYkrjru带入可以得到 A 在 r 方向的分量为：                    mlmmlmlfimlYmlmlefimlYmfimlYmlmlemlmfimlYmlmlefimlYmmfimlYmkrlJkrJrrmlmfimlYmlmlefimlYmkrlJkrJfimlYkrlJkrlJkrk rkrkfimlYkrlJ ArAifi ifiifiifi                1121,,2 ,3,,,cot1,,1 ,2111,,1 ,21,,,cotcot,,,csc,211 2111,,1 ,21,,,cotcot,211 2,,,,23,211 221 12,,,,21 222A 在方向的分量为：                                  mlmfimlYmlmlefimlYmkrlJkrlJkrkrkrkrmlmfimlYmlmlefimlYmkrlJBrrmlmfimlYmlmlefimlYmkrlJkrBrmlmfimlYmlmlefimlYmkrlJkrAfimlYkrlJkricmAifiifiifiifi11,,1 ,21,,,cot,23,211 2211211,,1 ,21,,,cot,21 211,,1 ,21,,,cot,211 211,,1 ,21,,,cot,211 2,,,csc,211 22 A 在方向的分量为：                   mlmfimlYmlmlefimlYmkrlJkrcfimlYkrlJkrlJkrikm rkrkrfimlYkrlJim BrrfimlYkrlJkriBmrfimlYkrlJkriAmAifi11,,1 ,21,,,cot,211 2,,,,23,211 221 12,,,,21 2csc,,,csc,211 2,,,csc,211 22经过推导可以得到 B=0 和 C=0，并且得到关于 k 的方程： 00 ,,,,23,211 221 120 ,,,,21 22   mlYkalJkalJkak akakmlYkalJ考虑系数叠加后有如下化简方程：  00,23,21,21lkrlJkrlJkkkrlJ·杯中注水超过球心杯中注水超过球心假设注水量超过球心时，水面的高度为，则有如下的边界条件200)0 ,,()0,,()0,,(211  araeAnAaA22000   uu rr uuu有界同样的道理  00000 ,,00 ,,00 ,,222rArArAaAaAaArrrrr 结合方程得连续性，继续选定 A 部分特解，将其简化为：  00,23,21,21coslllmm LkrlJkrlJkkkrlJ P·杯中注水不超过球心杯中注水不超过球心 在杯中注水不超过球心的情况下，需要利用下式，因为此时对球心处无限制条 件。

),()]()([),,(m lllYkrnkrjru进行。